邱志昌 程龍 張寧

摘 要：該文是對2013年美國數(shù)學(xué)建模競賽A題的更深一步的討論，題目是如何在不烤焦蛋糕和最大利潤條件下優(yōu)化確定烤蛋糕的烤盤最佳類型，而文章僅僅考慮在烤盤給定確定面積和蛋糕不烤焦的前提下，來確定烤盤的最佳形狀。蛋糕是否被烤焦取決于蛋糕中心達(dá)到相同溫度時(shí)所用時(shí)間長短，首先運(yùn)用推導(dǎo)的熱穩(wěn)態(tài)傳導(dǎo)公式，通過matlab的PDE工具箱繪出矩形的溫度分布圖，解釋了在蛋糕邊角上容易烤焦。烤盤外壁溫度分布類比恒溫條件下的球殼傳溫給出，蛋糕內(nèi)部遵循熱傳遞，從高溫傳向低溫。文章將蛋糕離散化并結(jié)合元胞自動(dòng)機(jī)模型，仿真得到了不同形狀的烤盤在中心達(dá)到相同溫度時(shí)蛋糕的溫度分布，并給出運(yùn)行次數(shù)。仿真結(jié)果顯示圓形形狀烤盤運(yùn)行次數(shù)僅為4374，次數(shù)最少，從而確定圓形烤盤是最佳選擇。

關(guān)鍵詞：熱傳遞 球殼傳溫 元胞自動(dòng)機(jī)

中圖分類號：F203.9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）02（c）-00-03

2013年美國數(shù)學(xué)建模競賽A題是對烤箱中烤盤的最佳形狀設(shè)計(jì)的探討。最佳形狀的設(shè)計(jì)要考慮兩個(gè)方面，一方面烤盤要盡量保證蛋糕不被烤焦，另一方面盡量充分利用烤箱的空間。為了簡化問題，文章忽略對烤箱空間利用率的考慮，僅僅考慮保證蛋糕不被烤焦的因素。

蛋糕在烤箱中加熱過程及其復(fù)雜，蛋糕被烤熟的過程中涉及到熱量的傳導(dǎo)、溫度的升高、水分的蒸發(fā)等一系列的變化，就熱量的傳導(dǎo)來說，就包括熱傳導(dǎo)、熱對流和熱輻射，假設(shè)烤箱內(nèi)部的溫度是均勻分布的，將傳遞的熱量就需考慮熱傳遞。因不可能將所有因素量化來分析蛋糕的烤焦，類似熱流量的傳導(dǎo)，我們予以簡化，但主要影響因素是溫度的分布不均。文章通過降維的思想，將蛋糕烤焦的原因歸于蛋糕內(nèi)外受熱不均勻?？颈P中的蛋糕只有上表面直接與烤箱中空氣接觸，其他5個(gè)面都是與烤盤壁直接接觸，通過烤盤壁與蛋糕之間的熱傳導(dǎo)加熱。食物通常是在外表面被烤焦，文章只需選取平行于烤盤的橫截面作為分析對象，考慮蛋糕內(nèi)外溫差的持續(xù)時(shí)間以確定在相等面積下的最佳烤盤形狀。由于熱量是從外向內(nèi)傳導(dǎo)，在蛋糕的外層存在局部溫度較高的情況。那么可能出現(xiàn)蛋糕內(nèi)層被烤熟后，蛋糕外層已經(jīng)被烤焦的現(xiàn)象?？紤]到在烤蛋糕的最后，邊角總是焦的，為了之后更精確的仿真出蛋糕的傳熱，首先通過熱穩(wěn)態(tài)傳導(dǎo)分析來解釋邊角烤焦的原因?；诖?，文章認(rèn)為一個(gè)較好形狀的烤盤是指蛋糕內(nèi)部達(dá)到一定的溫度所用的時(shí)間較短，傳遞時(shí)間將通過元胞自動(dòng)機(jī)仿真運(yùn)行次數(shù)來反映。

1 熱穩(wěn)態(tài)模型

蛋糕在烤盤中烘烤過程中的熱量傳導(dǎo)主要有兩個(gè)階段：首先是烤盤壁將熱量傳遞給蛋糕外層，其次是蛋糕內(nèi)部的熱傳導(dǎo)?？颈P壁熱傳導(dǎo)系數(shù)較大，傳熱較快，烤盤壁相對較薄，文章可以認(rèn)為烤盤內(nèi)外壁的溫度相同。

運(yùn)用熱穩(wěn)態(tài)傳導(dǎo)模型給出蛋糕橫截面的溫度分布圖來說明拐角烤焦的原因。給出一般的熱傳導(dǎo)方程

其中表示溫度，溫度是x、y、z與t的函數(shù)，即，t表示時(shí)間。表示內(nèi)部每單位容積熱產(chǎn)生率。c是比熱容，是常數(shù)，表示導(dǎo)熱系數(shù)。因?yàn)槲覀兛紤]的是穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的情況下，所以溫度對時(shí)間的偏導(dǎo)為零，將②式代入①式得到的二維穩(wěn)態(tài)熱傳遞方程為

③式滿足橢圓偏微分方程的形式，稱為Possion方程。由于烤箱內(nèi)溫度恒定，故為定值。

在面包熱傳導(dǎo)加熱中，對于給定的一個(gè)立方體的烤盤，烤盤的橫截面的溫度分布基本一致，從而只需求出某一橫截面的穩(wěn)態(tài)溫度分布圖，以達(dá)到降維、簡化模型的目的。

通過matlab的PDE工具箱繪出矩形的溫度分布圖，得到溫度分布圖形如圖1。

結(jié)果評價(jià)：從圖中可以明顯看到在拐角區(qū)域的溫度最高，從外邊緣順著熱量傳遞方向溫度是遞減的，與生活中反映的現(xiàn)象一致，說明了建立的模型可信度較高，一定程度上解釋了矩形烤盤在拐角及少量邊緣處容易烤焦的現(xiàn)象。但模型僅僅是從穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)角度來考慮溫度的分布，沒有考慮在從開始烘烤到烤熟整個(gè)過程各個(gè)階段溫度的分布。

在前面的模型中僅僅從溫度角度考慮了溫度高就容易燒焦，這樣的考慮是有缺陷的。因?yàn)槿绻诳久姘鼤r(shí)，中心的溫度雖然比邊緣的溫度低，但是當(dāng)過了時(shí)間t后中心的蛋糕已經(jīng)熟了，蛋糕在邊緣區(qū)域還沒有燒焦，這樣雖然蛋糕的形狀不規(guī)則，但是仍然是一種較好的選擇。選出的形狀可以作為最后一問中優(yōu)化問題中的一個(gè)不錯(cuò)選擇。同時(shí)上述模型是在烤盤邊緣溫度恒定條件下建立的，只能解決像矩形這樣邊界恒溫的平壁傳導(dǎo)。這是因?yàn)閷τ诰匦慰颈P而言，空氣中的熱量是以平壁傳導(dǎo)的方式傳遞給烤盤壁，由于直線的曲率為零，對于矩形的每一條邊各個(gè)點(diǎn)的溫度是一樣的。

為此應(yīng)用元寶自動(dòng)機(jī)來改進(jìn)上面的模型，在下面的模型中，著重考慮不同形狀的烤爐壁，即曲率對傳熱的影響，這樣就能更加精準(zhǔn)的計(jì)算從烤爐壁各處每時(shí)刻傳遞給蛋糕的熱量，這樣考慮也更貼近生活。

2 元胞自動(dòng)機(jī)仿真熱穩(wěn)態(tài)模型

2.1 元胞自動(dòng)機(jī)原理

元胞自動(dòng)機(jī)是一種將空間與時(shí)間離散化的模型，能將一個(gè)連續(xù)的過程通過許多離散的網(wǎng)格表示出來。離散網(wǎng)格中每一元胞取有限的離散狀態(tài)，遵循相同的作用規(guī)則，在局部不斷更新。元胞自動(dòng)機(jī)通常運(yùn)用于信息傳遞、通信、生長與進(jìn)化等領(lǐng)域，為復(fù)雜的現(xiàn)象提供有效的動(dòng)態(tài)模型。

熱量的傳導(dǎo)是一個(gè)從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳遞的連續(xù)過程。文章將熱傳導(dǎo)平面細(xì)化成細(xì)小的網(wǎng)格，熱量從橫截面四個(gè)面向內(nèi)傳導(dǎo)，網(wǎng)格內(nèi)溫度通過熱量的疊加的結(jié)果反映大小。

2.2 烤盤曲面溫度分布計(jì)算

為確定元胞自動(dòng)機(jī)模型的邊界初始溫度，文章將烤盤類比為高光曲面模具在恒溫環(huán)境中的球殼傳溫，并引用溫度與曲率的方程。伍曉宇等（2012）通過實(shí)驗(yàn)并擬合出溫度與曲率的方程。如下

所示：

該方程適用于平壁高光面。其中為某t時(shí)刻型面的溫度；為高光面殼的初始溫度；為對流介質(zhì)溫度；和為方程系數(shù)；L為高光面殼厚度。

當(dāng)烤盤出現(xiàn)光滑的曲線時(shí)，空氣對烤盤的熱傳遞可以看成是球殼傳熱。給定一個(gè)外界恒溫條件和時(shí)刻t，烤盤表面的各個(gè)點(diǎn)的溫度會隨著曲率的變化而變化，找出的公式如下

為時(shí)刻t 型面上曲率半徑為r的點(diǎn)的溫度；a b c d分別是方程系數(shù)。

為了給出同時(shí)具有平壁與曲線烤盤表面的溫度函數(shù)，可以將 ①與 ②兩個(gè)式子結(jié)合起來，給出一個(gè)式子如下

定義k為曲率影響系數(shù)，若k=0，則 ⑥轉(zhuǎn)化為 ④式。該文選取 烤盤初始溫度=25 ℃，烤箱溫度=200，=1.1925，烤盤壁厚度L=1 cm。

2.3 熱傳導(dǎo)規(guī)則

將蛋糕內(nèi)部橫截面熱分布的二維空間網(wǎng)格化。熱量的傳導(dǎo)可以看成是在不同的網(wǎng)格之間的傳導(dǎo)。

① 每一小格的熱量只能從上下左右傳遞，不能斜向傳遞。

② 熱量總是從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳遞。

③ 任一小格傳遞給周圍小格熱量后，溫度不能低于接受熱量小格的溫度。

對于規(guī)則的圖形表示，見圖a。其中 箭頭表示熱傳導(dǎo)>；表示紅色區(qū)域的溫度，表示黃色區(qū)域的溫度。

蛋糕外表面自接受來自四面烤盤外部的熱量后，從外向內(nèi)擴(kuò)散，距離邊界越遠(yuǎn)，傳遞到的熱量越少。熱量總是從高溫區(qū)域楚傳向低溫區(qū)域。擴(kuò)散的路徑如下圖所示。

2.4 仿真結(jié)果

文章選取生活中最常用的幾種常見的烤盤類型：圓形、矩形，通過元胞自動(dòng)機(jī)模型對其進(jìn)行仿真，仿真時(shí)間步長選取0.05。

3 結(jié)果分析

從上述五個(gè)圖看出圓形、橢圓、跑道形、圓角矩形和矩形烤盤在內(nèi)部溫度達(dá)到相同溫度（60 ℃左右）時(shí)運(yùn)行的次數(shù)依次是4374、8217、9234、10259、10627，選取次數(shù)最少的圓形作為最佳形狀，其傳熱最均勻。

另外通過仿真可以粗略的看出拐角處溫度較高，矩形表現(xiàn)得特別明顯，說明在該處蛋糕容易烤焦，那么在滿足需要對烤盤進(jìn)行特殊設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡量避免出現(xiàn)類似矩形的拐角。

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