三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，也是一種基本初等函數(shù)，在數(shù)學(xué)和其它領(lǐng)域中具有重要作用．三角函數(shù)既是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．在學(xué)習(xí)過(guò)程中，建立三角函數(shù)模型將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，是解決三角函數(shù)實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵．

解決三角實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是仔細(xì)審題．仔細(xì)審題，準(zhǔn)確理解題意，分析條件和結(jié)論，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，理清問(wèn)題中各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系；二是合理選取參變量．設(shè)定變?cè)?，尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問(wèn)題中的關(guān)系；三是建立與求解相應(yīng)的三角函數(shù)模型．將文字語(yǔ)言、圖形數(shù)表語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．

一、常見(jiàn)的三角函數(shù)模型

1．轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的一次型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k模型

例1 某港口每年的10月份的海潮都有如下的規(guī)律：相鄰兩次高潮發(fā)生間隔為12h20min，低潮時(shí)水的深度為2．8m，高潮時(shí)水深為8．4m，一次高潮發(fā)生在10月3日2：00．若從10月3日0：00開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，可以用三角函數(shù)d=Asin（ωt+φ）+k（A>0，ω>0，－π2<φ<π2）來(lái)近似地描述這個(gè)港口的水深d（m）和時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系．

（1）請(qǐng)求出函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求10月5日4：00水的深度；

（3）一只輪船吃水深度為5m，該港口安全條例規(guī)定：船底與海底安全間隙的最小值為1．5m，問(wèn)10月3日12時(shí)至16時(shí)這條輪船能否進(jìn)入該港口？

（參考數(shù)據(jù)：cos4π37≈910，cos29π74≈928）．

分析 港口的海潮是有周期的規(guī)律，所以題目直接給出實(shí)際問(wèn)題的三角函數(shù)的一次型函數(shù)模型，求解時(shí)只要根據(jù)條件直接確定A、ω、φ、k的值．

（1）由條件可知：A+k=8.4，－A+k=2.8，則A=2.8，k=5.6；又周期T=1213=2πω，解得ω=6π37；當(dāng)t=2時(shí)，ωt+φ=π2，則6π37×2+φ=π2，φ=13π74．

從而d=2.8sin（6π37t+13π74）+5.6．

（2）d=2.8sin（6π37×52+13π74）+5.6=2.8cos4π37+5.6=2.8×0.9+5.6=8.12．

（3）d=2.8sin（6π37t+13π74）+5.6≥6.5，則sin（6π37t+13π74）≥928=cos29π74=sin4π37．

當(dāng)12

即9π74<6π37t+13π74－2π<57π74，而sin9π74>sin4π37，sin5774π=sin1474π>sin4π37．

故10月3日12時(shí)至16時(shí)這條輪船能夠進(jìn)入該港口．

點(diǎn)評(píng)：已知三角函數(shù)一次型函數(shù)模型，其中A的值與變化的幅度有關(guān)，即A=ymax－ymin2；ω的值與周期有關(guān)，即ω=2πT；φ的值與初相有關(guān)．

例2 如圖，在半徑為R、圓心角為60°的扇形AB弧任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，求這個(gè)矩形面積的最大值．

分析 要求扇形的內(nèi)接矩形的面積最大值，首先要表示矩形的面積，由于已知條件是與角有關(guān)的條件，所以考慮設(shè)角為自變量來(lái)表示矩形的面積．

設(shè)∠POB=θ，所以PN=Rsinθ，ON=Rcosθ，又OM=QMtan60°=PNtan60°=33Rsinθ，

則MN=Rcosθ－33Rsinθ，所以S=（Rcosθ－33Rsinθ）Rsinθ，利用三角公式變形整理得S=36R2［2sin（2θ+π6）－1］，θ∈（0，π3）．則易求得當(dāng)θ=π6時(shí)最大值為36R2．

點(diǎn)撥 根據(jù)問(wèn)題中面積的定義，通過(guò)設(shè)角，找到各個(gè)量之間的關(guān)系，再利用三角公式將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的一次函數(shù)模型．

２．轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的分式函數(shù)模型

例3 如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處．AB＝20km，BC＝10km．為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界）且與A，B等距的一點(diǎn)O處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO．記鋪設(shè)管道的總長(zhǎng)度為y km．

（1） 設(shè)∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)；

（2）確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長(zhǎng)度最短．

分析 本題已經(jīng)設(shè)了輔助角，根據(jù)圖形特點(diǎn)，知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），則OA=AQcosθ=10cosθ， 故OB=10cosθ，又OP=10－10tanθ，

所以y=OA+OB+OP=10cosθ+10cosθ+10－10tanθ，

所求函數(shù)關(guān)系式為y=20－10sinθcosθ+10（0≤θ≤π4），可利用導(dǎo)數(shù)求最值．

此時(shí)點(diǎn)P位于線(xiàn)段AB 的中垂線(xiàn)上，在矩形區(qū)域內(nèi)且距離AB邊1033km處．

點(diǎn)撥 通過(guò)設(shè)角，根據(jù)圖形特點(diǎn)，利用角θ表示各個(gè)量之間的關(guān)系式，建立的是三角函數(shù)的分式函數(shù)模型，求解最值時(shí)往往通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得結(jié)果．

3．轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的“勾型函數(shù)”模型

例4 如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一質(zhì)點(diǎn)從AB邊上的點(diǎn)P0出發(fā)，沿與AB的夾角為θ的方向射到邊BC上點(diǎn)P1后，依次反射（入射角與反射角相等）到邊CD、DA和AB上的P2、P3、P4處．若P4落在A、P0兩點(diǎn)之間，且AP0=2．設(shè)tanθ=t，將五邊形P0P1P2P3P4的面積S表示為t的函數(shù)，并求S的最大值．

分析 要求面積的最大值，首先要表示出面積，根據(jù)反射的定義知四個(gè)三角形P0BP1、P1CP2、P2DP3、P3AP4中的角有相互關(guān)系，所以設(shè)角P1P0B為θ，則P1B=tanθ，則P1C=2－tanθ， P2C=P1Ctanθ=2－tanθtanθ=2tanθ－1，P2D=4－2tanθ，P3D=4tanθ－2，P3A=4－4tanθ，AP4=4tanθ－4．

因?yàn)镻4落在A、P0兩點(diǎn)之間，所以23

S=S四邊形ABCD－S△P0BP1－S△P1CP2－S△P2DP3－S△P3AP4=6－12tanθ－12（2－tanθ）（2tanθ－1）

－12（4－2tanθ）（4tanθ－2）－12（4－4tanθ）（4tanθ－4）=58－（34tanθ+24tanθ）

=32－（17t+12t）．由于23

故S的最大值為32－451．

點(diǎn)撥 若問(wèn)題中的多個(gè)圖形的角度相互之間具有一定關(guān)系，通過(guò)設(shè)輔助角表示所求的問(wèn)題，建立的模型是三角函數(shù)的分式函數(shù)模型，求解的方法一是利用基本不等式；二是求導(dǎo)等．

4．轉(zhuǎn)化為自變量角θ和三角函數(shù)組合的超越模型

例5 如圖現(xiàn)有一個(gè)以∠AOB為圓心角、湖岸OA與OB為半徑的扇形湖面AOB．現(xiàn)欲在弧AB上取不同于A、B的點(diǎn)C，用漁網(wǎng)沿著弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半徑OC和線(xiàn)段CD（其中CD∥OA），在該扇形湖面內(nèi)隔出兩個(gè)養(yǎng)殖區(qū)域——養(yǎng)殖區(qū)域Ⅰ和養(yǎng)殖區(qū)域Ⅱ．若OA＝1km，∠AOB＝π3，∠AOC＝θ，求所需漁網(wǎng)長(zhǎng)度（即圖中弧AC、半徑OC和線(xiàn)段CD長(zhǎng)度之和）的取值范圍．

分析 漁網(wǎng)長(zhǎng)度是三段之和，分別用θ表示三段弧AC、半徑OC和線(xiàn)段CD長(zhǎng)度，

設(shè)漁網(wǎng)的長(zhǎng)度為f（θ），由CD∥OA，∠AOB=π3，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，∠ODC=2π3，∠COD=π3－θ，在△OCD中，由正弦定理，得CD=23sin（π3－θ），θ∈（0，π3）

所以f（θ）=θ+1+23sin（π3－θ），所以f′（θ）=1－23cos（π3－θ），因?yàn)棣取剩?，π3），所以π3－θ∈（0，π3），令f′（θ）＝0，得cos（π3-θ）＝32，所以π3－θ＝π6，所以θ＝π6．

θ（0，π6）π6（π6，π3）

f′（θ）＋0－

f（θ）極大值

所以f（θ）∈（2，π＋6＋236］，故所需漁網(wǎng)長(zhǎng)度的取值范圍是（2，π＋6＋236］．

點(diǎn)撥 在求解涉及到角度與三角函數(shù)組合的函數(shù)模型時(shí)，常常用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解．

5．轉(zhuǎn)化為三角形中的三角函數(shù)模型

例6 在面積為2的△ABC中，E、F分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線(xiàn)EF上，則PC·PB+BC2的最小值為_(kāi)____________．

分析 解決三角形中的最值問(wèn)題有兩種思路，一是設(shè)邊長(zhǎng)來(lái)表示所求的量，二是設(shè)角來(lái)表示所求的量．設(shè)∠BPC=θ，BP=a，PC=b，BC=c，absinθ=2，c2=a2+b2－2abcosθ，

則PC·PB+BC2=abcosθ+c2=a2+b2－abcosθ≥2ab－abcosθ=2（2－cosθsinθ），下面通過(guò)求導(dǎo)，可得當(dāng)cosθ=12時(shí)，PC·PB+BC2有最小值23．

點(diǎn)撥 三角形中的有關(guān)邊的最值問(wèn)題常常是轉(zhuǎn)化為角的某個(gè)三角函數(shù)模型，再通過(guò)求解函數(shù)的最值的有關(guān)方法來(lái)求解．

二、應(yīng)用

1．已知△ABC中，AB邊上的高與AB邊的長(zhǎng)相等，則ACBC+BCAC+AB2BC·AC的最大值為 ．（22）

2．如圖，某市準(zhǔn)備在道路EF的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道，賽道的前一部分為曲線(xiàn)段FBC，該曲線(xiàn)段是函數(shù)y=Asin（ωx+2π3）（A>0，ω>0），x∈［-4，0］時(shí)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B（－1，2）．賽道的中間部分為長(zhǎng)3千米的直線(xiàn)跑道CD，且CD∥EF．賽道的后一部分是以O(shè)為圓心的一段圓弧DE．

（1）求ω的值和∠DOE的大??；

（2）若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個(gè)頂點(diǎn)在半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧DE上，且∠POE=θ，求當(dāng)“矩形草坪”的面積取最大值時(shí)θ的值．

y=2sin（π6x+23π） x=0

y=3則∠DOC=π4

∠DOE=π4.矩形面積S=6sinθ·（6cosθ-6sinθ）

求極大值得θ=π8時(shí)，S=3（2-1）

總之，在求解三角函數(shù)背景下的應(yīng)用題時(shí)，我們要善于選擇恰當(dāng)?shù)淖兞?，建立與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型，通過(guò)利用三角函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、求導(dǎo)等途徑求解最值，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題．

（作者：王小青，江蘇省如皋中學(xué)）