王純鋼

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司51所，上海 201802）

0 引 言

不論是哪種空間譜估計(jì)算法都是對(duì)信號(hào)的復(fù)值進(jìn)行處理，由于進(jìn)入陣列系統(tǒng)的信號(hào)電平比較低，所以進(jìn)行處理前都需要對(duì)接收的信號(hào)進(jìn)行放大和Hilbert變換等一系列的處理。陣列信號(hào)處理的物理基礎(chǔ)是信號(hào)進(jìn)入接收陣列的各個(gè)陣元后，陣元輸出的信號(hào)之間有嚴(yán)格的相關(guān)性。為此，要求信號(hào)進(jìn)入接收陣列系統(tǒng)后，經(jīng)過放大和Hilbert變換等處理后得到的復(fù)信號(hào)也有嚴(yán)格的相關(guān)性。換句話說，要求從陣列接收系統(tǒng)陣元的感應(yīng)到復(fù)信號(hào)輸出的整個(gè)過程中，陣列接收系統(tǒng)的各通道要有嚴(yán)格的相關(guān)性。否則，陣列接收系統(tǒng)的各陣元輸出的復(fù)信號(hào)與信號(hào)源到達(dá)各陣元的信號(hào)復(fù)數(shù)形式不一樣，從而引起最終譜估計(jì)有較大的誤差，甚至失效。

造成陣列接收系統(tǒng)的各個(gè)通道不一致性的因素有：

（1）陣列接收通道的放大和變換使其輸出的幅度和相位不一致。其中，影響最大的是本振信號(hào)的不一致。

（2）陣列接收系統(tǒng)各個(gè)陣元之間的互耦效應(yīng)。它不僅影響各個(gè)陣元感應(yīng)電壓的幅度和相位，也影響各個(gè)陣元的輸入阻抗。而且，這種影響和信號(hào)源的頻率有密切的關(guān)系。

（3）饋線的長(zhǎng)度效應(yīng)與接收機(jī)輸入阻抗的不一致性。它也與頻率有密切的關(guān)系。

（4）接收陣元物理位置和結(jié)構(gòu)的不一致性。它們也是頻率的函數(shù)。

通道的不一致性可以分為2類：一類是在整個(gè)觀察時(shí)間內(nèi)，各個(gè)通道保持不變，稱為慢不一致性；另一類是在整個(gè)觀察期間中，在一次取樣時(shí)間內(nèi)增益和相位保持不變，而在不同的取樣周期中，其不一致性發(fā)生變化，稱為快不一致性。它們均會(huì)對(duì)陣列測(cè)向的精度產(chǎn)生很大的影響。第1類通常都有辦法消除或減少它的影響；快不一致性通常是隨機(jī)變化的，很難消除它的影響。本文主要研究通道慢不一致性的影響和解決方法。

1 對(duì)陣列各通道不一致性的校正［1］

1.1 信號(hào)模型及問題的描述

設(shè)待校正的陣列由N個(gè)無方向性的陣元構(gòu)成，陣列結(jié)構(gòu)形式為線陣。空間有M個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)校正信號(hào)源，某一時(shí)刻只有一個(gè)工作，即它們分時(shí)工作。這M個(gè)校正信號(hào)源的絕對(duì)方向角可以不知道，但這M個(gè)信號(hào)方向之間的角度差必須精確已知。

假定以待校正陣列第1個(gè)陣元為坐標(biāo)原點(diǎn)，以第1個(gè)信號(hào)源方向?yàn)閅軸方向（未精確已知），建立一笛卡爾坐標(biāo)系。待校正陣列在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)設(shè)為 （x1，y1），··，（xN，yN）。

當(dāng)待校正陣列無增益和相位不一致性時(shí)，該陣列的流形為：

當(dāng)校正陣列存在增益和相位不一致性時(shí)，該陣列的流形為：

式 中：Γ＝ diag［ρ1exp（jφ1），ρ2exp（jφ2），…，ρNexp（jφN）］，ρi為第i個(gè)陣元的增益，φi為第i個(gè)陣元的相位。

以待校正陣列的第一陣元通道作為相位和增益的基準(zhǔn)，即ρ1＝1、φ1＝0時(shí)，陣列接收到的數(shù)據(jù)為：

式中：X（t）＝［x1（t），x2（t），··，xN（t）］T；A（θ）＝［a（θ1），a（θ2），··，a（θp）］；S（t）＝ ［s1（t），s2（t），··，sp（t）］T，si（t）為空間第i個(gè)信號(hào)的復(fù)包絡(luò)；n（t）＝［n1（t），n2（t），··，nN（t）］T，ni（t）為第i個(gè)陣元的觀測(cè)噪聲，為各自獨(dú)立的白噪聲，且與信號(hào)不相關(guān)；p為觀測(cè)時(shí)工作信號(hào)源數(shù)目。

在上述坐標(biāo)系中，可以假定M個(gè)校正信號(hào)源與Y軸的夾角為θ1，θ2，…，θM，精確已知，而且θ1＝0°，在分時(shí)工作時(shí)，可以得到M個(gè)協(xié)方差矩陣：

式中：σ2si為第i個(gè)校正信號(hào)的功率；σ2n為噪聲信號(hào)的功率。

顯然，式（4）右邊第1項(xiàng)為秩等于1的矩陣。因此，如果對(duì)Ri進(jìn)行特征分解，其最大特征值所對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量為V（i）（根據(jù)原向量的第1個(gè)元素進(jìn)行歸一化），且V（i）＝a（θi）。這樣，就可以求得待校正陣列的陣列參數(shù)。

1.2 陣列參數(shù)的求取

首先，用下式來估計(jì)Ri：

式中：K為采樣總數(shù)；X（i）（t）為信號(hào)源i工作時(shí)陣列接收到的數(shù)據(jù)。

因?yàn)檫M(jìn)行陣列校正時(shí)，一般信噪比較高，且K足夠大，可假設(shè)：

對(duì)其作特征分解，可得其最大特征值所對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量：

式中：Ψ（i）為測(cè)量值；θi為已知值。

只要 Rank（C）＝2，就可解得X、Y。顯然，Rank（C）＝2的條件很容易滿足。當(dāng)M＝3時(shí)，上述方程有唯一解，當(dāng)M＞3時(shí)，上述方程為超定方程，其最小二乘解為：B＝A·C＋，其中，C＋為C的Moore-Penrose廣義逆，C＋＝CT·（C·CT）-1。陣元的位置由下式估計(jì)：

將上式代回到原式，可由下式估計(jì)出陣元的相位：

由以上3式，就可以全部估計(jì)出陣列的參數(shù)。

1.3 陣列增益和相位不一致性的校正

由上面得到了產(chǎn)生干擾的通道參數(shù)，根據(jù)：

可以很容易求出Γ，然后再利用Γ-1去左乘以X矩陣，即：X′＝Γ-1·X，便可以消除通道不一致性對(duì)信號(hào)的干擾。接下來利用校正后的X′矩陣進(jìn)行空間譜估計(jì)測(cè)向，得到的結(jié)果便是正確的。

2 仿真試驗(yàn)

有3個(gè)待測(cè)信號(hào)，其方向到達(dá)角度分別為30°、-27 °和 -30 °，工 作 頻 率 分 別 為 3.995GHz、3.98GHz和3.95GHz，待測(cè)量信號(hào)的信噪比 為10dB，陣元數(shù)為6，陣元間距離按大于最高工作頻率4GHz的半波長(zhǎng)設(shè)計(jì)，采樣率為500MHz，通道增益偏差為［1，1.3，0.7，1.1，1.2，0.8］，通道相位偏差為［0.0，1.4，-0.6，0.1，-0.4，-0.64］，通過校正后的對(duì)待測(cè)信號(hào)的估計(jì)結(jié)果如下：

時(shí)空二維空間譜分析的立體圖如圖1所示。

圖1 時(shí)空二維空間譜分析的立體圖

單次估計(jì)結(jié)果如下：

輻射源方位值：30，-27，-30；

輻 射 源 方 位 估 計(jì) 值：3.004 0e＋001，-2.740 7e＋001，-2.955 3e＋001；

輻射源頻率值：3.995 0e＋009，3.980 0e＋009，3.950 0e＋009；

輻 射 源 頻 率 估 計(jì) 值：3.992 6e＋009，3.977 1e＋009，3.954 5e＋009。

30次統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果時(shí)空二維空間譜分析的立體圖見圖2。多次估計(jì)統(tǒng)計(jì)分析圖如圖3所示。

30次統(tǒng)計(jì)平均估計(jì)結(jié)果如下：

輻射源方位值：30，-27，-30；

輻射源方位估計(jì)值：3.001 3e＋001，-2.745 0e＋001，-2.968 1e＋001；

輻射源頻率值：3.995 0e＋009，3.980 0e＋009，3.950 0e＋009；

輻射源頻率估計(jì)值：3.993 6e＋009，3.976 0e＋009，3.952 2e＋009。

圖2 30次統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果時(shí)空二維空間譜分析的立體圖

3 結(jié)束語

本文描述的誤差校正方法是基于以下假定：雖然校正源相對(duì)于陣元的方向并不知道，但各校正源的波達(dá)方向之間的角度差是準(zhǔn)確已知的，該方法可以精確地估計(jì)出通道的幅相誤差。在校正源相對(duì)于陣列的波達(dá)方向未知情況下，已經(jīng)證明了線性等距陣列的等距誤差不可能完全校正［2-3］。盡管如此，采用此校正方法還是可以通過對(duì)陣列的增益和相位的不一致性進(jìn)行校正，得到較好的輻射源方位、頻率估計(jì)精度，事實(shí)上，通過工程樣機(jī)的驗(yàn)證，采用一點(diǎn)源校正便已能得到較好的譜估計(jì)精度。

圖3 多次估計(jì)統(tǒng)計(jì)分析圖

［1］ 劉德樹，羅景青，張劍云.空間譜估計(jì)及其應(yīng)用［M］.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1997.

［2］ Weiss A J，F(xiàn)riedlander B.Eigenstructure methods for direction finding with sensor gain and phase uncertainties［J］.Circuits Systems Signal Process，1990，9（3）：27-30.

［3］ Rockah Y，Schultheiss P M.Array shape caliberation using sources in unknown locations-Part I：far-field sources［J］.IEEE Transactions on ASSP，1987，35（3）：286-299.