曹洪娥

摘 要： 數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅滿足于單純的知識(shí)灌輸，還應(yīng)使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)最本質(zhì)的東西——數(shù)學(xué)思想方法，用數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)率數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.本文從數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、分類討論思想三方面對(duì)數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的應(yīng)用加以闡述，為教學(xué)提供參考.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)形結(jié)合思想 化歸思想 分類討論思想

數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式的數(shù)量關(guān)系在人的意識(shí)中的反映，再經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生過程的提煉、抽象、概括和升華，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，是開發(fā)智力、培養(yǎng)能力的重要途徑.數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式，是指在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，為數(shù)學(xué)活動(dòng)提供思路和手段，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略.數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既有聯(lián)系又有區(qū)別，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的理論基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)方法是實(shí)施有關(guān)數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段.數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)了概括性和普遍性，數(shù)學(xué)方法體現(xiàn)了操作性和具體性.數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法在某種程度上處于更高的層次.對(duì)于學(xué)習(xí)者來說，思想和方法都是他們思維活動(dòng)的載體，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過程，這種積累達(dá)到一定程度就會(huì)產(chǎn)生飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。一旦數(shù)學(xué)思想形成，就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)方法起指導(dǎo)作用.“掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法，能使數(shù)學(xué)更易于理解和便于記憶，領(lǐng)會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移的‘光明之路.”（布魯納語(yǔ)）因此，相比數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，這對(duì)于抓好雙基、培養(yǎng)能力及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)都具有十分重要的作用.

一、數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)無形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微”，可見數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中多么重要.所謂數(shù)形結(jié)合就是把數(shù)與圖形結(jié)合起來，直觀形象，使抽象的內(nèi)容具體化，為分析問題和解決問題提供有利條件.中學(xué)生思維發(fā)展的趨勢(shì)是從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡，因此在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想尤為重要.

1.應(yīng)用于概念教學(xué)

例1：講解平行四邊形、矩形、菱形、正方形時(shí)，我們可以用圖1的形式.這樣學(xué)生就可以很容易區(qū)分平行四邊形、矩形、菱形、正方形.再如：對(duì)三角形進(jìn)行分類時(shí)，可以用圖2，這些圖能將事物的邏輯關(guān)系清晰地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生更易于理解和接受.

圖1 圖2

數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)的世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系在思維中的反映，是正確推理和判斷的依據(jù)，抽象性很強(qiáng).中學(xué)數(shù)學(xué)中概念描述較抽象，這種抽象性和中學(xué)生思維的直觀性存在一定的矛盾，解決這一矛盾的方法之一，就是采用數(shù)形結(jié)合方法.數(shù)形結(jié)合可使抽象的概念直觀、形象，便于學(xué)生理解記憶，也使學(xué)生的空間觀念和認(rèn)識(shí)提高到一個(gè)新的水平.

2.應(yīng)用于法則教學(xué)

例2：學(xué)習(xí)了勾股定理a■+b■=c■，借助兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形（如圖3），對(duì)勾股定理進(jìn)行驗(yàn)證.借助圖形較直觀地得出S■=S■+S■+S■，■（a+b）（a+b）=■ab+■ab+■c■，從而得出a■+b■=c■的結(jié)論.

圖3

數(shù)學(xué)公式言簡(jiǎn)意賅地反映了數(shù)量關(guān)系，教師在進(jìn)行邏輯證明的同時(shí)，結(jié)合圖形使數(shù)學(xué)知識(shí)以形象化的方式呈現(xiàn)給學(xué)生.既使同一結(jié)果從不同的角度得到印證，又讓學(xué)生初步感受到邏輯與非邏輯思維能力的協(xié)同作用.

課堂教學(xué)還可以用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決應(yīng)用題，可以將應(yīng)用題中各種數(shù)量關(guān)系直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，有利于學(xué)生分清題中的數(shù)量關(guān)系，豐富表象，拓展思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力.

二、化歸思想

化歸思想是初中階段接觸最多的數(shù)學(xué)思想，其基本形式有：化難為易，化繁為簡(jiǎn)，化曲為直，化未知為已知等.即通過變形把有待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題，通過對(duì)該問題的解答，解決原問題.化歸思想在解決數(shù)學(xué)問題中起到巨大的支撐作用.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用化歸思想進(jìn)行教學(xué)，可以促使學(xué)生把握事物的發(fā)展過程，并對(duì)知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、縱橫關(guān)系、數(shù)量特征等有深刻的認(rèn)識(shí).

例3：（2009青島）（如圖4）長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm，高為6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B.那么所用細(xì)線最短需要？搖 ？搖？搖？搖cm.

圖4

分析：有不少求線段長(zhǎng)度的問題有時(shí)候我們無從下手，如果換個(gè)角度思考問題，就可以迎刃而解.因?yàn)殚L(zhǎng)方體是立體圖形，需要將其轉(zhuǎn)化成平面圖形，沿長(zhǎng)方體的一個(gè)側(cè)面展開得到一個(gè)長(zhǎng)8cm、寬6cm的長(zhǎng)方形，點(diǎn)A經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B的最近距離就是長(zhǎng)方形對(duì)角線AB的長(zhǎng)度.從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成直角三角形模型，繼而利用勾股定理解決問題.

例4：一張邊長(zhǎng)8厘米的正方形紙片，從一邊的中點(diǎn)到臨邊的中點(diǎn)連一條線段，沿這條線段剪去一個(gè)角（如圖5），剩下的面積是多少？

圖5 圖6

這是一道不規(guī)則圖形的面積計(jì)算題，我們不能直接利用面積計(jì)算公式計(jì)算.如果采用補(bǔ)形的方法（如圖6），很容易就能看出所求的面積就是正方形的面積減去圖中陰影部分的面積.這樣就把有待解決具有難度的問題轉(zhuǎn)化為比較容易解決的問題.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)地利用這些圖形變換，進(jìn)行思想方法的滲透，讓學(xué)生利用化歸思想，將圖形通過旋轉(zhuǎn)、平移、翻折、割補(bǔ)等途徑加以“變形”，使題目變難為易，求解也水到渠成.

三、分類討論思想

分類討論是指數(shù)學(xué)問題不能按統(tǒng)一的方法去處理，根據(jù)研究對(duì)象性質(zhì)的差異，按可能出現(xiàn)的各種情況分別進(jìn)行討論，然后把各種相互獨(dú)立的結(jié)論匯總，得出問題的答案.

例5：（2010上海）已知方程m■x■+（2m+1）x+1=0有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

本題字母系數(shù)的取值范圍是否要討論，要根據(jù)題目的條件而定.一般設(shè)置有“二次方程”或“兩實(shí)數(shù)根”，這些都表明該方程是二次方程，不需要討論，但切不可忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為零的要求，分兩種情況：

（1）當(dāng)m■=0時(shí)，即m=0時(shí)，方程為一元一次方程x+1=0，有實(shí)數(shù)根x=1.

（2）當(dāng)m■≠0時(shí)，方程為一元二次方程，據(jù)有實(shí)數(shù)根的條件得：△=（2m+1）■-4m■=4m+1≥0，即m≥-■且m■≠0，綜合（1）（2）得m≥-■.

例6：（2012龍東市）等腰三角形的一腰長(zhǎng)為5，一邊上的高為3，則底邊長(zhǎng)為？搖 ？搖？搖？搖.

圖7

本例屬圖形不確定性而引起的分類討論，分高在三角形外和三角形內(nèi)兩種情況，解決此類問題要確保不重復(fù)、不遺漏.

變式：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是30°，腰長(zhǎng)4cm，則腰上的高為？搖？搖 ？搖？搖.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的數(shù)學(xué)思想和方法還有數(shù)學(xué)建模思想、整體思想等，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)。教師在課堂教學(xué)中，要結(jié)合不同的問題情境適時(shí)、恰當(dāng)?shù)貪B透思想方法，使學(xué)生學(xué)得輕松、愉快，學(xué)得扎實(shí).學(xué)生學(xué)得的知識(shí)是會(huì)遺忘的，但他們學(xué)得的思想方法是終身受益的.我認(rèn)為教師要善于把握數(shù)學(xué)思想方法，精心挖掘，在教學(xué)中相機(jī)滲透，使數(shù)學(xué)思想成為學(xué)生通向知識(shí)遷移的“光明之路”，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力有更大的飛躍.

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