方次軍

【摘 要】本文重點討論了對稱性在積分計算上的一些解題技巧和使用方法，并結(jié)合例子加以應(yīng)用說明。

【關(guān)鍵詞】對稱性；定積分；重積分

在積分教學(xué)的教授中，經(jīng)常遇到積分區(qū)域具備對稱性的題型。若利用積分區(qū)域的對稱性及被積函數(shù)的奇、偶性，則可以簡化其計算過程，達到事半功倍的效果。甚至有些題不用計算就可直接判斷出其結(jié)果。本文重點討論了利用積分區(qū)域的對稱性或被積函數(shù)的奇，偶性簡化（定）重積分計算，然后結(jié)合書本和考試中的一些例子加以說明。

一、定積分的對稱性

（1）設(shè)在對稱區(qū)間上連續(xù)且為奇函數(shù)，則有；

（2）設(shè)在對稱區(qū)間上連續(xù)且為偶函數(shù)，則有。

此結(jié)論在計算定積分時會帶來很大的方便。對于二重積分，在教學(xué)中如下結(jié)論：

二、二重積分的對稱性

設(shè)在區(qū)域D上連續(xù)，

（1）D關(guān)于軸對稱時：

當，則；

當；

（2）D關(guān)于軸對稱時：

當；

當；

（3）D關(guān)于直線軸對稱時：

；

（4）D關(guān)于原點對稱時：

當；

當。

以上性質(zhì)可以推廣到三重積分和曲線（面）積分的形式，這里不再累述。

三、例子介紹

例1：計算積分

解：由于被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)且為奇函數(shù)，由定積分的對稱性1可知結(jié)果為0

例2：計算二重積分

區(qū)域：；

解：將積分區(qū)域分割為四部分：

；

；

；

；

原式：

被積函數(shù)在；

被積函數(shù)在；

奇函數(shù)。

綜上，

例3：計算二重積分

區(qū)域：

解：積分區(qū)域D關(guān)于直線軸對稱，由二重積分的對稱性3，

所以：

原式=

從以上可以看出，對稱性在積分的計算中具有非常重要的作用，在教學(xué)中，可告訴學(xué)生，當看到積分區(qū)域?qū)ΨQ或函數(shù)有奇偶性時，就可以思考能用上述的一些結(jié)論，說不定可以起到意想不到的效果。

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社（第六版），2007.

[2]陳云新.對稱性在積分中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2000，10.

[3]徐小湛.對稱性在積分計算中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2001，03.

[4]劉磊.稱性在重積分計算中的應(yīng)用[J].湖北工業(yè)大學(xué)高教研究，2007，12.