王永山 余俐

統(tǒng)計是高中數(shù)學新增的內(nèi)容，同時也滲透到整個社會的方方面面，因此與統(tǒng)計交匯的數(shù)學問題就在這種情況下閃亮登場，筆者發(fā)現(xiàn)高考對統(tǒng)計的考查正逐年加強，而且常常在統(tǒng)計內(nèi)容與其它知識的橫向交匯處命題，很好地考查了考生的數(shù)學綜合能力，形成高考試題改革的一大亮點．本文擬加以說明，旨在幫助大家熟悉最近幾年統(tǒng)計解答題的特征，探索解題規(guī)律．

一、統(tǒng)計與抽樣的交匯

例１ 某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組，在參加活動的職工中，青年人占42．5%，中年人占47．5%，老年人占10%，登山組的職工占參加活動總?cè)藬?shù)的14，且該組中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10%．為了了解各組不同年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本．試確定

（1）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；

（2）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)．

解 （1）設(shè)登山組人數(shù)為x，游泳組中，青年人、中年人老年人各占比例分別為a，b，c則有x·40%+3xb4x=47.5%，x·10%+3xc4x=10%，解得b=50%，c=10%，故a=100%－50%－10%=40%，即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40%、50%、10%．

（2）游泳組中，抽取的青年人數(shù)為200×34×40％=60（人）；抽取的中年人數(shù)為200×34×50％=75（人）；抽取的老年人數(shù)為200×34×10％=15（人）．

評注：本題主要考查統(tǒng)計學中常用的分層抽樣法以及運用統(tǒng)計知識解決實際問題的能力．分層抽樣時應(yīng)根據(jù)各層個體數(shù)所占總體的個體數(shù)的抽樣比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量．

二、統(tǒng)計與古典概型相交匯

例2 （2011年寧夏高考題）為了了解《中華人民共和國道路交通安全法》在學生中的普及情況，調(diào)查部門對某校6名學生進行問卷調(diào)查，6人得分情況如下：5，6，7，8，9，10．把這6名學生的得分看成一個總體．

（1）求該總體的平均數(shù)；

（2）用簡單隨機抽樣方法從這6名學生中抽取2名，他們的得分組成一個樣本．求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0．5的概率．

解 （1）總體平均數(shù)為16（5+6+7+8+9+10）=7．5．

（2）設(shè)A表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0．5”．

從總體中抽取2個個體全部可能的基本結(jié)果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共15個基本結(jié)果．

事件包含的基本結(jié)果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9）共有7個基本結(jié)果，所以所求的概率為P（A）=715．

類似地有2011年廣東高考題：某初級中學共有學生2 000名，各年級男、女生人數(shù)如下表：

（1）求合唱團學生參加活動的人均次數(shù)；

（2）從合唱團中任意選兩名學生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率．

（3）從合唱團中任選兩名學生，用ξ表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值．求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

解 由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數(shù)分別為10、50和40．

（1）該合唱團學生參加活動的人均次數(shù)為

1×10+2×50+3×40100=230100=2.3

（2）從合唱團中任選兩名學生，他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率為

P0=C210+C250+C240C2100=4199．

（3）從合唱團中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件A，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件B，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件C．易知

P（ξ=1）=P（A）+P（B）

=C110C150C2100+C150C140C4100=5099；

P（ξ=2）=P（C）=C110C140C2100=899

ξ的分布列：

評注：本題主要考查統(tǒng)計圖表、離散型隨機變量的分布列和均值（數(shù)學期望）等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和分類討淪思想．解決這類問題的關(guān)鍵是將ξ的每種情況分解為彼此互斥的情況．

例4 （2009年湖北高考題）在生產(chǎn)過程中，測得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細的一種量）共有100個數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如下表：

（1）在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標系中畫出頻率分布直方圖；

（2）估計纖度落在［1．38，1．50）中的概率及纖度小于1．40的概率是多少？

（3）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間［1．30，1．34）的中點值是1．32）作為代表．據(jù)此，估計纖度的期望．

解 （1）

（2）纖度落在［1．38，1．50）中的概率約為0．30+0．29+0．10=0．69，纖度小于1．40的概率約為0．04+0．25+12×0．30=0．44．

（3）總體數(shù)據(jù)的期單約為

1．32×0．04+1．36×0．25+1．40×0．30+1．44×0．29+1．48×0．10+1．52×0．02=1．408 8．

四、統(tǒng)計與獨立重復(fù)試驗概型相交匯

例5 （2009年遼寧高考題）某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的使用壽命（單位：小時）進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

（1）將各組的頻率填人表中；

（2）根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，計算燈管使用壽命不足1500小時的頻率；

（3）該公司某辦公室新安裝了這種型號的燈管3支，若將上述頻率作為概率，試求至少有2支燈管的使用壽命不足1500小時的概率．

解 （1）

（2）由（1）可得0．048+0．121+0．208+0．223=0．6，所以燈管使用壽命不足1500小時的頻率為0．6．

（3）由（2）知，1支燈管使用壽命不足１500小時的概率P=0．6，根據(jù)在n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生n次的概率公式可得P3（2）+P3（3）=C23×0.62×0.4+0.63=0.648．

所以至少有2支燈管的使用壽命不足1500小時的概率是0．648．

評注：本小題主要考查頻率、概率、總體分布的估計、獨立重復(fù)試驗等基礎(chǔ)知識，考查運用統(tǒng)計的有關(guān)知識解決實際問題的能力．n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生n次的概率公式為Pn（k）=Cknpk（1－p）n－k（0

（作者：王永山、余俐，江蘇省阜寧中學）