張衛(wèi)星

極限思想是微積分的基本思想，用以描述某個(gè)無(wú)限變化過(guò)程的終極狀態(tài)，是其他相關(guān)數(shù)學(xué)分支（如復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)）的理論基礎(chǔ)。極限也是人們從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法，是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)。因此，我們可以嘗試挖掘體現(xiàn)極限思想的知識(shí)點(diǎn)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透極限思想。

一、關(guān)鍵點(diǎn)——大張旗鼓地滲透

所謂關(guān)鍵點(diǎn)，即極限思想是認(rèn)識(shí)一些新知的基礎(chǔ)，沒(méi)有對(duì)極限思想的感悟，就不可能深刻把握新知的內(nèi)涵。小學(xué)階段這樣的知識(shí)點(diǎn)較多，如“圓面積公式”、“循環(huán)小數(shù)”、“角的認(rèn)識(shí)”等，在教學(xué)這些知識(shí)點(diǎn)時(shí)要及時(shí)進(jìn)行滲透，讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)新知的同時(shí)體驗(yàn)極限思想的無(wú)窮魅力。

如，教學(xué)“射線的初步認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，一位教師經(jīng)歷了如下教學(xué)片斷：

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诎准埳袭?huà)一條3厘米長(zhǎng)的線段，說(shuō)一說(shuō)它有什么特點(diǎn)。

生：它是直的，用直尺可以量出長(zhǎng)度。

生：它有兩個(gè)端點(diǎn)……

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诎准埳袭?huà)一條5厘米長(zhǎng)的直線。

生：好了?。ǖ靡猓?/p>

生：不對(duì)！直線是沒(méi)有長(zhǎng)短的……

師：為什么？

生：因?yàn)橹本€可以向兩邊無(wú)限延長(zhǎng)。

師：無(wú)限延長(zhǎng)是什么意思？

生：就是無(wú)限的長(zhǎng)，沒(méi)完沒(méi)了的意思……

師：下面請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察老師的演示。

師：（用紅外線光電筒照在黑板上）請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出來(lái)。

師：（打開(kāi)窗戶(hù)，將紅外線光電筒照射向天空）如果光束沒(méi)有受到阻礙的話，請(qǐng)你畫(huà)出來(lái)……（學(xué)生有很多種情況，請(qǐng)學(xué)生自己說(shuō)出自己的理由，交流反饋）

師：這就是我們今天要學(xué)的射線，它有什么特點(diǎn)呢？

生：一個(gè)端點(diǎn)、直的、可以向一個(gè)方向無(wú)限延長(zhǎng)、不可度量。

師：射線是直線的一半嗎？

生：是的，因?yàn)樵谥本€上點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)，就可以得到兩條射線。

生：不對(duì)，它們都是可以無(wú)限延長(zhǎng)的，所以無(wú)法比較，不能說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的一半……

讓學(xué)生一下子認(rèn)識(shí)到圖形的無(wú)限性有一定難度，上述教學(xué)中，教師通過(guò)讓學(xué)生自己動(dòng)手，使其建立起對(duì)“線段”、“射線”、“直線”的直觀感悟。在紅外線的演示下，學(xué)生輕松建立了對(duì)“直線”、“射線”的“無(wú)限”的空間感觀。在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生走出有限的幾何觀念，形成無(wú)限的幾何觀念，既認(rèn)識(shí)了新知，又感悟到極限思想的巨大價(jià)值。

二、細(xì)微點(diǎn)——潛移默化地滲透

所謂細(xì)微點(diǎn)，就是有一些知識(shí)點(diǎn)可以涉及極限思想，也可以不涉及極限思想，但如果涉及極限思想，就可以讓學(xué)生得到更深刻的認(rèn)識(shí)。對(duì)于這些知識(shí)點(diǎn)，需要教師教學(xué)智慧、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的支撐，更需要教師主觀意愿的支撐。如果教師能夠把握這些知識(shí)點(diǎn)，并進(jìn)行潛移默化的滲透，就可以讓學(xué)生體驗(yàn)極限的內(nèi)涵，提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使其對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)更加到位。

如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元復(fù)習(xí)課時(shí)，一位教師在學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)大小的基本比較方法后，設(shè)計(jì)了如下幾個(gè)有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題：

師：你能舉出一個(gè)比 要小，但又與 很接近的分?jǐn)?shù)嗎？

這一問(wèn)題激起學(xué)生的積極聯(lián)想，很快地舉出了 、 ……

教師指著投影上表示 的數(shù)軸提問(wèn)：你們剛才所舉的數(shù)，如果在數(shù)軸上表示出來(lái)，應(yīng)該在哪兒呢？

教師這一問(wèn)題使學(xué)生感受到這些數(shù)與表示的點(diǎn)越來(lái)越近了，但始終還在 的左邊。

師：下面請(qǐng)同學(xué)們舉出比 大，但又很接近 的數(shù)。

這時(shí)學(xué)生受到上一環(huán)節(jié)方法的影響，很快地聯(lián)想到 、 ……

師：剛才大家所舉的分?jǐn)?shù)都在 右邊，而且與 越來(lái)越接近?，F(xiàn)在能否舉出離 略遠(yuǎn)一些，但又小于1的分?jǐn)?shù)呢？

這時(shí)學(xué)生想到“1”可以表示分子、分母相同的數(shù)，再結(jié)合把 的分子與分母同時(shí)乘相同的數(shù)。如果學(xué)生想到 =1，把分子減去1得到 ，而 > 。教師引導(dǎo)學(xué)生依次進(jìn)行聯(lián)想，學(xué)生先后得到 、 、 ……

師：剛才我們聯(lián)想到的分?jǐn)?shù)都比1要小，那比1要小的分?jǐn)?shù)，我們又叫它什么數(shù)呢？

生：真分?jǐn)?shù)。（師板書(shū)：真分?jǐn)?shù)<1）

師：你們還能聯(lián)想到假分?jǐn)?shù)，舉出假分?jǐn)?shù)嗎？

隨著學(xué)生的聯(lián)想，師板書(shū)：假分?jǐn)?shù)≥1。

上述教學(xué)環(huán)節(jié)，教師利用幾個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生圍繞著 展開(kāi)大數(shù)、小數(shù)的聯(lián)想。學(xué)生的聯(lián)想不僅是對(duì)數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)想，而且還借助數(shù)軸，形象地描述了點(diǎn)與數(shù)對(duì)應(yīng)的關(guān)系。通過(guò)這樣的聯(lián)想，學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到任何不同的兩數(shù)之間存在著無(wú)窮多個(gè)數(shù)（數(shù)軸兩個(gè)不同的點(diǎn)之間有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)），也進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到要向一個(gè)數(shù)無(wú)限地靠近，可以利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母不斷地去乘一個(gè)比較大的數(shù)，然后把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子減去1或加上1，就可以得到與這個(gè)數(shù)很靠近的數(shù)，這就是極限思想的滲透。這種滲透需要教師的精心預(yù)設(shè)并刻意引導(dǎo)，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)卻是潛移默化的。

三、關(guān)節(jié)點(diǎn)——深入淺出地滲透

所謂關(guān)節(jié)點(diǎn)，就是各知識(shí)點(diǎn)聯(lián)結(jié)的地方。因此，關(guān)節(jié)點(diǎn)往往在復(fù)習(xí)課內(nèi)碰到。復(fù)習(xí)課就是把平時(shí)相對(duì)獨(dú)立進(jìn)行教學(xué)的知識(shí)，特別是其中帶有規(guī)律性的知識(shí)，以再現(xiàn)、整理、歸納等辦法串起來(lái)，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、溝通，并使之條理化、系統(tǒng)化。而能把這些知識(shí)串起來(lái)的主線往往就是知識(shí)的關(guān)節(jié)點(diǎn)。如果關(guān)節(jié)點(diǎn)蘊(yùn)含極限思想，我們就要進(jìn)行深入淺出地滲透。為此，在上復(fù)習(xí)課時(shí)教師首先要厘清知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后捕捉它們之間蘊(yùn)含的極限思想，最后有計(jì)劃地加以滲透。

如，教學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“平面圖形的整理與復(fù)習(xí)”一課時(shí)，我們可以以梯形的面積公式為核心，將其他各個(gè)圖形聯(lián)系起來(lái)，從而使學(xué)生建立更為豐富和合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。以梯形為核心進(jìn)行梳理的主要手段可以借助極限思想將公式進(jìn)行聯(lián)絡(luò)。利用極限思想得到三角形的面積計(jì)算公式，方法是讓梯形的上底趨于0，梯形即趨于三角形，梯形的面積計(jì)算公式當(dāng)上底趨于0時(shí)的極限就是三角形的面積計(jì)算公式。我們甚至可以把長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形面積計(jì)算公式都看成是梯形面積計(jì)算公式的極限形式。于是，可以構(gòu)建出圖1所示的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。

圖1

可見(jiàn)，在關(guān)節(jié)點(diǎn)滲透極限思想是教師深思熟慮的結(jié)果，可以更好地完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、枝節(jié)點(diǎn)——有理有據(jù)地滲透

所謂枝節(jié)點(diǎn)，即在新課鞏固環(huán)節(jié)需要對(duì)一些知識(shí)進(jìn)行強(qiáng)化的點(diǎn)。因此，枝節(jié)點(diǎn)往往在新課練習(xí)中體現(xiàn)。一些教師在練習(xí)設(shè)計(jì)時(shí)往往側(cè)重于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，針對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的練習(xí)題則相對(duì)較少。然而，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想是靠不斷地積累、不斷地運(yùn)用形成的，能夠自主運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高水平體現(xiàn)，它應(yīng)該貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。練習(xí)作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，也應(yīng)該承擔(dān)這方面的任務(wù)。因此，教師在設(shè)計(jì)練習(xí)題時(shí)要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)，有理有據(jù)地滲透極限思想。

如，教學(xué)“商不變性質(zhì)”時(shí)，一位教師經(jīng)歷了如下教學(xué)片斷：

師出示：（32÷□）÷（8÷□）=4。

師：這題怎么填？

生：填4。

師：有不同答案嗎？

生：1。

生：可填1～9各數(shù)。

生：可填任何數(shù)，只要相同就行。

師：你們明白他的意思嗎？

生：除0外的任何數(shù)都可以。

生：除0外任何相同的兩個(gè)數(shù)。

……

如果僅從解題的角度看，上述這道題，學(xué)生很容易找到答案，而且費(fèi)時(shí)不會(huì)太多，但學(xué)生卻得不到此題的精髓，也就是題中所包含的規(guī)律，所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。因此，教師應(yīng)想辦法讓學(xué)生自己挖掘出這些規(guī)律和思想?！坝胁煌拇鸢竼?？”激起了學(xué)生的思維欲望，思路迅速打開(kāi)，從而使學(xué)生感受到答案的無(wú)窮，而答案的無(wú)窮也就是極限思想的具體表現(xiàn)，可以使學(xué)生頭腦中產(chǎn)生朦朧的極限定義。當(dāng)然，這種無(wú)窮是商不變性質(zhì)的本質(zhì)體現(xiàn)?？梢?jiàn)，在枝節(jié)點(diǎn)滲透極限思想，可以讓學(xué)生更好地、有理有據(jù)地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

總之，極限思想是人類(lèi)思想文化寶庫(kù)中的瑰寶，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)反映，是知識(shí)向能力轉(zhuǎn)化的紐帶。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)極限思想方法的素材極為廣泛，教師在教學(xué)中應(yīng)潛心挖掘，并抓住適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)進(jìn)行滲透。這樣，學(xué)生沉淀下來(lái)的就不只是數(shù)學(xué)知識(shí)，更主要的是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為他們以后建構(gòu)新的數(shù)學(xué)知識(shí)體系夯實(shí)了基礎(chǔ)。

責(zé)任編輯：趙關(guān)榮