侯志豪　姜寧　李菲菲

【摘要】對1的應用說易也易，說難也難，關鍵是如何應用得妙不可言.從小學我們就認識了1，從小學角度認識1是最小的整數(shù).再稍微深點認識就是1是一個整體，而這一整體在高中數(shù)學解題中又蘊含了整體思想.1也可以說是一個角正弦與余弦的平方和，也可以理解為正切與余切的積.還有很多條件求值的題目也可以運用對1的轉化.1的應用很廣泛，可以貫穿整個高中數(shù)學.本文將結合高中數(shù)學幾大重要思想方法從三角函數(shù)、基本不等式、柯西不等式等多方面對1進行巧妙地應用.

【關鍵詞】“1”；三角函數(shù)；基本不等式；柯西不等式；數(shù)學思想方法

高考數(shù)學中，美妙的“1”的應用有著重要的地位，在求解三角形、不等式問題時有著不可替代的作用.由此可看出研究它的重要性和必要性.本文就如何巧妙地運用1，該問題有何性質特點及在高考中還有何延伸題型作了詳細的探討和研究.

一、1在三角函數(shù)中的應用

例1 已知tan α=2，求2sin2α+3sinαcosα-5cos2α的值.

分析 已知tanα=sinαcosα，要求的是關于弦的整式，如何將弦轉化為切呢？我們可以在分母中引入1，而sin2α+cos2α=1，再將1用sin2α+cos2α進行代換，該題將迎刃而解.

解 2sin2α+3sinαcosα-5cos2α

=2sin2α+3sinαcosα-5cos2αsin2α+cos2α

=2·sin2αcos2α+3·sinαcosαcos2α-5sin2αcos2α+1

=2tan2α+3tanα-5tan2α+1

=2×22+3×2-522+1

=95.

二、1在基本不等式中的應用

1在基本不等式中的應用可分為：直接代換、變換條件代換、創(chuàng)造條件代換這幾種代換類型.筆者將從近幾年高考試題的亮點，重點研究創(chuàng)造條件用1來代換.

例2 已知00，n>0，求y=m2x+n21-x的最小值.

分析 本題條件中沒有給出含1的等式，無法直接用1的代換法求解，我們要創(chuàng)造條件代換，但觀察待求函數(shù)，易知其分母之和為1，故可將1=x+（1-x）代入所求函數(shù)式，即可用1的代換法求解.

解 y=m2x+n21-x=m2x+n21-x[x+（1-x）]

=m2+n2+m2（1-x）x+n2x1-x

≥m2+n2+2mn=m+n2，

當且僅當m2（1-x）x=n2x1-x，即x=mm+n時等號成立.

故ymin=m+n2.

三、1在柯西不等式中的應用

1在配柯西不等式有很多技巧.尤其是在解題過程中如何巧妙合理地運用1，這里是體現(xiàn)了1的美，更體現(xiàn)了代數(shù)的美.下面將從一道高考題中享受這一美的過程.

例3 已知實數(shù)a，b，c，d滿足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，試求a的取值范圍.

分析 本題條件中沒有給出含1的等式，無法直接用1的代換法求解，但觀察發(fā)現(xiàn)12+13+16=1，將用12+13+16=1來配柯西不等式.

解 由柯西不等式得（2b2+3c2+6d2）12+13+16≥（b+c+d）2，

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2.

由條件可得5-a2≥（3-a）2，解得1≤a≤2，

當且僅當2b12=3c13=6d16時等號成立，

代入b=1，c=13，d=16時，amax=2；

代入b=1，c=23，d=13時，amin=1.

故所求實數(shù)a的取值范圍是[1，2].

總之，對1在高考數(shù)學解題的探究是一項創(chuàng)造性和挑戰(zhàn)性的活動，它不僅僅有利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，而且對學生的思維品質的培養(yǎng)和學生的數(shù)學素養(yǎng)的提高起著不可低估的作用.事實上這些方法不是孤立的，在具體的解題實踐中，往往需要綜合考慮，靈活運用，才能使問題得到順利解決.至于這些技巧的由來需要平時的積累和總結.在教學過程中可以大膽想象和歸納，這樣你的思維就能得到很大提升.實際上1還有很深的內涵，由于筆者水平有限不能想到，望大家補充指正.

【參考文獻】

＼[1＼]李彭.常見三角函數(shù)最值的求法.數(shù)學之友，2012（3）.

＼[2＼]周銀霞.三角函數(shù)最值的求法.數(shù)學之友，2012（4）.

＼[3＼]張禮恩.三角函數(shù)最值求解常用“十策”.數(shù)學之友，2012（4）.

＼[4＼]趙海晶.不等式中恒成立問題的解法研究.數(shù)學之友，2012（2）.