龍旭東

摘 要：數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系的思維形式，是對一類數(shù)學(xué)對象本質(zhì)特征的概括?？梢哉f“數(shù)學(xué)是從概念出發(fā)的”。因此，理解、掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提和保證。在課堂教學(xué)中，運(yùn)用邏輯方法，分析、歸納概念間的關(guān)系，使各個概念間有較強(qiáng)的聯(lián)系，體現(xiàn)出各個概念之間的結(jié)構(gòu)性，對學(xué)生正確掌握概念的內(nèi)涵和外延，深刻理解并牢固地掌握、靈活地運(yùn)用概念有重要作用。

關(guān)鍵詞：概念；同一；從屬；全異

一、數(shù)學(xué)概念的幾種關(guān)系

中小學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系統(tǒng)中，除了一些不定義的概念或者原始概念之外，其余概念通過給它下定義來準(zhǔn)確揭示它的內(nèi)涵。在一般情況下，當(dāng)一個概念的內(nèi)涵被揭示后，也就確定了它的外延，因此，概念的定義可以作為判別概念外延的標(biāo)準(zhǔn)。在中小學(xué)數(shù)學(xué)里，從邏輯的角度看，兩個概念的外延之間，有下列幾種關(guān)系：

1.同一關(guān)系

如果兩個概念的外延完全重合，那么這兩個概念具有同一關(guān)系。例如，數(shù)0是自然數(shù)集中的最小的數(shù)，它又是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界數(shù)，在數(shù)的運(yùn)算中又是兩個相等數(shù)的差。又如，數(shù)1是不為0的同一數(shù)相除的商；在對數(shù)中，1=lg2+lg5；在三角函數(shù)中，1=sin2α+cos2α等。上述各組概念的外延完全重合，它們都是具有同一關(guān)系的概念。

2.從屬關(guān)系

不是同一關(guān)系的兩個概念甲和乙，如果甲概念的外延A完全包含乙概念的外延B，那么這兩個概念具有從屬關(guān)系。在具有從屬關(guān)系的兩個概念中，外延較大的那個概念叫做屬概念，外延較小的那個概念叫做種概念。例如，四邊形與平行四邊形；整數(shù)與分?jǐn)?shù)；等式與方程；復(fù)數(shù)的模與實數(shù)的絕對值等，它們都具有從屬關(guān)系。

3.全異關(guān)系

如果兩個概念的外延間沒有任何一部分重合，那么這兩個概念具有全異關(guān)系。全異關(guān)系分為矛盾關(guān)系和反對關(guān)系。在同一屬概念之下的兩個種概念，如果它們的外延之和等于屬概念的外延，而且這兩個種概念具有全異關(guān)系，那么這兩個種概念的關(guān)系稱為矛盾關(guān)系。例如，在平面幾何中，“直角三角形與斜角三角形”，實數(shù)中的負(fù)數(shù)與非負(fù)數(shù)等都是具有矛盾關(guān)系的概念。如果它們的外延之和小于屬概念的外延，而且這兩個種概念具有全異關(guān)系，那么這兩個種概念的關(guān)系稱為反對關(guān)系。例如，在自然數(shù)中考慮質(zhì)數(shù)與合數(shù)，在四邊形中考慮“平行四邊形”與“梯形”等，這兩組概念都具有反對關(guān)系。

二、利用概念間的關(guān)系，讓學(xué)生準(zhǔn)確理解概念

1.利用同一關(guān)系，讓學(xué)生全面理解概念

在中小學(xué)數(shù)學(xué)里，有的概念敘述簡潔，寓意深刻，有的概念用式子表示，比較抽象。具有同一關(guān)系的概念，它們的外延完全重合，而它們的內(nèi)涵可以有所不同，根據(jù)這一情況，抓住同一關(guān)系的概念進(jìn)行比較，可以讓學(xué)生全面理解概念。

2.利用從屬關(guān)系，讓學(xué)生清晰地理解概念

具有從屬關(guān)系的概念在中小學(xué)數(shù)學(xué)里大量存在，對這些概念的學(xué)習(xí)，就可以通過確定它們彼此的從屬關(guān)系，揭示相互之間的有機(jī)聯(lián)系，把有關(guān)概念逐個串聯(lián)起來，使之形成一個環(huán)環(huán)相扣的概念鏈。例如，在對四邊形、平行四邊形、長方形、正方形進(jìn)行復(fù)習(xí)時，就可以利用集合圖來表示它們四者的從屬關(guān)系，這種方法比較直觀形象，易于理解和掌握。

3.利用反對、矛盾關(guān)系，讓學(xué)生深刻地理解概念

具有反對、矛盾關(guān)系的兩個概念在數(shù)學(xué)上也是大量存在的，了解了它可以采用充分分析一方而另一方必然自明的方法來進(jìn)行教學(xué)，從而達(dá)到讓學(xué)生深刻地理解概念的目的。例如，在教學(xué)等邊三角形與不等邊三角形時，有的學(xué)生把等邊三角形視為不等邊三角形的否定，事實上，我們知道，等邊三角形是三邊都相等的三角形，不等邊三角形是三邊都不相等的三角形，因此，這兩個概念是反對關(guān)系的概念，但不是矛盾關(guān)系的概念，兩者之間還有一種底邊和腰不相等的等腰三角形。

參考文獻(xiàn)：

[1]郝澎.關(guān)于初中數(shù)學(xué)課本中概念定義的商討.數(shù)學(xué)通報，1990（08）.

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（作者單位 重慶市璧山縣教師進(jìn)修學(xué)校）