蘇教版必修3第三章講了《概率》，包括古典概型與幾何概型，這兩種概型的共同點是在隨機試驗中，每個試驗結果出現(xiàn)的可能性相等，即基本事件發(fā)生是等可能的．可它們又是兩種不同的概型，同學們在解題時常常把這兩種概型混淆，導致解題錯誤．這兩種概型的區(qū)別到底在哪兒，我們又該如何區(qū)分這兩種概型，對這兩種概型如何求解？通過本文的分析，希望對同學們有所啟發(fā)．

一、古典概型與幾何概型的區(qū)別

例1 （1）在區(qū)間［0，10］上任意取一個整數(shù)x，則x不大于3的概率為_____________；

（2）在區(qū)間［0，10］上任意取一個實數(shù)x，則x不大于3的概率為_____________．

分析：本題中，問題1因為總的基本事件是［0，10］內的全部整數(shù)，所以基本事件總數(shù)為有限個11，而不大于3的基本事件有4個，此問題屬于古典概型，所以所求概率為411．問題2中，因為總的基本事件是［0，10］內的全部實數(shù)，所以基本事件總數(shù)為無限個，此問題屬于幾何概型，事件對應的測度為區(qū)間的長度，總的基本事件對應區(qū)間［0，10］長度為10，而事件“不大于3”對應區(qū)間［0，3］長度為3，所以所求概率為310．

小結：1．此題中的兩個問題，每個基本事件都是等可能發(fā)生的，但是問題1中的總基本事件是有限個，屬于古典概型；而問題2中的總基本事件是無限個，屬于幾何概型.故在實際解決問題中，關鍵要正確區(qū)分古典概型與幾何概型．

古典概型中基本事件的個數(shù)是有限的，事件是可以數(shù)出個數(shù)的；而幾何概型中基本事件是無限的，事件是不可以數(shù)出有多少個的，這是這兩種概型的本質區(qū)別．

2．兩種概型的概率公式．

古典概型的概率公式：如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且所有結果都是等可能的，如果事件A包含m個結果，那么事件A的概率P（A）=mn；幾何概型的概率公式：

P（A）=構成事件A的區(qū)域長度（長度或面積或體積或角度等）試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（長度或面積或體積或角度等）．

例2 判斷下列概率問題中哪些屬于古典概型哪些屬于幾何概型：

（1）從一批產(chǎn)品中抽取30件進行檢查，有5件次品，求正品的概率；

（2）隨機地向四方格里投擲硬幣50次，統(tǒng)計硬幣正面朝上的概率．

（3）箭靶的直徑為1m，其中，靶心的直徑只有12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率為多少？

（4）甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時才可離去，求兩人能會面的概率．

對比古典概型和幾何概型的特點，判斷得（1）、（2）屬于古典概型；（3）、（4）屬于幾何概型．

二、古典概型注意點

1．注意 “非等可能”與“等可能”

例3 擲兩枚骰子，求事件A為出現(xiàn)的點數(shù)之和等于3的概率．

錯解：擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和的可能數(shù)值為{2，3，4，…，12}，屬于事件A的結果只有3，故P（A）=111．

分析：公式P（A）=屬于事件A的基本事件數(shù)基本事件的總數(shù)

僅當所述的試驗結果是等可能時才成立，而取數(shù)值2和3不是等可能的，2只有這種情況（1，1）才出現(xiàn)，而3有兩種情況（1，2），（2，1）可出現(xiàn)，其它的情況可類推．

正確答案 擲兩枚骰子可能出現(xiàn)的情況：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），結果總數(shù)為6×6=36．

在這些結果中，事件A的含有兩種結果（1，2），（2，1）．

∴P（A）＝236=118．

2．注意“可辯認”與“不可辨認”

例4 將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中去（每個盒子容納球的個數(shù)不限），求事件A：“某指定的n個盒子中恰好各有一球的概率”．

錯解：將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中，所有可能的結果數(shù)為Nn，而事件A含有n！種結果．

所以P（A）=n！Nn

分析：這種解法不全面，如果球是編號的（即可辨認的），則答案是對的；若球是不可辯認的，則答案完全錯了．因為球是不可辯認的，故只考慮盒子中球的個數(shù)，不考慮放的是哪幾個球．我們在此用符號“□”表示一個盒子，“○”表示球，先將盒子按號碼排列起來

這樣的N個盒子由N+1個“|”構成，然后把n個球任意放入N個盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在這樣的放法中，符號“|”和“○”共占有：N+1+n個位置，在這N+1+n個位置中，開始和末了的位置上必須是“|”，其余的N+n-1個位置上“|”和“○”可以任意次序排列．則N-1個“1”和n個“○”在中間的N+n-1個位置上的可以區(qū)別的所有可能結果數(shù)是，將n個不可辨認的球放入指定的n個盒子，使每盒恰有一球的放法只有1種，故事件A含1個結果，從而

P（A）=1CnN+n-1=n?。∟-1）?。∟+n-1）！.

正解：分兩種情況：

（1）當球是可辯認的，則P（A）=n！Nn；

（2）當球是不可辨認的，則P（A）=n?。∟-1）！（N+n-1）?。?/p>

三、幾何概型中注意點

解幾何概型問題的關鍵是準確分清幾何概型的測度．

例5 （1）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM<30°的概率．

（2）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在∠CAB內作射線交線段BC于點M，求∠CAM<30°的概率．

分析：此題組中的兩個問題，很顯然都是幾何概型的問題，但是考察的測度不一樣．問題1的測度定性為線段長度，當∠CAM0=30°時，CM0=33AC=33CB，符合條件的點M等可能的分布在線段CM0上，所以所求概率等于CM0CB=33．而問題2的測度定性為角度，過點A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無數(shù)條，均勻分布在∠CAB內，∠CAB=45°，所以所求概率等于∠CAM0∠CAB=30°45°=23．

此題中的兩個問題都是幾何概型的問題，但是選取的測度不一樣，在解決時考察和計算的結果也不一致．可見在解決幾何概型問題時，要認真審題，分清問題考察的測度，從而正確解決問題．

例6 某人午睡醒后，發(fā)現(xiàn)表停了，于是打開收音機等候整點報時，那么等待時間不多于10分鐘的概率是多大？

解析：①這是什么概型，為什么？

②借助什么樣的幾何圖形來表示隨機事件與所有基本事件？（圓或線段）

③該如何建立數(shù)學模型？

解：設A=“等待時間不超過10分鐘”，則P（A）=CBAB=60－5060=16或P（A）=S扇形1S圓=16

（2）某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺整點報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率．

分析：某人醒來在整點間即60分鐘是隨機的，等待的時間不多于10分鐘可以看作構成事件的區(qū)域，整點即60分鐘可以看作所有結果構成的區(qū)域，因此本題的變量可以看作是時間的長度，于是可以通過長度比公式計算其概率．

可設“等待的時間不多于10分鐘”這一事件記作事件A，則

P（A）=等待的時間不多于10分鐘時間長度所有在60分鐘里醒來的時間長度＝1060=16；

顯然這是一個與長度有關的幾何概型問題，問題比較簡單，學生也易于理解．

問題拓展：某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，則表停的分鐘數(shù)和實際分鐘數(shù)差異不超過5分鐘的概率為多少？

分析：本題的特點在于學生易犯固定思維的錯誤，習慣性的用上題中的時間長度之比來解決，得到錯誤的答案560=112．學生錯誤的原因在于沒有科學的認識題中的變量．本題中包含了兩個變量，一個是手表停的分鐘數(shù)，可以在［0，60］內的任意時刻，另一個變量是實際分鐘數(shù)，也可以在［0，60］內的任意時刻．所以本題的解決應以x軸和y軸分別表示手表停的分鐘數(shù)和實際分鐘數(shù)，那么差異不超過5分鐘的充要條件是|x－y|≤5，從而可以繪制坐標軸，數(shù)形結

合，得到結果．

由于（x，y）的所有可能結果是邊長為60的正方形，差異不超過5分鐘由圖中陰影部分所表示，記“差異不超過5分鐘”為事件A

因此，差異不超過5分鐘的概率P（A）=602－552602=23144．

總之，如何解決概率問題，得首先分清是古典概型與幾何概型，然后再用相應的方法來解題，關注解決兩種概型的一些注意點．

（作者：汪云霞，如皋市第二中學）