楊厚平 王洪蘭

摘要：數(shù)學(xué)是一門(mén)工具化的科學(xué)語(yǔ)言，我們用數(shù)學(xué)解決很多問(wèn)題。然而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同時(shí)，有很多空間曲面難以用手工畫(huà)出它們的圖形。例如：有一些多元函數(shù)，對(duì)于其圖形卻難以用人工畫(huà)出。而MATLAB的繪圖語(yǔ)言正是解決這種難題的最好工具，方便并且直觀。

關(guān)鍵詞：多元函數(shù) MATLAB語(yǔ)言 繪圖

0 引言

高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，講授空間曲面與曲線這個(gè)內(nèi)容時(shí)，總感到“虛”，不直觀、具體，利用Matlab強(qiáng)大的繪圖功能，可方便地展示空間曲面與曲線。

1 Matlab繪圖功能

Matlab繪圖功能非常強(qiáng)大，這里只介紹幾個(gè)常用函數(shù)的調(diào)用，拋磚引玉，希望對(duì)空間解析幾何及多元函數(shù)部分的教學(xué)有所幫助。

1.1 產(chǎn)生三維數(shù)據(jù) 在MATLAB中，利用meshgrid函數(shù)產(chǎn)生平面區(qū)域內(nèi)的網(wǎng)格坐標(biāo)矩陣。其格式為：

x=a：d1：b；y=c：d2：d；

[X，Y]=meshgrid（x，y）；

語(yǔ)句執(zhí)行后，矩陣X的每一行都是向量x，行數(shù)等于向量y的元素的個(gè)數(shù)，矩陣Y的每一列都是向量y，列數(shù)等于向量x的元素的個(gè)數(shù)。

1.2 繪制三維曲面的函數(shù) surf函數(shù)和mesh函數(shù)的調(diào)用格式為：

mesh（x，y，z，c）

surf（x，y，z，c）

一般情況下，x，y，z是維數(shù)相同的矩陣。x，y是網(wǎng)格坐標(biāo)矩陣，z是網(wǎng)格點(diǎn)上的高度矩陣，c用于指定在不同高度下的顏色范圍。此外，還有帶等高線的三維網(wǎng)格曲面函數(shù)meshc和帶底座的三維網(wǎng)格曲面函數(shù)meshz。其用法與mesh類(lèi)似，不同的是meshc還在xy平面上繪制曲面在z軸方向的等高線，meshz還在xy平面上繪制曲面的底座。

1.3 標(biāo)準(zhǔn)三維曲面 sphere函數(shù)的調(diào)用格式為：

[x，y，z]=sphere（n）

cylinder函數(shù)的調(diào)用格式為：

[x，y，z]= cylinder（R，n）

MATLAB還有一個(gè)peaks函數(shù)，稱為多峰函數(shù)，常用于三維曲面的演示。

2 Matlab繪圖案例

2.1 空間曲面的三維網(wǎng)線圖與三維曲面圖 案例1、函數(shù)z=10-2x2-y2的三維網(wǎng)線圖。

用MATLAB作圖的程序?yàn)?/p>

clear； x=-1：0.1：1；

y=-1：0.1：1； [X，Y]=meshgrid（x，y）；

Z=10-2*X.^2-Y.^2； mesh（X，Y，Z）；

title（'空間曲面'）

運(yùn)行結(jié)果（略）。

案例2、函數(shù)z=xy的三維曲面圖。

用MATLAB作圖的程序?yàn)?/p>

clf

ezsurf（'x*y'，'circ'）； shading flat；

view（[-18，28]） title（'空間曲面'）

運(yùn)行結(jié)果（略）。

2.2 旋轉(zhuǎn)曲面 案例3、畫(huà)出函數(shù)y=的圖形，其中（x，y）∈[-3，3]×[-3，3]。

用MATLAB作圖的程序?yàn)?/p>

clear； x=-3：0.1：3；

y=-3：0.1：3； [X，Y]=meshgrid（x，y）；

Z=sqrt（X.^2+Y.^2）； mesh（X，Y，Z）；

運(yùn)行結(jié)果（略）。

案例4、曲線r=5+cosx 0≤x≤3π繞x軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面。

用MATLAB作圖的程序?yàn)?/p>

x=0：pi/20：pi*3； r=5+cos（x）；

[a，b，c]=cylinder（r，30）； mesh（a，b，c）

title（'旋轉(zhuǎn)曲面'）

運(yùn)行結(jié)果（略）。

案例5：繪制母線方程為y=2+sinx的旋轉(zhuǎn)曲面（空心）

用MATLAB作圖的程序?yàn)?/p>

x=0：pi/10：2*pi；

y=2+sin（x）；

[x，y，z]=cylinder（y，30）；

mesh（x，y，z）

title（'旋轉(zhuǎn)曲面'）

運(yùn)行結(jié)果（略）。

2.3 柱面 案例6、繪制柱面x-1+y-2-9=0。

用MATLAB作圖的程序?yàn)?/p>

[x，y，z]=cylinder（[3，3]，20）； x1=x+1；

y1=y+2； z1=z；

surf（x1，y1，z1）

運(yùn)行結(jié)果（略）。

2.4 二次曲面 案例7、二次曲面的函數(shù)如下=d討論參數(shù)a，b，c對(duì)其形狀的影響。

用MATLAB作圖的程序?yàn)?/p>

a=input（'a='）；b=input（'b='）；c=input（'c='）；

d=input（'d='）；N=input（'N='）；%輸入?yún)?shù)，N為網(wǎng)格線數(shù)目

xgrid=linspace（-abs（a），abs（a），N）；%建立x網(wǎng)格坐標(biāo)

ygrid=linspace（-abs（b），abs（b），N）；%建立y網(wǎng)格坐標(biāo)

[x，y]=meshgrid（xgrid，ygrid）；%確定N×N個(gè)點(diǎn)的x，y網(wǎng)格坐標(biāo)

z=c*sqrt（d-y.*y/b^2-x.*x/a^2）；u=1；%u=1，表示z要取正值

z1=real（z）；%取z的實(shí)部z1

for k=2：N-1；%以下7行程序的作用是取消z中含虛數(shù)的點(diǎn)

for j=2：N-1；%定義變量

if imag（z（k，j））～=0 z1（k，j）=0；

end

if all（imag（z（[k-1：k+1]，[j-1：j+1]）））～=0 z1（k，j）=NaN；

end

end

end

surf（x，y，z1），hold on %畫(huà)空間曲面

if u==1 z2=-z1；surf （x，y，z2）；%u=1時(shí)加畫(huà)負(fù)半面

axis（[-abs（a），abs（a），-abs（b），abs（b），-abs（c），abs（c）]）；%選擇坐標(biāo)軸的范圍

end

xlabel（'x'），ylabel（'y'），zlabel（'z'）；%X，Y，Z軸的說(shuō)明

hold off %停止

運(yùn)行結(jié)果（略）。

案例8、橢球面的繪制。

用MATLAB作圖的程序?yàn)?/p>

ellipsoid（1，2，3，5，4，3，20）%橢球面繪制函數(shù)

運(yùn)行結(jié)果（略）。

案例9、繪制雙葉雙曲面。

用MATLAB作圖的程序?yàn)?/p>

a=5；b=4；c=10；

[x，y]=meshgrid（-20：1：20，-20：1：20）；

z=sqrt（c*（1+x.^2/a^2+y.^2/b^2））；

mesh（z）

hold on

mesh（-z）

運(yùn)行結(jié)果（略）。

2.5 二元函數(shù)的圖象，二元函數(shù)的定義域 案例10、作出函數(shù)z=xy的圖形

用MATLAB作圖的程序同案例2。

運(yùn)行結(jié)果（略）。

2.6 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 案例11、函數(shù)z=2-2x2-y2在點(diǎn)（0.5，0.5）處的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

用MATLAB作圖的程序?yàn)?/p>

clear； x=-1：0.1：1；

y=-1：0.1：1； [X，Y]=meshgrid（x，y）；

Z=2-2*X.^2-Y.^2； mesh（X，Y，Z）；

運(yùn)行結(jié)果（略）。

圖1、2分別是函數(shù)z=2-2x2-y2在點(diǎn)（0.5，0.5）處對(duì)x、y的偏導(dǎo)數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]趙靜，但琦主編.數(shù)學(xué)建成模與數(shù)學(xué)試驗(yàn)[M].高教出版社，2009-1.

[3]薛定宇，陳陽(yáng)泉著.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的MATLAB求解[M].清華大學(xué)出版社，2008-3.

基金項(xiàng)目：湖南省高等學(xué)校教育科學(xué)研究項(xiàng)目（12C1081）。