摘要：分段函數(shù)表達形式多樣，定義形式靈活，不拘于單一的對應(yīng)法則，使函數(shù)關(guān)系更有表達力，文中以分段函數(shù)為載體，通過實例活化函數(shù)的概念，加強函數(shù)性質(zhì)的運用，從而提高學(xué)生分析問題解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：分段函數(shù)概念；背景；措施；方法

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）50-0161-02

一、基本概念

函數(shù)：初中定義為在某個變化過程中有自變量與因變量，對于自變量取一個值，因變量都有唯一的值與它對應(yīng)。

函數(shù)的近代定義：設(shè)A，B都是非空的數(shù)集，f：x→y是從A 到B的一個對應(yīng)法則，那么從A到B的映射f：A→B就叫做函數(shù)。函數(shù)概念有三個要素：定義域A，值域C和對應(yīng)法則，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

分段函數(shù)：主要是將在定義域分段下以不同對應(yīng)法則得到對應(yīng)函數(shù)式。

偶（奇）函數(shù)：函數(shù)y=f（x），對于定義域內(nèi)的每個x，都有 f（-x）=f（x），（f（-x）=-f（x））則y=f（x）是偶（奇）函數(shù)。

周期函數(shù)：設(shè)f（x）是定義在數(shù)集M上的函數(shù)，如果存在非零常數(shù)T具有性質(zhì)：f（x+T）=f（x），則f（x）稱是數(shù)集M上的周期函數(shù)，常數(shù)T稱為f（x）的一個周期。如果在所有正周期中有一個最小的，則稱它是函數(shù)f（x）的最小正周期。

二、分段函數(shù)的實時背景

分段函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教材中并沒有作深入的說明，它由絕對值函數(shù)分段而產(chǎn)生的，如f（x）=|x-1|+|x+1|就要分三段化簡，得到了分段函數(shù)。分段函數(shù)比較抽象，解析式變化也很大，高中學(xué)生新學(xué)也比較困難，不過因其表達式的自由多變，更能活化函數(shù)的性質(zhì)與彰顯函數(shù)思想。特別是近年來的考題中有許多是對分段函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性等進行綜合考查，應(yīng)引起重視。

三、分段函數(shù)活化函數(shù)概念及性質(zhì)具體措施主要有四點

1.利用分段函數(shù)揭示變量之間的對應(yīng)關(guān)系，明晰概念內(nèi)涵。分段函數(shù)更能體現(xiàn)定義域和值域的映射關(guān)系，更能將自變量與因變量的關(guān)系表達清楚。

例如：函數(shù)（x）=x+1（x<0）2x+1（x=0）1-2x（x>0）求（1）f（f（f（1）））= ；

（2）■= 。

本題中的計算遵循邏輯順序，先算f（1）=-1，再算f（-1）=0，f（0）=1。由此，發(fā)現(xiàn)函數(shù)遵循周期性的循環(huán)，求值規(guī)律揭示函數(shù)周期性而發(fā)覺函數(shù)思想，在具體而又更替性的對應(yīng)運算中，看到了定值與定值之間形成映射的內(nèi)在關(guān)系，深化近代函數(shù)概念的內(nèi)涵。

2.利用函數(shù)分段，體現(xiàn)函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的多樣性與具體性，深化函數(shù)的本質(zhì)特征。例如：已知函數(shù)f（x）為定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當x>0時f（x）=sin2x-cosx， 求當x<0時f（x）的解析式。此題運用化歸思想綜合了函數(shù)的性質(zhì)，將f（x）與f（-x）的相互轉(zhuǎn)化，解得當x<0時f（x）=sin2x-cosx。

3.利用函數(shù)分段，深化函數(shù)思想中的求值域、求定值，彰顯數(shù)形結(jié)合。

例如f（x）=a？茚b=a（a≥b）b（a

4.利用函數(shù)分段，深化函數(shù)的基本性質(zhì)，如奇偶性，周期性，對稱性等。

例如：已知函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=-■，當2≤x≤3時，f（x）=x，則f（105.5）= 。

由f（x+2）=-■，得f（x+4）=f（x），即f（x）是以T=4的周期函數(shù)，從而求得f（105.5）=f（108-2.5）=f（-2.5）=f（2.5）=2.5。

四、運用分段函數(shù)深化函數(shù)與方程的思想

函數(shù)與方程有許多統(tǒng)一的地方，方程是滿足等量關(guān)系，函數(shù)是滿足變化關(guān)系，都有量之間的等量關(guān)系共性。

函數(shù)與方程思想使變量關(guān)系有內(nèi)在的邏輯性，如f（x）=x2-2x+3（x≤0）-2+lnx（x>0）的零點個數(shù)為 。通過零點特殊的自變量值與特殊的函數(shù)關(guān)系，明確函數(shù)特定關(guān)系，確定零點，從而為函數(shù)中值定理等打好基礎(chǔ)。又如：設(shè)f（x）=x2+bx+3（x≤0）2 （x>0），若f（-4）=f（0），f（-2）=-2，則關(guān)于x的方程的解的個數(shù)為 。通過方程多元解，說明函數(shù)之間y可以一對多，但不可以一個x對多個y，從而從正反方面闡明函數(shù)的概念。

分段函數(shù)表達形式多樣，定義形式靈活，不拘于單一的對應(yīng)法則，使函數(shù)關(guān)系更有表達力，當然分段函數(shù)只是載體，高考中主要還是考查函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)和不等式結(jié)合等等，都是考查函數(shù)部分中較復(fù)雜的題型。只要掌握了分段函數(shù)的題型特點及解題技巧，同時把握住其中的解題要點，就能輕松應(yīng)對分段函數(shù)問題。總而言之，“分段函數(shù)分段解決”，若能畫出分段函數(shù)的大致圖象，那么上述許多問題將會很容易解決。

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作者簡介：黃詠梅（1968—），女，現(xiàn)中南大學(xué)附屬鐵道中學(xué)數(shù)學(xué)中級教師，曾多次評為優(yōu)秀教師，國家級奧數(shù)教練，曾在《中學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》發(fā)表過論文。