高衛(wèi)芳

聽過或上過人教版五年級(jí)上冊(cè)《等可能性》一課的老師都知道，這節(jié)課需要讓學(xué)生體驗(yàn)事件發(fā)生的等可能性。教材是通過例1（如下圖）呈現(xiàn)足球比賽前用拋硬幣來決定誰(shuí)開球的場(chǎng)景，由小精靈提出問題“你認(rèn)為拋硬幣決定誰(shuí)開球公平嗎？”引出教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)最簡(jiǎn)單的等可能性事件，即兩個(gè)事件發(fā)生的可能性都為，同時(shí)讓學(xué)生初步感知游戲規(guī)則公平性的數(shù)學(xué)含義。

具體教學(xué)時(shí)，為使學(xué)生更直觀地感受，老師們幾乎都如出一轍地先讓學(xué)生小組合作做拋硬幣試驗(yàn)，來驗(yàn)證正、反面朝上的可能性相等，均是。但在驗(yàn)證過程中總不免遇到一些尷尬，如，實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)正、反面出現(xiàn)次數(shù)較懸殊的結(jié)果，使得結(jié)論的得出生硬、牽強(qiáng)。又如，在實(shí)驗(yàn)之后，學(xué)生反而對(duì)正、反面朝上的可能性均是這個(gè)結(jié)論產(chǎn)生了懷疑。我們不禁思考：拋硬幣實(shí)驗(yàn)該做嗎？還是實(shí)驗(yàn)的立足點(diǎn)產(chǎn)生了偏差？近日，參加區(qū)級(jí)教研活動(dòng)，又聽一位老師上《等可能性》一課，不禁讓我對(duì)這個(gè)實(shí)驗(yàn)展開了全面、深入的思考。

實(shí)錄如下：

一、情境導(dǎo)入

爸爸有一張電影票，兄弟倆人都想要，該用什么辦法來決定？

生：剪刀石頭布、拋硬幣……

二、拋硬幣實(shí)驗(yàn)——體驗(yàn)規(guī)則公平性

1.質(zhì)疑：你認(rèn)為拋硬幣公平嗎？為什么？

生：公平，正面、反面朝上的可能性都相等。

2.追問：正面朝上的可能性有多大？

不能。

拋硬幣事件屬于古典概型，發(fā)生的概率是通過理性思考得出的。拋一個(gè)硬幣結(jié)果只有兩個(gè)：正面朝上或反面朝上。只要材質(zhì)是均勻的，那正面朝上的可能性就占，反面朝上的可能性也占。這個(gè)概率的得出并不依賴于實(shí)驗(yàn)，也是用實(shí)驗(yàn)證明不了的。看課堂上拋10次，出現(xiàn)了8、2，7、3等懸殊的情況，匯總40次的結(jié)果，正面朝上的也不占，數(shù)學(xué)家們?cè)囼?yàn)了成千上萬次，正面朝上的仍不是，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)具有隨機(jī)性。所以，不要在學(xué)生通過數(shù)學(xué)化地理解得到正、反面朝上的概率為后，用拋硬幣的實(shí)驗(yàn)去證明，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（頻率）與概率的不一致反而給學(xué)生帶來了困惑。

思考二：拋硬幣實(shí)驗(yàn)?zāi)軒椭鷮W(xué)生體驗(yàn)什么？

筆者認(rèn)為不可用拋硬幣實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證正、反面朝上的可能性為 ，但實(shí)驗(yàn)還是要做，實(shí)驗(yàn)可以幫助學(xué)生體驗(yàn)以下兩方面：

首先，加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)。為什么硬幣正、反面朝上的可能性是，但是拋出來的結(jié)果正、反面的次數(shù)卻不剛好占總數(shù)的呢？有些差距還比較懸殊？筆者以為這恰是個(gè)很好的契機(jī)，我們可以將問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生去反思這些數(shù)據(jù)。經(jīng)過反思，學(xué)生會(huì)領(lǐng)悟到結(jié)果還與運(yùn)氣有關(guān)，即拋硬幣事件帶有隨機(jī)性、不確定性。雖然正、反面出現(xiàn)的概率是相等的，即游戲規(guī)則是公平的，但是拋的結(jié)果卻不一定，從而加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)。

其次，初步體驗(yàn)大數(shù)定理。拋10次硬幣，發(fā)現(xiàn)正、反面出現(xiàn)的次數(shù)差距較大，但是隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，偶然因素產(chǎn)生的影響也會(huì)逐漸變小。教師可以逐級(jí)匯總，進(jìn)而用計(jì)算機(jī)軟件輔助，讓學(xué)生體驗(yàn)當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，正、反面朝上的頻率會(huì)非常接近。

筆者認(rèn)為，我們的統(tǒng)計(jì)概率教學(xué)可以在一定的情況下滲透大數(shù)定理的思想。大數(shù)定理指在隨機(jī)試驗(yàn)中，每次出現(xiàn)的結(jié)果不同，但是大量重復(fù)試驗(yàn)后出現(xiàn)的結(jié)果的平均值卻幾乎總是接近于某個(gè)確定的值。其原因是，在大量的觀察試驗(yàn)中，個(gè)別的、偶然的因素影響而產(chǎn)生的差異將會(huì)互相抵消，從而使現(xiàn)象的必然規(guī)律性顯現(xiàn)出來。這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生辯證地看待隨機(jī)事件是很有裨益的。

思考三：用實(shí)驗(yàn)可以去證明非等可能性事件。

筆者認(rèn)為，實(shí)驗(yàn)可以證明非等可能性事件。比如，扔圖釘或拋啤酒瓶蓋，通過實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，扔啤酒瓶蓋，有鋸齒的那面朝上的次數(shù)多，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)不斷增加，正、反面出現(xiàn)的次數(shù)相差會(huì)更大。正、反面朝上的可能性就不是各占。這是由于啤酒瓶蓋材質(zhì)不均勻所致。教學(xué)中，如果由拋瓶蓋實(shí)驗(yàn)再到拋硬幣，學(xué)生理解可能會(huì)更深入。