趙楊　楊劍蘭

摘要：該文在Curtis的研究基礎(chǔ)上，提出了水墨粒子運移、傳輸?shù)娜龑幽Ｐ?，并將流體動力學(xué)理論引入水墨粒子在淺水層、墨粒沉積層以及毛細(xì)作用層的運移和傳輸規(guī)律的研究，通過Helmholtz-Hodge 分解，求解基于Navier-Stokes偏微分方程組的水墨運動模型。以此作為理論基礎(chǔ)，設(shè)計實現(xiàn)了一個交互式的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)。實驗結(jié)果表明， 最后形成的仿真效果，水墨畫韻味真實。

關(guān)鍵詞：中國水墨畫；流體動力學(xué)；數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)

中圖分類號：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2013）07-1699-05

中國水墨畫源遠(yuǎn)流長，有著樸素抽象、注重神似的畫風(fēng)，其影響至日本、韓國、東南亞一帶，在東方乃至全世界都自成體系，可以說是東方文化的象征與瑰寶[1]。

西方的油畫、水彩畫等在繪制工具、表現(xiàn)技法上與中國水墨畫有著本質(zhì)不同。西方的繪畫更理性，它遵循嚴(yán)格的透視原理及光學(xué)原理，以寫實為主，追求“形似”。而中國水墨畫在表現(xiàn)手法上往往不遵守客觀規(guī)律，其更注重神似。正是由于這些差異，使得現(xiàn)有的關(guān)于西方繪畫藝術(shù)的仿真方法無法直接應(yīng)用于水墨畫的模擬[2]。如何運用邏輯嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的計算機(jī)技術(shù)對極為隨意揮灑的中國水墨畫進(jìn)行仿真研究是極具挑戰(zhàn)性的課題。

目前，對中國水墨畫的仿真方法可分為兩類：基于物理建模的方法和面向藝術(shù)效果的方法[3]。該文研究的是采用物理建模的方法對水墨畫進(jìn)行仿真。該文在Curtis[4]的研究基礎(chǔ)上，提出了水墨畫運移、傳輸?shù)娜龑幽Ｐ?，并將流體動力學(xué)理論引入水墨粒子在淺水層、墨粒沉積層以及毛細(xì)作用層的運移和傳輸規(guī)律的研究，通過Helmholtz-Hodge 分解，求解基于Navier-Stokes偏微分方程組的水墨運動模型。以此作為理論基礎(chǔ)，設(shè)計實現(xiàn)了一個交互式的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)。

1 相關(guān)工作

水墨畫的創(chuàng)作用具主要為筆、墨、紙。紙是水墨畫的載體，所以紙的建模直接關(guān)系到水墨效果仿真的質(zhì)量。關(guān)于紙張建模的研究工作可參考文獻(xiàn)[4-6]。

在虛擬筆刷的建模及毛筆筆跡的模擬仿真方面，筆交互應(yīng)用開始時就有研究者進(jìn)行毛筆書法效果的模擬研究。1986 年，Strassmann[7]提出通過增加控制點連成矩形來填充毛筆筆跡的算法，1990年Chua[8]提出使用貝塞爾曲線來擬合毛筆筆跡，1991年Guo 和Kunii[9]提出了基于紙張纖維束的毛筆筆跡擴(kuò)散模型，Pahm[10]提出了使用B 樣條來模擬筆道的輪廓，中間使用四邊形來擬合填充毛筆筆跡。

在水墨運動的物理建模方面，石[11]提出基于粒子系統(tǒng)的算法來仿真水墨擴(kuò)散過程。王[12]將滲流力學(xué)引入水墨運移物理規(guī)律的研究。Nelson S.-H [6] 運用網(wǎng)格玻爾茲曼模型（Lattice Boltzmann methods）對水墨運移及傳輸過程進(jìn)行仿真，并在GPU上實現(xiàn)了其算法。

2 基于流體動力學(xué)的水墨畫繪制算法

本節(jié)給出基于流體動力學(xué)的水墨畫仿真算法的定義、形式化描述及算法偽碼。

2.1 水墨粒子運移、傳輸?shù)娜龑幽Ｐ?/p>

在Curtis的研究基礎(chǔ)上本文提出水墨粒子運移、傳輸?shù)娜龑幽Ｐ汀Ｈ龑幽Ｐ头謩e為：淺水層、墨粒沉積層、毛細(xì)作用層。三層模型相互作用，會產(chǎn)生不同的繪制效果。

淺水層用于模擬水墨在紙張表面的流動，主要模擬墨粒在水中浮起并被水傳送到不同的區(qū)域這一過程。在淺水層中，水的流動被限制在濕區(qū)域內(nèi)。

墨粒沉積層用于模擬墨粒在紙上被吸附和解吸附的現(xiàn)象，主要控制墨粒在淺水層和墨粒沉積層之間的轉(zhuǎn)移。墨粒的密度、著色能力和粒度都會影響紙的吸附和解吸附能力[13]。

毛細(xì)作用層模擬水在紙張毛孔的遷移，將根據(jù)紙的水飽和度處理濕區(qū)域，在毛細(xì)作用層的作用下，濕區(qū)域會逐漸擴(kuò)展。

2.2基于Navier-Stokes方程的水墨運動模型

本文采用Jos Stam [14]提出的Navier-Stokes方程作為模擬水流運動的物理模型，同時增加描述墨粒子密度因水流速度場變化而擴(kuò)散的方程，兩者一并構(gòu)成水墨粒子在淺水層運動的基本物理模型。形式化定義為：

其中[??u=0]。公式（1）右邊第一項表示速度場的自身平流，叫做平流項。第二項，稱作壓力項，代表了外力施加于水墨流體時，微觀上所產(chǎn)生的不均勻的壓力及加速度。第三項表示由于水墨濃稠度的不均勻所形成的阻礙，并由此造成了動量的擴(kuò)散，同時影響了流體速度的分散。第四項是外力施加到水墨流體上而增加的加速度。

2.3 Helmholtz-Hodge分解定理

為求解以上方程，該文通過Helmholtz-Hodge 分解得到水墨粒子淺水層運移和傳輸算法[14]。

定義一個空間區(qū)域[D]，邊界法線為[n]，標(biāo)量場[p]。據(jù)Helmholtz-Hodge 分解定理有[D]上的矢量場[w] 能唯一分解為：

其中[u]是散度為零的矢量場（即[??u=0]），[p]為標(biāo)量。把散度算子應(yīng)用到方程（3）兩邊，有：

根據(jù)Helmholtz- Hodge分解定義一個投影算子[P]， 將矢量場[w] 投影到無源分[u]。應(yīng)用到方程， （3）得到：

根據(jù)[P]的定義有[Pw=Pu=u]，固[P（?p）=0]，將此投影算子應(yīng)用到方程（1）的兩邊有：

因為u的散度為0，左邊的導(dǎo)數(shù)也是無散度的，同時[P（?p）=0]，有：

定義一個算子S，及各分量算子，平流A、擴(kuò)散D、外力F、投射P， 整個求解過程變?yōu)椋?/p>

從左到右進(jìn)行運算，則整個求解過程，首先是平流，接著是擴(kuò)散、外力和投射，即：

2.4基于流體動力學(xué)的水墨畫淺水層運移和傳輸算法

2.4.1外力項

外力項由外界對水墨流體施加的力組成，并假設(shè)該外力在其時間步長內(nèi)保持恒定，形式化定義為：

2.4.2平流項

平流項表示速度場沿著擴(kuò)散方向傳輸自身和水墨粒子。這里使用隱式解法[14]，形式化定義為：

2.4.3擴(kuò)散項

對擴(kuò)散項的求解實際轉(zhuǎn)化為對泊松方程的求解，形式化定義為：

可采用Gauss-Seidel法進(jìn)行求解[14]。

2.4.4投影項

經(jīng)過外力、擴(kuò)散、平流運算后得到一個有散度的速度場w3（x），通過投影算子將其改變?yōu)闊o散度的速度場w4（x）。具體求解方法可參考文獻(xiàn)[14]。對方程（2）的求解可參考以上所示進(jìn)行。

3.4.5水流淺水層運移和傳輸算法偽碼

詳細(xì)的代碼實現(xiàn)可以參考文獻(xiàn)[15]。

2.4.6墨粒子淺水層運移和傳輸算法偽碼

其中u， v為給定的水流速度場速度，diff為墨粒子擴(kuò)散系數(shù)。更詳細(xì)的代碼實現(xiàn)可以參考文獻(xiàn)[15]。

2.5水墨粒子墨粒沉積層運移和傳輸算法

在仿真的每一步，墨粒子都會被沉積層以一定數(shù)率吸附，同時也會以一定數(shù)率解吸附會淺水層。墨粒的密度[ρ]、著色能力[w]，粒度[r]和紙張的高度[h]都影響紙的吸附和解吸附能力。下面給出水墨粒子墨粒沉積層運移和傳輸算法的偽碼。g為墨粒沉積層粒子密度，d為淺水層墨粒子密度。該文在Curtis的研究基礎(chǔ)上，提出了水墨粒子墨粒沉積層運移和傳輸算法。

2.6水墨粒子毛細(xì)作用層運移和傳輸算法

當(dāng)墨汁向正要變干但仍保持潮濕的區(qū)域進(jìn)行擴(kuò)散時會產(chǎn)生回吸現(xiàn)象。這個時候墨汁會被淺水層以一定的吸收率[α]吸收，同時向毛細(xì)作用層擴(kuò)散。每個網(wǎng)格單元都會向其鄰近區(qū)域傳輸墨汁，直到達(dá)到飽和容積率[c]。當(dāng)飽和度超過[?]時，該網(wǎng)格單元被標(biāo)記為潮濕區(qū)域。這樣，由于毛細(xì)作用層的作用，就會形成不規(guī)則的分支形狀，以此模擬水墨粒子的非規(guī)則擴(kuò)散現(xiàn)象。該文在Curtis的研究基礎(chǔ)上，提出了水墨粒子毛細(xì)作用層運移和傳輸算法。

3 實驗結(jié)果

圖1為運用具有不同濃稠度的水墨畫筆書寫的筆劃（其擴(kuò)散效果形態(tài)不同），圖2為使用本文開發(fā)的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)所書寫的“蛇”字。圖3為本文開發(fā)的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)的用戶界面。實驗表明本文所設(shè)計的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)能較好的仿真水墨書畫的效果。

在當(dāng)今數(shù)字娛樂產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展的時代，如何開發(fā)出具有實用價值，符合市場需求的數(shù)字水墨書畫系統(tǒng)軟件，是未來值得探索和深入研究的科學(xué)熱點問題[16]。

參考文獻(xiàn)：

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