肖宿

摘要：作為目前圖像處理領(lǐng)域的研究重點(diǎn)，圖像復(fù)原可移除圖像中的模糊與噪聲，具有重要的理論價(jià)值和廣闊的應(yīng)用前景。為使圖像復(fù)原的研究被人們所了解，該文首先對(duì)圖像復(fù)原做了簡(jiǎn)單的描述，接著介紹了近年來(lái)出現(xiàn)的一些非盲圖像復(fù)原算法，包括基于總變分模型的算法、基于Bregman迭代的算法和基于稀疏表示的算法等，最后基于對(duì)現(xiàn)有算法的了解與分析，總結(jié)了圖像復(fù)原研究的難點(diǎn)與趨勢(shì)。

關(guān)鍵詞： 圖像復(fù)原； 總變分模型； Bregman迭代； 稀疏表示； 優(yōu)化問(wèn)題

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2013）07-1642-03

由于噪聲、模糊等不利因素的影響，數(shù)字圖像的質(zhì)量通常難以令人滿意，無(wú)法對(duì)其進(jìn)一步進(jìn)行研究和利用。觀測(cè)到的退化與理想的原始圖像之間的關(guān)系可表示為：

式中，y表示觀測(cè)圖像；A表示模糊算子；x表示原始圖像；n表示加性噪聲。因此，圖像復(fù)原的目的是在模型（1）的框架下，估計(jì)最優(yōu)的原始圖像x，這是一種典型的線性逆問(wèn)題。圖像復(fù)原已成為圖像處理領(lǐng)域乃至計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，其研究可追溯到上個(gè)世紀(jì)六十年代，經(jīng)過(guò)逾半個(gè)世紀(jì)的發(fā)展，不斷有新的算法和技術(shù)涌現(xiàn)。目前，圖像復(fù)原算法主要分為非盲（non-blind）圖像復(fù)原算法和圖像盲復(fù)原算法兩大類(lèi)。當(dāng)模型（1）中的模糊算子A是已知的，圖像復(fù)原被稱(chēng)為非盲的圖像復(fù)原。非盲圖像復(fù)原算法主要有：基于總變分（TV，total variation）模型的算法、基于Bregman方法的算法和基于稀疏表示的算法等。

1 基于TV模型的圖像復(fù)原算法

TV模型亦稱(chēng)ROF模型，可表示為：

由L. I. Rudin、S. Osher和E. Fatemi提出[1]，其最突出的優(yōu)點(diǎn)是抑噪的同時(shí)可保留圖像邊緣等重要信息，該模型已成為圖像復(fù)原、圖像去噪[2]和圖像修復(fù)[3]等領(lǐng)域使用最廣泛的先驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?。由于TV模型是不可微分的，基于TV模型的算法需重點(diǎn)考慮圖像復(fù)原的數(shù)值解問(wèn)題。為求解經(jīng)典的TV/L2問(wèn)題，Y. L. Wang等人[4]建立了一種半二次化（quadratic minimization）模型，采用二次最小化方法計(jì)算該模型以提高圖像復(fù)原的效率。J. F. Wang等人[5]擴(kuò)展了Y. L. Wang等人的算法，將其用于彩色圖像復(fù)原問(wèn)題的處理。A. Beck等人[6]提出了一種基于Nesterov梯度法的TV圖像復(fù)原算法，該算法具有全局收斂速率?；谧兞糠蛛x和交替方向法（ADM，alternating direction method），M. K. Ng等人[7]將TV/L2模型分解為更簡(jiǎn)單的子問(wèn)題進(jìn)行求解，ADM方法的優(yōu)點(diǎn)是通過(guò)有限步迭代即可得到問(wèn)題的精確解。結(jié)合增廣拉格朗日法，S. H. Chan等人[8]提出了與M. K. Ng等人類(lèi)似的算法，該算法主要用于復(fù)原視頻圖像序列。盡管TV模型可保留圖像細(xì)節(jié)，但復(fù)原圖像的平滑區(qū)域產(chǎn)生階梯效應(yīng)（staircase effect），因此一些研究提出在TV模型中加入高階項(xiàng)以克服其缺點(diǎn)。例如，F(xiàn). Li等人[9]將TV濾波器和四階PDE濾波器結(jié)合復(fù)原圖像，避免了階梯效應(yīng)的出現(xiàn)。原始-對(duì)偶法（primal-dual method）是一類(lèi)求解經(jīng)典TV圖像復(fù)原比較有效的方法。它最早由T. F. Chan等人提出[10]，為了消除模型（2）目標(biāo)函數(shù)的奇異性和不可微性，T. F. Chan等人用新變量替換了其歐拉-拉格朗日方程中的?x/|?x|，得到如下的模型：

及其對(duì)偶模型，并通過(guò)半光滑牛頓法（semismooth Newton method）對(duì)模型（4）及其對(duì)偶模型進(jìn)行求解。M. Hintermuller等人的算法具有超線性的收斂速度，相比T. F. Chan等人的算法，該算法對(duì)對(duì)偶變量沒(méi)有過(guò)多的約束。E. Esser等人[12]修改了原始對(duì)偶混合梯度（PDHG，primal-dual hybrid gradient）算法，將TV最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的鞍點(diǎn)問(wèn)題（saddle point problem），并利用不精確Uzawa算法求解該鞍點(diǎn)問(wèn)題。由最終的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，E. Esser等人的算法略優(yōu)于PDHG算法。A. Chambolle等人[13]將TV優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更通用的鞍點(diǎn)問(wèn)題，采用了與PDHG類(lèi)似的算法處理該鞍點(diǎn)問(wèn)題。針對(duì)不同的具體問(wèn)題，A. Chambolle等人的算法有著不同的收斂速率。

2 基于Bregman迭代的圖像復(fù)原算法

近年來(lái)，在圖像復(fù)原領(lǐng)域，Bregman迭代因其簡(jiǎn)單、穩(wěn)定、速度快和效率高而受到越來(lái)越多的關(guān)注。Bregman迭代是一系列以Bregman距離為基礎(chǔ)的方法的總稱(chēng)，包括了經(jīng)典的Bregman方法、線性（linerized）Bregman方法和分裂（split）Bregman方法等。Bregman迭代方法的基本思想是將優(yōu)化問(wèn)題分解為等價(jià)的非約束優(yōu)化子問(wèn)題，其中某些子問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)由Bregman距離定義。該方法最早S. Osher等人[14]引入圖像復(fù)原領(lǐng)域，用以改進(jìn)傳統(tǒng)方法對(duì)TV模型的處理。為提高經(jīng)典Bregman方法的性能，將該方法中的二次項(xiàng)0.5×||Ax-y||2 2替換為，并加入誤差項(xiàng)0.5×μ||x-xk||2 2，W. T. Yin等人提出了線性Bregman方法[15]，并將其應(yīng)用于壓縮傳感問(wèn)題[16]。為適應(yīng)模糊矩陣的變化，在對(duì)線性Bregman方法修改的基礎(chǔ)上，結(jié)合稀疏表示技術(shù)，J. F. Cai等人[17]提出了一種緊框架域的圖像復(fù)原算法，該算法可以快速找到圖像復(fù)原問(wèn)題的稀疏解。為進(jìn)一步提高經(jīng)典Bregman方法的性能，T. Goldstein等人[18]提出了適用更通用的L1正則化問(wèn)題的分裂Bregman方法。它可看作Bregman方法和算子分裂（operator splitting）相結(jié)合的一種方法，且與Douglas-Rachford分裂方法和向前-向后（forward-backward）分裂方法本質(zhì)上屬于同一種方法[19]。J. F. Cai等人[20]將分裂Bregman方法用于基于分析的圖像復(fù)原問(wèn)題，分析算子為緊框架小波。相比傳統(tǒng)的罰函數(shù)法和連續(xù)法（continuation method），該算法收斂速度更快，更穩(wěn)定，參數(shù)在迭代過(guò)程保持不變。S. Setzer等人[21]為泊松模糊圖像復(fù)原建立新的能量泛函，它由I-散度（divergence）和TV正則項(xiàng)構(gòu)成，分裂Bregman方法用以求解該能量泛函。該算法無(wú)需內(nèi)部迭代，相比同類(lèi)算法更加高效。針對(duì)基于有界總變分的圖像復(fù)原問(wèn)題，X. W. Liu等人[22]引入擴(kuò)展的Bregman迭代方法以快速獲得最優(yōu)解。除此之外，X. Q. Zhang等人[23]還提出了一種Bregman化的算法分裂算法，該算法用向前-向后分裂方法求解Bregman迭代子問(wèn)題，它可應(yīng)用于非局部（nonlocal）TV圖像復(fù)原和壓縮傳感等問(wèn)題。

3 基于稀疏表示的圖像復(fù)原算法

信號(hào)的稀疏表示來(lái)自對(duì)壓縮傳感問(wèn)題的研究，作為目前理論研究的一大熱點(diǎn)，其在圖像處理領(lǐng)域已經(jīng)得到了較廣泛的應(yīng)用，基于稀疏表示的圖像復(fù)原算法亦越來(lái)越多。針對(duì)圖像復(fù)原問(wèn)題，K. Bredies等人[24]建立了以lp范式為約束項(xiàng)的優(yōu)化模型，并用迭代硬收縮（hard shrinkage）方法求解該優(yōu)化模型。A. Beck等人[25]為圖像復(fù)原問(wèn)題 minx{F（x） = f（x） + g（x）} 建立了二次逼近模型，并為計(jì)算該模型提供一種快速的迭代收縮-閾值算法，該算法比經(jīng)典的迭代收縮-閾值算法更快。F. X. Dupe等人[26]將圖像復(fù)原表示為凸泛函最小化問(wèn)題，該泛函由數(shù)據(jù)保真項(xiàng)（data-fidelity term），稀疏促進(jìn)項(xiàng)（sparsity-promoting term）和附加項(xiàng)組成。一種快速的向前-向后分裂方法被用于最小化泛函，為自適應(yīng)選擇參數(shù)，文中還引入了廣義交叉檢驗(yàn)法（GCV，generalized cross validation）。基于邊界優(yōu)化的思想，婁帥等人[27]通過(guò)類(lèi)期望最大化獲得罰函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的解。該算法采用了輪廓波（contourlet）分解表示圖像，與基于小波變換的算法相比，運(yùn)算代價(jià)較低，能更好保護(hù)圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息。針對(duì)單一正則項(xiàng)存在的不足，N. Pustelnik等人[28]提出了包含多正則項(xiàng)的圖像復(fù)原問(wèn)題，一種快速的并行鄰近算法（parallel proximal algorithm）被用于處理該問(wèn)題。N. Pustelnik等人的算法可利用各種正則化技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)，并克服其相應(yīng)的缺點(diǎn)。小波基、小波框架、輪廓波等常作為字典用于分解圖像，然而它們無(wú)法自適應(yīng)地刻畫(huà)圖像的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)學(xué)習(xí)獲得的字典可具有更好的自適應(yīng)性。W. S. Dong等人[29]利用主成分分析（principal component analysis）技術(shù)學(xué)習(xí)圖像子字典（sub-dictionaries），并自適應(yīng)地選擇子字典組成字典分解圖像?；诜蔷植孔韵嗨萍s束（non-local self-similarity constraint）和自適應(yīng)的分段自回歸模型（piecewise autoregressive models），I. Daubechies等人[30]構(gòu)造了圖像復(fù)原的l1優(yōu)化問(wèn)題模型，并提出用迭代收縮算法處理該優(yōu)化問(wèn)題。

4 結(jié)論

圖像復(fù)原是一項(xiàng)具有廣闊發(fā)展空間和應(yīng)用前景的技術(shù)。隨著信號(hào)處理技術(shù)、控制技術(shù)、估計(jì)理論、數(shù)值分析方法的進(jìn)步，新的復(fù)原算法會(huì)不斷地涌現(xiàn)。對(duì)于未來(lái)可能出現(xiàn)的新算法，多通道圖像的復(fù)原、復(fù)原的實(shí)時(shí)性、退化參數(shù)的自適應(yīng)選擇、模糊的辨識(shí)、稀疏表示/壓縮傳感技術(shù)、Bregman迭代及其他優(yōu)化技術(shù)等將是其研究的重點(diǎn)內(nèi)容。

參考文獻(xiàn)：

[1] Rudin L I， Osher S， Fatemi E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms [J]. Physica D： Nonlinear Phenomena， 1992， 60（1-4）： 259-268.

[2] 蔡澤民，賴(lài)劍煌.一種基于超完備字典學(xué)習(xí)的圖像去噪方法[J].電子學(xué)報(bào)，2009，37（2）：347-350.

[3] 張紅英，彭啟琮.數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)綜述[J].中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào)，2007，12（1）：1-10.

[4] WANG Y L， YANG J F， YIN W T， et al. A new alternating minimization algorithm for total variation image reconstruction [J]. SIAM Journal on Imaging Sciences，2008，1（3）：248-272.

[5] YANG J F， ZHANG Y， YIN W T. An efficient TVL1 algorithm for deblurring multichannel images corrupted by impulsive noise [J]. SIAM on Journal Scientific Computing，2009，31（4）： 2842-2865.

[6] BECK A， TEBOULLE M. Fast gradient-based algorithms for constrained total variation image denoising and deblurring problems [J].IEEE Transactions on Image Processing，2009，18（11）： 2419-2434.

[7] NG M K， WEISS P， YUAN X M. Solving constrained total-variation image restoration and reconstruction problems via alternating direction methods [J]. SIAM Journal on Scientific Computing，2010，32（5）：2710-2736.

[8] CHAN S H， KHOSHABEH R， GIBSON K B， et al. An augmented Lagrangian method for total variation video restoration[J].IEEE Transactions on Image Processing， 2011， 20（11）： 3097-3111.

[9] LI F， SHEN C M， FAN J S， et al. Image restoration combining a total variational filter and a fourth-order filter[J].Journal of Visual Communication and Image Representation， 2007， 18（4）： 322-330.

[10] CHAN T F， GOLUB G H， MULET P. A nonlinear primal-dual method for total variation-based image restoration [J].SIAM Journal on Scientific Computing，1999，20（6）：1964-1977.

[11] HINTERMULLER M， STADLER G. An infeasible primal-dual algorithm for total bounded variation-based inf-convolution-type image restoration[J].SIAM Journal on Scientific Computing， 2006， 28（1）： 1-23.

[12] ESSER E， ZHANG X Q， CHAN T F. A general framework for a class of first order primal-dual algorithms for convex optimization in imaging science [J].SIAM Journal on Imaging Sciences， 2010， 3（4）： 1015-1046.

[13] CHAMBOLLE A， POCK T. A first-order primal-dual algorithm for convex problems with applications to imaging [J]. Journal of Mathematical Imaging and Vision， 2011，40（1）：120-145.

[14] OSHER S， BURGER M， GOLDFARB D，et al. An iterative regularization method for total variation-based image restoration[J]. SIAM Journal on Multiscale Modeling & Simulation， 2005， 4（2）： 460-489.

[15] YIN W T， OSHER S， GOLDFARB D， et al. Bregman iterative algorithms for l1-minimization with applications to compressed sensing， SIAM Journal on Imaging Sciences，2008，1（1）：143-168.

[16] 李樹(shù)濤，魏丹.壓縮傳感綜述[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2009，35（11）：1369-1377.

[17] CAI J F， OSHER S， SHEN Z W. Linearized Bregman iterations for frame-based image deblurring [J]. SIAM Journal on Imaging Sciences，2009，2（1）：226-252.

[18] GOLDSTEIN T， OSHER S. The split Bregman method for L1-regularized problems[J].SIAM Journal on Imaging Sciences，2009，2（2）：323-343.

[19] SEZTER S. Operator splittings， Bregman methods and frame shrinkage in image processing [J]. International Journal of Computer Vision， 2011， 92（3）： 265-280.

[20] CAI J F， OSHER S， SHEN Z W.Split Bregman methods and frame based image restoration [J]. SIAM Journal on Multiscale Modeling & Simulation， 2010， 8（2）： 337-369.

[21] SETZER S， STEIDL G， TEUBER T. Deblurring Poissonian images by split Bregman techniques [J]. Journal of Visual Communication and Image Representation， 2010， 21（3）： 193-199.

[22] LIU X W， HUANG L H. Split Bregman iteration algorithm for total bounded variation regularization based image deblurring [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2010， 372（2）： 486-495.

[23] ZHANG X Q， BURGER M， BRESSON X， et al. Bregmanized nonlocal regularization for deconvolution and sparse reconstruction [J]. SIAM Journal on Imaging Sciences， 2010， 3（3）： 253-276.

[24] BREDIES K， LORENZ D A. Iterated hard shrinkage for minimization problems with sparsity constraints [J].SIAM Journal on Scientific Computing，2008，30（2）：657-683.

[25] BECK A， TEBOULLE M. A fast iterative shrinkage-thresholding algorithm for linear inverse problems[J].SIAM Journal on Imaging Sciences，2009，2（1）：183-202.

[26] DUPE F X， FADILI J M， STARCK J L. A proximal iteration for deconvolving Poisson noisy images using sparse representations [J]. IEEE Transactions on Image Processing，2009，18（2）： 310-321.

[27] 婁帥，丁振良，袁峰.基于Contourlet 變換的迭代圖像復(fù)原算法[J].光學(xué)學(xué)報(bào)，2009，29（10）： 2768-2773.

[28] PUSTELNIK N， CHAUX C， PESQUET J. Parallel proximal algorithm for image restoration using hybrid regularization [J]. IEEE Transactions on Image Processing，2011，20（9）：2450-2462.

[29] DONG W S， ZHANG L， SHI G M， et al. Image deblurring and super-resolution by adaptive sparse domain selection and adaptive regularization [J].IEEE Transactions on Image Processing， 2011， 20（7）：1838-1857.

[30] DAUBECHIES I， DEFRIESE M， DE MOL C. An iterative thresholding algorithm for linear inverse problems with a sparsity constraint[J].Communications on Pure and Applied Mathematics， 2004， 57（11）：1413-1457.