梅杰　李星野

摘要：針對傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測的缺陷，本文采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對滬深300指數(shù)收盤價(jià)的短期走勢進(jìn)行了預(yù)測分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比直接使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測的精度更高，預(yù)測的效果也更好。

關(guān)鍵詞：小波神經(jīng)；預(yù)測；滬深300指數(shù)

一、引言

股市是金融市場的一個(gè)重要組成部分，股票市場價(jià)格預(yù)測是金融分析領(lǐng)域中一個(gè)重要且困難的問題。由于受到時(shí)間序列具有平穩(wěn)性、正態(tài)性和獨(dú)立性的限制，傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)建模方法 （如指數(shù)平滑法、ARMA模型等）在解決諸如股票一類的時(shí)間序列預(yù)測問題時(shí)出現(xiàn)了一定的局限性，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于股票預(yù)測有著獨(dú)特的優(yōu)勢，它不需要建立復(fù)雜的非線性系統(tǒng)的顯式關(guān)系和數(shù)學(xué)模型就可以進(jìn)行預(yù)測，這使得預(yù)測理論及方法產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍。

自從Lapedes發(fā)表了將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于股票預(yù)測的文章以來，國內(nèi)外眾多學(xué)者都曾用其對股票數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。White嘗試以人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來預(yù)測IBM公司普通股每日的收益率；楊忻和馬洪川用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測中長期馬克/美元的匯率；王愛平等采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對股票時(shí)間序列進(jìn)行短期走勢的預(yù)測分析。然而，傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的固有缺陷，如算法容易陷入局部極小值、收斂速度慢等，嚴(yán)重限制了它的進(jìn)一步應(yīng)用。

近些年人們開始嘗試將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于股票預(yù)測，如向小東等人將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于上證指數(shù)的預(yù)測，王洪剛等人將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于SP500的短期走勢預(yù)測上。實(shí)證分析表明，基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測模型往往比傳統(tǒng)BP網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測更為有效。

本文將小波分析和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合形成“小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型”，進(jìn)而用構(gòu)造了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對滬深300指數(shù)收盤價(jià)的短期走勢進(jìn)行預(yù)測，與傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法進(jìn)行比較，體現(xiàn)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測優(yōu)勢。

二、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的建立

（一）小波分析

小波分析是近20年來發(fā)展起來的一個(gè)新興數(shù)學(xué)分支，它的出現(xiàn)為非平穩(wěn)信號分析和處理提供了一個(gè)強(qiáng)有力的工具。小波變化在時(shí)頻平面上的不同位置具有不同的分辨率，是一種多分辨率的信號分析方法。

在函數(shù)空間L2（R）中，如果φ（t）滿足

φ（t）dt=0（1）

則稱φ（t）為一個(gè)小波，也常稱為母小波或基本小波。

本文采用國外常使用的余弦調(diào)制高斯波：Morlet母小波，數(shù)學(xué)公式為

φ（t）=cos（1.75t）e（2）

對小波φ（t）進(jìn)行伸縮和平移，可得到一組函數(shù)

φa，b（t）=φ（），a>0，b∈R

（3）

其中φa，b（t）為小波基函數(shù)，a為伸縮因子，b為平移因子。

對任意f（t）∈L2（R），其連續(xù)小波變換定義為

wf（a，b）=f（t）φa，b（t）dt（4）

與Fourier基于小波變換的小波分析是將信號函數(shù)分解成小波標(biāo)準(zhǔn)正交基，以此構(gòu)成級數(shù)來逼近信號函數(shù)，不同的是小波基是通過平移和伸縮構(gòu)成的，具有良好的局部化性質(zhì)，依據(jù)小波理論達(dá)到最佳的函數(shù)逼近能力。

（二）小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)算法

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種以BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，它融合了小波變換與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，將常規(guī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點(diǎn)函數(shù)由小波基函數(shù)代替，相應(yīng)輸入層到隱含層的權(quán)值及閾值分別由小波函數(shù)的伸縮和平移因子代替，信號前向傳播的同時(shí)，誤差反向傳播的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。因此，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具備了小波變換的局部化能力和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)學(xué)習(xí)功能。通常的預(yù)測模型采用三層的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，因?yàn)榇蟛糠謱?shí)際的時(shí)間序列是非線性序列，少于三層結(jié)構(gòu)無法逼近這樣的非線性曲線。當(dāng)層數(shù)大于三層時(shí)，當(dāng)然也可以逼近這樣的曲線，但增加了計(jì)算的復(fù)雜度，而對于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來說，當(dāng)采用三層結(jié)構(gòu)時(shí)，該模型就能逼近任何形式的曲線，故采用三層結(jié)構(gòu)，即輸入層、隱含層和輸出層。

小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值、尺度因子和平移因子調(diào)整過程分為兩個(gè)步驟：第一個(gè)階段從網(wǎng)絡(luò)的輸入層開始逐層向前計(jì)算，根據(jù)輸入樣本計(jì)算各層的輸出，最終求出網(wǎng)絡(luò)輸出層的輸出，這是前向傳播過程；第二個(gè)階段從網(wǎng)絡(luò)的輸出層向后對權(quán)值進(jìn)行修正，這是反向傳播過程。兩個(gè)過程反復(fù)交替，直到達(dá)到網(wǎng)絡(luò)要求。

學(xué)習(xí)算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下。

1.參數(shù)初始化

隨機(jī)初始化小波函數(shù)伸縮因子、平移因子及網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)重，設(shè)置網(wǎng)絡(luò)權(quán)值學(xué)習(xí)速率，小波參數(shù)的學(xué)習(xí)速率。

2.輸入學(xué)習(xí)樣本，計(jì)算網(wǎng)絡(luò)各層的輸出

輸入樣本Xμ=（x1μ，x2μ，…，xmμ），（μ=1，2，…，p），則隱含層輸出為

hjμ=φ（），j=1，2，…，q（5）

輸出層的輸出為

yμ=f（wjhjμ）（6）

式（5）、（6）中，xiμ為輸入層的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸入；hjμ為隱含層第j 個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出值；yμ為網(wǎng)絡(luò)的輸出；φ（·）為Morlet小波。f（·）為Sigmoid函數(shù)，即f（x）=1/1+e-x。m為輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)；q為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；輸出層的節(jié)點(diǎn)數(shù)為1。

3.計(jì)算誤差及參數(shù)的調(diào)整量

定義網(wǎng)絡(luò)的全局誤差為

E=（tμ-yμ）2={tμ-f[wjφ（wjixiμ-bj/aj）]}（7）

式（7）中tμ為樣本Xμ的期望輸出，P為樣本總數(shù)。

從式（7）可知，網(wǎng)絡(luò)輸入誤差是各層權(quán)值wji、wj及小波參數(shù)aj、bj的函數(shù)，因此調(diào)整權(quán)值可改變誤差E。顯然權(quán)值的原則是使誤差不斷地減少，因此應(yīng)使權(quán)值及參數(shù)的調(diào)整量與誤差的梯度下降成正比，故有

權(quán)值調(diào)整量：Δwji=-η（8）

Δwj=-η（9）

參數(shù)調(diào)整量：Δaj=-γ（10）

Δbj=-γ（11）

4.誤差反向傳播，修改網(wǎng)絡(luò)參數(shù)

對輸入層與隱含層的連接權(quán)值wji，修正公式為

wji（N+1）=wji（N）+Δwji（12）

對隱含層與輸出層的連接權(quán)值wj，修正公式為

wj（N+1）=wj（N）++Δwj（13）

對隱含層小波基函數(shù)的伸縮因子aj，修正公式為

aj（N+1）=aj（N）++Δaj（14）

對隱含層小波基函數(shù)的平移因子bj，修正公式為

bj（N+1）=bj（N）++Δbj（15）

通過網(wǎng)絡(luò)參數(shù)wji、wj、aj、bj的調(diào)整，使得網(wǎng)絡(luò)的全局誤差達(dá)到最低。

三、實(shí)證分析

如圖1，選取2012年1月4日到2012年12月31日期間243個(gè)交易日滬深300指數(shù)收盤價(jià)作為原始序列作為實(shí)驗(yàn)研究對象。。

（一）數(shù)據(jù)預(yù)處理

由于滬深300指數(shù)收盤價(jià)數(shù)據(jù)受到市場多種因素的影響，波動(dòng)范圍較大，為了加快神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)速度、提高預(yù)測精度，必須在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練之前對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。

通常情況下，數(shù)據(jù)處理就是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，即通過一定的線性變換將輸入數(shù)據(jù)限制在 [-1，1]區(qū)間內(nèi)。

歸一化的數(shù)學(xué)表達(dá)式是

Pn=2（P-minP）/（maxP-minP）-1（16）

其中，P為原始輸入數(shù)據(jù)，max P和min P分別是P中最大值和最小值。Pn為歸一后的目標(biāo)數(shù)據(jù)。

（二）小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的設(shè)計(jì)

1.網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的設(shè)計(jì)

根據(jù)Kosmogorow定理可知，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)合理和神經(jīng)節(jié)點(diǎn)權(quán)值恰當(dāng)?shù)臈l件下，三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逼近任何連續(xù)函數(shù)。因此，本實(shí)驗(yàn)選取含單一隱含層的三層小波網(wǎng)絡(luò)。

2.輸入層和輸出層神經(jīng)節(jié)點(diǎn)的設(shè)計(jì)

由于實(shí)驗(yàn)只使用收盤價(jià)這一單一變量作為原始數(shù)據(jù)，本文選擇網(wǎng)絡(luò)輸入的交易天數(shù)是一周（5個(gè)交易日），即用5天的數(shù)據(jù)作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)輸入數(shù)值，其后一天的數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)數(shù)據(jù)，按此方式進(jìn)行滾動(dòng)式排列，形成實(shí)驗(yàn)中的輸入樣本（共238個(gè)）。因此，我們將實(shí)驗(yàn)中的輸入層節(jié)點(diǎn)設(shè)為5，輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)設(shè)為1。

3.隱含層小波函數(shù)及輸出層傳遞函數(shù)的設(shè)計(jì)

隱含層使用常用的小波函數(shù)Morlet。由于本文所使用的原始數(shù)據(jù)都經(jīng)過歸一化處理，輸入、輸出向量均在區(qū)間[-1，1]范圍內(nèi)，符合S型對數(shù)函數(shù)對于數(shù)值取值區(qū)間的要求。因此，實(shí)驗(yàn)中采用了輸出層傳遞函數(shù)logsig。

4.隱含層神經(jīng)節(jié)點(diǎn)的設(shè)計(jì)

通用的隱含層神經(jīng)元數(shù)的確定經(jīng)驗(yàn)公式為

l=+a（17）

其中，l為隱含層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)，m為輸入層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)，n為輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)，a為常數(shù)且1

本文通過試湊法確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)對比，確定隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為10。

5.樣本分類及網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的的設(shè)計(jì)

將238個(gè)樣本進(jìn)行分類，前228個(gè)樣本作為訓(xùn)練樣本，后10個(gè)樣本作為測試樣本，即預(yù)測最后后10天滬深300指數(shù)的收盤價(jià)。網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的學(xué)習(xí)速率η設(shè)置為0.01，小波參數(shù)的學(xué)習(xí)速率γ為0.001，訓(xùn)練次數(shù)最大設(shè)置為5000次，網(wǎng)絡(luò)收斂誤差為0.01。

（三）結(jié)果與討論

分別利用建立的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對滬深300指數(shù)收盤價(jià)進(jìn)行預(yù)測，所有的參數(shù)設(shè)置都相同。小波網(wǎng)絡(luò)在365步時(shí)達(dá)到了預(yù)測精度，而傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則在3568步時(shí)才達(dá)到預(yù)測精度，可見小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂速度更快。

兩種模型的預(yù)測結(jié)果見圖2。

由圖可見，對于該組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度明顯高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

更進(jìn)一步地，通過統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的比較，也可以說明小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測效果更好。通過計(jì)算，使用BP神經(jīng)網(wǎng)預(yù)測的均方誤差為1473.75，平均絕對誤差MAE為30.75。而使用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測，其均方誤差MSE為172.48，平均絕對誤差MAE為 11.015，預(yù)測精度明顯高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

綜上可知，基于小波神經(jīng)網(wǎng)的滬深300指數(shù)收盤價(jià)預(yù)測模型在收斂速度和預(yù)測精度方面，均優(yōu)于傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

四、結(jié)論

由于滬深300指數(shù)收盤價(jià)的影響因素眾多，因此采用常規(guī)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法不能夠滿足實(shí)際的預(yù)測需要。本文采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為滬深300指數(shù)收盤價(jià)預(yù)測模型，在預(yù)測中與傳統(tǒng)BP網(wǎng)絡(luò)比較，顯示了更快的收斂速度和更強(qiáng)的逼近能力，能大大提高預(yù)測精度。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，對股票價(jià)格波動(dòng)的預(yù)測問題，小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不失為一種有效的工具。

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