趙澤峰

摘要：高中數(shù)學新課程對于提高分析和解決問題的能力有著更深層次的要求，本文就我們教師在平時教學中應注重分析和解決問題能力的培養(yǎng)的方法和策略上進行研討，得出了一般性的結論。

關鍵詞：高中數(shù)學 審題能力 分析和解決問題 數(shù)學建模

新課標明確指出：高中數(shù)學課程對于提高分析和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新思維，起著基礎性作用。分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進行陳述的材料，能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中的數(shù)學問題，并能用數(shù)學語言正確地加以表述，建立恰當?shù)臄?shù)學模型，利用對模型求解的結果加以解釋。它是邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等基本數(shù)學能力的綜合體現(xiàn)。高考數(shù)學科的命題原則是在考查基礎知識的基礎上，注重對數(shù)學思想和方法的考查，注重數(shù)學能力的考查，強調了綜合性。下面筆者就分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)談幾點雛見。

一、審題能力

審題是對條件和問題進行全面認識，對與條件和問題有關的全部情況進行分析研究，它是如何分析和解決問題的前提。審題能力主要是指充分理解題意，把握住題目本質的能力，分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡、轉化已知和所求的能力。要快捷、準確地解決問題，掌握題目的數(shù)形特點、能對條件或所求進行轉化和發(fā)現(xiàn)隱含條件是至關重要的。

例1 已知sinα+sinβ=2，cosα+cosβ=2/3，求tgαtgβ的值。

分析：怎樣利用已知的兩個等式？初看好象找不出條件和結論的聯(lián)系，只好從未知tgαtgβ入手。當然，首先想到的是把tgα、tgβ分別求出，然后求出它們的乘積，這是個辦法，但是不好求；于是可考慮將tgαtgβ寫成sinαsinβ/cosαcosβ，轉向求sinαsinβ、cosαcosβ。令：

x=cosαcosβ，y=sinαsinβ，于是tgαtgβ=y/x。

從方程的觀點看，只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y。于是轉向求x+y=cos（α-β）、x-y=cos（α+β）。

這樣把問題轉化為下列問題：

已知sinαsinβ= 2 ①

cosαcosβ= ②

求cos（α+β）、cos（α-β）的值。

①2+②2得2+2cos（α-β）= ，cos（α-β）= 。

②2-①2得cos2α+cosβ+2cos（α+β）= ，cos（α+β）=- 。

這樣問題就可以得到解決。

從剛才的解答過程中可以看出，解決此題的關鍵在于挖掘所求和條件之間的聯(lián)系，這需要一定的審題能力。由此可見，審題能力應是分析和解決問題能力的一個基本組成部分。

二、合理應用知識、思想、方法解決問題的能力

高中數(shù)學知識包括函數(shù)、導數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復數(shù)、立體幾何、解析幾何、排列與組合、統(tǒng)計與概率等內容；數(shù)學思想包括數(shù)形結合、函數(shù)與方程思想、分類與討論和等價轉化等；數(shù)學方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學歸納法、反證法、配方法、分離參數(shù)法等基本方法。只有理解和掌握了數(shù)學基本知識、思想、方法，才能解決高中數(shù)學中的一些基本問題，而合理選擇和應用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢。

例2 設函數(shù)f（x）= （x>0且x≠1）。

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；

（Ⅱ）已知2>xa對任意x∈（0，1）成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解：（Ⅰ）f′（x）=- ，若f′（x）=0，則x= ：

（Ⅱ）在2>xa兩邊取對數(shù)， 得 1n2>a1nx，由于0

由（1）的結果可知，當x∈（0，1）時，f（x）≤f（ ）=-e，

為使（1）式對所有x∈（0，1）成立，當且僅當 >-e，即a>-e1n2。

∴a∈（-e1n2，+∞）

在上述的解答過程中可以看出，本題主要考查了用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，求參數(shù)取值范圍利用分離參數(shù)法、不等式的解法等基本知識，以及分類討論的數(shù)學思想方法的運算、推理等能力。

三、數(shù)學建模能力

近幾年來，在高考數(shù)學試卷中，都有幾道實際應用問題，這對學生分析和解決問題的能力提出了挑戰(zhàn)。而數(shù)學建模能力是解決實際應用問題的重要途徑和核心。

例3 某分公司經銷某種品牌的產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交a元（3≤a≤5）的管理費，預計當每件產品的售價為x元（9≤x≤11）時，一年的銷售量為（12-x）2萬件。

（Ⅰ）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數(shù)關系式；（Ⅱ）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大？并求出L的最大值Q（a）。

解：（Ⅰ）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關系式為：

L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11]。

（Ⅱ）L′（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）

=（12-x）（18+2a-3x）。

令L′=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）。

∵3≤a≤5，∴8≤6+ a≤ 。

在x=6+ a兩側L′的值由正變負。

所以：（1）當8≤6+ a<9即3≤a< 時，

Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）。

（2）當9≤6+ a≤ 即 ≤a≤5時，

Lmax=L（6+a）=（6+a-3-a[12-（6+a）]2=4（3-a）3，

答：若3≤a< ，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（萬元）；若 ≤a≤5，則當每件售價為（6+a）元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=4（3-a）3（萬元）。

評述：本題考查了函數(shù)、導數(shù)及其應用等知識，考查了運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力。在該題解答中，學生若沒有一定的數(shù)學建模能力，正確解決此題實屬不易。因此，建模能力是分析和解決問題能力不可缺的一個組成部分。

參考文獻：

[1]簡洪權.高中數(shù)學運算能力的組成及培養(yǎng)策略[J].中學數(shù)學教學參考.

[2]張衛(wèi)國.例談高考應用題對能力的考查[J].中學數(shù)學研究.