王俊剛

摘 要： 本文就以數(shù)形結(jié)合的思想方法為主，系統(tǒng)的總結(jié)了中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合在函數(shù)解題中的運(yùn)用，并結(jié)合了與之有關(guān)的具有代表性的例題加以引用解釋，旨在引導(dǎo)讀者，使其明白數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性。

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合思想 解題 函數(shù)

1 一次函數(shù)與數(shù)形結(jié)合

例1：已知集合 ，若 ，求a的值？

解：如圖集合A表示不含點(diǎn) 的直線

： ，集合B表示直線 m：

（1）當(dāng)直線 與直線m平行時(shí)

此時(shí)a =1

（2）當(dāng)直線m經(jīng)過點(diǎn)（2，3）時(shí)，

此時(shí) 所以所求的a的值是1或

小結(jié)：本題應(yīng)該是集合運(yùn)算的范圍的，但是給這些數(shù)和式以“形”的直觀，使抽象空洞的集合運(yùn)算變得形象具體起來，將集合的問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問題來解決，這就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合優(yōu)化解題思想和轉(zhuǎn)化的思想。

2 二次函數(shù)與數(shù)形結(jié)合

例2、已知關(guān)于 的方程為 ，有四個(gè)不相等的實(shí)根，

那么實(shí)數(shù) 的取值范圍為？

解析：根據(jù)題意，我們觀察所謂的函數(shù)式，直接求解，要用到分段函數(shù)，太過于復(fù)雜。我們可以由方程聯(lián)想二次函數(shù)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合.如圖，以數(shù)助形，則簡(jiǎn)潔明了.設(shè)： ， .又 為偶函數(shù)，由圖可知

3 反比列函數(shù)與數(shù)形結(jié)合

例3、方程 的實(shí)根為 、 ，則

分析：本題中的函數(shù)方程屬于超越函數(shù)，直接通過計(jì)算是沒辦法算的，但是分析它們的組成函數(shù)，都是基本函數(shù)，所以，我們要很快的想到從它們的圖像入手，聯(lián)想原函數(shù)與反函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形可巧妙求解。

解：令 ，

如圖所示，因?yàn)?， 互為反函數(shù)，

所以其圖象關(guān)于 對(duì)稱，所以設(shè) 得 即

4 函數(shù)不等式與數(shù)形結(jié)合

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解不等式，要充分了解所求不等式的幾何意義，看下面這樣一道例題。

例4、設(shè)變量 在區(qū)間 中取值，試證： .

解：如圖，正三角形 邊長(zhǎng)為1，設(shè)點(diǎn) 分別在邊 、 和 上，

且有 ， ， 則 ， ，

， ，

即 ，結(jié)論得證.

小結(jié)：本題直接不好證明，由左邊的輪換式可以聯(lián)想到其面積，由于變量 、 、 在區(qū)間 中取值構(gòu)造出一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形.將這些關(guān)系統(tǒng)一在一個(gè)不等式中，可得到簡(jiǎn)潔而優(yōu)美的解法.這道題就充分的凸顯的形的直觀，數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)，兩者相互補(bǔ)充，就達(dá)到了優(yōu)化解題的目的。

5 三角函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合

例5已知 那么下列正確的命題是（ ）

A、若 、 是第一象限角，則

B、若 、 是第二象限角，則

C、若 、 是第三象限角，則

D、若 、 是第四象限角，則 分析 考察選項(xiàng)A，作單位圓，如圖，OA、OB分別為角 、 的終邊，因?yàn)镺C為 的余弦線，OD為 的余弦線，所以有 知A錯(cuò)，依次判斷知選D.

小結(jié)：在三角函數(shù)這塊只是中，由于所要記憶的公式特別的多，所以我們要充分的利用圖形來解決這類的問題.而單位圓是解決三角函數(shù)最常用的工具圖形，所以我們必須熟練的掌握和運(yùn)用.

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