李 軍 劉 娜 劉紅明 孫 穎 何子述

(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都 611731)

引 言

正交信號一般應(yīng)用于多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)雷達(dá)體系[1-3]，良好的正交波形能夠在空間上形成低增益的寬波束，提高雷達(dá)的抗截獲性能. 接收信號經(jīng)過數(shù)字多波束技術(shù)后，能夠形成多個高增益的窄波束，能夠同時檢測出多個目標(biāo).總之，正交波形的設(shè)計越來越受到人們的重視.

常見正交波形的信號形式有正交離散頻率編碼信號[4]、正交頻分復(fù)用-線性調(diào)頻信號[5]、正交多相編碼信號[6].由于正交多相編碼信號帶寬利用率高，本文從多相碼設(shè)計角度對正交波形進(jìn)行設(shè)計.目前正交相位編碼信號設(shè)計方法多集中在智能領(lǐng)域中，如Liu等[7]利用遺傳算法進(jìn)行正交性的搜索和相關(guān)量的優(yōu)化，但是這種算法很容易陷入局部最優(yōu).針對這一現(xiàn)象，Deng[8]利用基于遺傳算法的模擬退火算法進(jìn)行了正交相位編碼信號的設(shè)計，這一設(shè)計雖然具有很強(qiáng)的局部搜索能力，但是卻對整個搜索空間不夠了解，不利于將搜索過程進(jìn)入最希望的區(qū)域，而且沒有解決在目標(biāo)零偏移點處，信號間嚴(yán)格正交性(后文將在目標(biāo)零點偏移處信號間嚴(yán)格正交性簡稱嚴(yán)格正交性)的問題，這將會直接影響到雷達(dá)的角度測量精度和雜波對消效果[9-10].為了解決相位編碼信號間嚴(yán)格正交性的問題[11]，本文引入了Walsh函數(shù)的概念，提出了一種基于Walsh矩陣的正交多相碼信號設(shè)計方法.Walsh矩陣保證信號間具有嚴(yán)格正交性，通過對Walsh矩陣列變換，為遺傳算法提供了嚴(yán)格正交性空間域，使得遺傳算法優(yōu)化速度得到了很大的提升.同時在遺傳算法中添加了“和信號”形式的代價函數(shù)，使得設(shè)計出的信號組在目標(biāo)檢測性能上得到了提升.“和信號”的概念來源于每個接收信號是所有發(fā)射信號在空間上疊加后的綜合信號，因此對接收的“和信號”做相關(guān)處理時，要求所有發(fā)射信號都與“和信號”做匹配濾波，各匹配濾波后疊加的綜合輸出旁瓣量直接決定著雷達(dá)對目標(biāo)的檢測性能，根據(jù)這一理念才把“和信號”的相關(guān)旁瓣輸出增加為遺傳算法代價函數(shù)之一.

本設(shè)計方案是在保證信號間嚴(yán)格正交性的同時，盡可能地降低“和信號”相關(guān)峰值旁瓣量、自相關(guān)峰值旁瓣量以及互相關(guān)峰值量.嚴(yán)格正交性的保證是通過變化后的類Walsh矩陣給予的，類Walsh矩陣是通過Walsh矩陣變化重組生成的正交多相碼矩陣，Walsh矩陣則是通過Walsh函數(shù)采樣得到的.低相關(guān)旁瓣量則是通過遺傳算法對嚴(yán)格正交信號空間域進(jìn)行篩選實現(xiàn)的.嚴(yán)格正交性使得信號處理時具有更優(yōu)的角度測量精度和雜波對消效果；低自相關(guān)旁瓣量和低互相關(guān)量的設(shè)計使得發(fā)射信號組在空間上能量分布均勻，同時降低了信號間的干擾，便于隱身；低“和信號”相關(guān)峰值旁瓣量的設(shè)計使得雷達(dá)綜合輸出端有更好的目標(biāo)檢測概率；多相碼的設(shè)計使得信號更不容易被破獲且能夠獲得比較低的相關(guān)旁瓣量.

1 正交多相碼信號形式

假設(shè)MIMO雷達(dá)發(fā)射的是一組正交相位編碼信號，信號個數(shù)為L，每個信號的編碼長度為N，那么編碼信號集合可表示如下：

{Sl(t)=a(t)ejφl(n),n=1,2,…,N},l=1,2,…,L，

(1)

且為了滿足信號間嚴(yán)格正交性，要求任意兩個信號間滿足關(guān)系為

(2)

式中：a(t)為每個碼元的載頻信號；tp為信號持續(xù)時間；φl(n)為第l個信號第n個碼元內(nèi)信號的初始相位，對于四相碼來說相位取值為

φl(n)∈{0,π/2,π,3π/2}.

(3)

根據(jù)信號的相關(guān)處理特性，可以定義自相關(guān)A(φl,k)序列、互相關(guān)C(φp,φq,k)序列，“和信號”相關(guān)S(k)序列表達(dá)式為

(4)

(5)

(6)

由于載頻信號在每個碼元中保持不變，因此在計算相關(guān)量時可以不做考慮，簡化了計算復(fù)雜度.由式(4)、(5)和(6)可見相關(guān)輸出是一個滑動相關(guān)的過程，旁瓣輸出是不可避免的.“和信號”相關(guān)峰值旁瓣量高將會直接引起虛假目標(biāo)的產(chǎn)生或者掩蓋了真實的弱目標(biāo)，高的自相關(guān)旁瓣量和互相關(guān)量則會使得發(fā)射信號組在空間上能量分布不均勻，不利于隱身，所以要求設(shè)計出的正交相位編碼信號具有三種類型的低旁瓣量.

2 基于Walsh矩陣的正交多相碼矩陣設(shè)計

Walsh矩陣中的每個行向量是通過一組完備的正交函數(shù)系Walsh函數(shù)等間隔采樣得到的，該Walsh函數(shù)只有兩個取值,分別是+1和-1，假設(shè)對N=2v個Walsh函數(shù)進(jìn)行1/N=2-v等間隔采樣，那么將會得到一個N×N的Walsh矩陣.Walsh函數(shù)正交性數(shù)學(xué)表述如下：

(7)

例如當(dāng)v取3時，可以得到如下Walsh矩陣

通過采樣生成的Walsh矩陣，僅包含兩個元素+1和-1，對應(yīng)到相位上是0和π，滿足正交二相碼生成邏輯，即滿足如下兩個邏輯定理：

定理1 多個長度為N的二相碼序列彼此正交的必要條件是N為偶數(shù)，且取值為+1和-1的子碼數(shù)相等；

定理2 長度為2m正交二相碼序列，可以找到至少包含2m-1個序列構(gòu)成的正交編碼簇，其中任意兩個編碼之間滿足嚴(yán)格正交性約束.

定理證明如下：

定理1的證明：已知二相碼編碼中每個碼元序列的取值只能是+1和-1(分別對應(yīng)于信號相位0和π)，隨機(jī)取兩個彼此正交的編碼序列M1和M2，兩個二相編碼序列的長度均為N，然后逐個比較兩個編碼序列的碼元，記符號相同的碼元個數(shù)為N1，符號不同的碼元個數(shù)為N2，則有N1+N2=N.為保證兩個二相碼序列嚴(yán)格正交性，N1和N2需滿足N1=N2，所以有

N=N1+N2=2N1=2N2.

(8)

由此可見，N必須是偶數(shù)才能夠保證嚴(yán)格正交性，而且為控制編碼序列的自相關(guān)旁瓣，二相碼序列取+1和-1的數(shù)量必須相等，證明完畢.

定理2的證明：利用歸納法，當(dāng)m=2時定理顯然成立，且根據(jù)定理1，任意一個二相碼序列中+1和-1的個數(shù)相等.

假定當(dāng)m=k0≥2時定理2成立，即存在一個編碼長度為N=2k0，含N-1個正交二相碼的編碼簇，記編碼序列為mi，i=1,2,…,N-1.

先構(gòu)造出三個長度都為2N的二相碼簇，第一個記為D，編碼總數(shù)為N-1，表示為

D={d|di=mi‖mi,i=1,2,…,N-1};

(9)

第二個記為E，編碼總數(shù)為N-1，表示為

(10)

第三個記為F，它只含一個編碼序列

(11)

w為長度為N的全+1二相碼串，則并接在一起的為全-1的二相碼串.

從簇D和E中各取一個元素di和ej，考察兩串二相碼之間的正交性，顯然有：

如果i=j，則兩串二相碼之間符號相同和相反的子碼數(shù)量各為N，則推出di與ej正交；于是有D與E正交.

記G為F、D和E三者間的交集，綜合前面的推理可知G中所有元素取+1和-1的子碼個數(shù)相同，并且所有元素兩兩滿足正交的條件，而G中元素的個數(shù)為

2(N-1)+1=2(2k0-1)+1=2k0+1-1,

(12)

這說明m=k0+1時定理成立.綜合上述過程可知，定理2成立.

通過生成邏輯，Walsh矩陣僅僅滿足二相碼信號間的嚴(yán)格正交性，并且沒有考慮到信號的相關(guān)旁瓣輸出，需要利用遺傳算法對相關(guān)旁瓣量進(jìn)行優(yōu)化選擇以滿足實際需求.由于設(shè)計出的正交二相碼信號相位個數(shù)較少，因此需要拓展相位個數(shù)，以四相碼為例構(gòu)造出的類Walsh矩陣形式為

(13)

式中矩陣A為一個N×N的Walsh矩陣，通過A矩陣構(gòu)造出2N×2N的矩陣C就滿足相位個數(shù)為四相的正交矩陣，證明如下：

定義ci,cj分別表示為矩陣C的第i,j行，ai,aj分別表示矩陣A的第i,j行.當(dāng)i,j>N時，則ai=ai-N,aj=aj-N，并且矩陣A中任意兩個行向量具有嚴(yán)格正交性，這是由正交Walsh陣的性質(zhì)決定的，那么C中行向量的取值存在如下兩種情況(i,j顯然不能取相同的值)：

第一種情況，i,j同時取在前N行或者后N行，那么

ci·cj=ai·aj±j(ai·aj)

=0±j0

=0;

(14)

第二種情況，i,j一個取前N行，一個取在后N行，那么當(dāng)j=i+N時,

ci·cj

=ai·(-j)aj+jai·aj

=ai·(-j)ai+jai·ai

=-jN+jN

=0,

(15)

當(dāng)j≠i+N時,

ci·cj

=ai·(-j)aj+jai·aj

=ai·(-j)aj-N+jai·aj-N

=-j0+j0

=0.

(16)

證明完畢.以此類推可以設(shè)計出滿足8相、16相等類Walsh矩陣，由于Walsh矩陣可以無限制的擴(kuò)展，因此本文設(shè)計出的多相編碼信號的編碼長度可以無限擴(kuò)展，但是擴(kuò)展的編碼長度必須為2的正次方倍，原因從二相生成邏輯看，Walsh矩陣可以按照2的次方倍無限擴(kuò)展，類Walsh矩陣大小與Walsh矩陣存大小存在2倍的關(guān)系，因此設(shè)計出的正交信號組能夠按照2的次方倍無限擴(kuò)展.

但是，設(shè)計出來的類Walsh矩陣從整個生成邏輯上看僅僅是保證了信號間的嚴(yán)格正交性，對于相關(guān)旁瓣量依然沒有考慮，因此要獲得低相關(guān)旁瓣量的信號組，需要在類Walsh矩陣形成的嚴(yán)格正交性空間域上，利用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化選擇.類Walsh矩陣形成的嚴(yán)格正交性空間域是指對類Walsh矩陣進(jìn)行初等列變換后可能形成的各種正交矩陣的集合，由于列變換打亂了原有相位編碼的排列順序，所以通過不同的列變換可以形成不同旁瓣量的正交信號組，根據(jù)矩陣?yán)碚撓嚓P(guān)知識了解，列變換不會影響正交矩陣行向量間的嚴(yán)格正交性.

3 遺傳算法優(yōu)化選擇

通過重新編排Walsh陣生成類Walsh矩陣，如果直接從其中任意選取某幾個行向量作為雷達(dá)發(fā)射的相位編碼信號組，那么信號間具有嚴(yán)格正交性，但是相關(guān)旁瓣輸出是否比較低卻不能保證.并且由于Walsh矩陣生成邏輯的限制，直接抽取其中某幾個行向量作為雷達(dá)發(fā)射信號的編碼序列則很容易被破譯，從而增大了雷達(dá)基站被發(fā)現(xiàn)的概率，因此需要通過遺傳算法對類Walsh矩陣生成的嚴(yán)格正交性空間域進(jìn)行優(yōu)化選擇，打亂原有的編碼排列邏輯，得到低自相關(guān)峰值旁瓣量、低互相關(guān)峰值量以及低“和信號”相關(guān)峰值旁瓣量的發(fā)射信號組.以四相碼為例介紹總體設(shè)計步驟，流程框圖如圖1所示.

根據(jù)流程框圖具體設(shè)計步驟如下：

第一步，生成Walsh矩陣A，并按公式(13)編排后生成類Walsh矩陣C作為初始嚴(yán)格正交性空間域的一組值.

第二步，產(chǎn)生初始種群即對設(shè)置好大小種群的每個個體的染色體進(jìn)行編碼，每個染色體由兩部分組成：一部分編碼將譯碼成正交四相碼陣的隨機(jī)列重排，另一部分編碼將譯碼為對隨機(jī)列重排后四相碼矩陣的隨機(jī)行抽取.例如需求編碼長度為N=4，信號個數(shù)L=2的信號組，染色體編碼形式如下：

譯碼表述為：原正交四相碼矩陣的第3列、第4列、第1列和第2列重排成為新正交四相碼矩陣的第1列、第2列、第3列和第4列，抽取的信號組為新正交四相碼矩陣的第2行和第4行.

第三步，適應(yīng)度值的計算與分配，適應(yīng)度值的代價函數(shù)由自相關(guān)峰值旁瓣量、互相關(guān)峰值量、“和信號”相關(guān)峰值旁瓣量三部分組成，目的在于能夠使得發(fā)射信號在空間上能量分布均勻，以及提升綜合信號對目標(biāo)的檢測性能.

第四步，利用遺傳算法中的遺傳算子(選擇、交叉、變異)對種群進(jìn)行優(yōu)化更新.

第五步，重復(fù)第三步和第四步直到滿足結(jié)束條件即遺傳代數(shù)達(dá)到設(shè)定的最大值.

圖1 流程框圖

4 仿真結(jié)果

仿真參數(shù)設(shè)置為編碼長度N=1 024，信號個數(shù)選擇L=4，相位個數(shù)選擇為四相，最大遺傳代數(shù)為100.遺傳算法優(yōu)化結(jié)束后得到的信號組的歸一化相關(guān)峰值如表1所示.

表1 優(yōu)化后四相碼相關(guān)峰值表

圖2 優(yōu)化后四相碼自相關(guān)圖

圖3 優(yōu)化后四相碼互相關(guān)圖

圖4 優(yōu)化后四相碼“和信號”相關(guān)圖

圖5 優(yōu)化后四相碼互相關(guān)局部圖

根據(jù)表1得到平均自相關(guān)峰值旁瓣量(平均ASP)為0.069 1，平均互相關(guān)峰值量(平均CP)為0.070 5即-23.160 3 dB和-23.031 0 dB，“和信號”相關(guān)峰值旁瓣為0.061 5(-24.082 4 dB)，所有相關(guān)旁瓣量比較低.

設(shè)計出的四相碼信號的歸一化自相關(guān)整體圖如圖2所示；歸一化互相關(guān)整體圖如圖3所示；歸一化“和信號”相關(guān)輸出如圖4所示.

由圖2～4可見“和信號”相關(guān)輸出旁瓣電平、自相關(guān)旁瓣電平和互相關(guān)旁瓣電平都是比較低的，使得信號組的抗截獲性能更高，同時更容易檢測到弱目標(biāo)并使虛假目標(biāo)的出現(xiàn)概率降低.

本文的又一個關(guān)鍵點在于設(shè)計出的信號組滿足嚴(yán)格正交性，通過圖5(互相關(guān)局部放大圖)可以看出信號間在目標(biāo)零點偏移處互相關(guān)量輸出為0，說明該方法是可行的.嚴(yán)格正交性的滿足，使得信號在角度測量精度和雜波對消效果上得到了很大的提升.

下面針對設(shè)計出的正交多相編碼信號做多普勒容忍性能分析，設(shè)置脈沖重復(fù)周期為tr，占空比為η=20%，那么一個脈沖周期內(nèi)信號持續(xù)時間tp=0.2tr.多普勒頻率為fd，歸一化后的多普勒分辨率(歸一化多普勒為fd*tr=fd*5tp)如圖6所示.

圖6 歸一化多普勒分辨率

通過圖6發(fā)現(xiàn)該信號組多普勒分辨率僅與脈沖持續(xù)時間有關(guān)，與相位編碼序列的排列順序無關(guān)，具有一般相位編碼信號多普勒容忍性較差的特性，因此相位編碼信號一般用于檢測靜止目標(biāo)，如果用于探測運動目標(biāo)，則需要在信號處理端進(jìn)行多普勒預(yù)補(bǔ)償.

5 結(jié) 論

正交相位編碼是正交信號的一種重要形式，被廣泛的應(yīng)用于MIMO雷達(dá)上.多相碼的設(shè)計使得雷達(dá)信號隱蔽性更強(qiáng)，實際雷達(dá)發(fā)射相位編碼信號需求低綜合旁瓣量，從而便于對目標(biāo)的檢測.本文提出了一種正交多相碼的設(shè)計方法.Walsh函數(shù)正交性能的利用使得設(shè)計出的多相碼序列具有嚴(yán)格正交性，便于提升角度測量精度和雜波對消效果；遺傳算法在正交性空間域上優(yōu)化選擇使得信號組具有低旁瓣量，降低了傳統(tǒng)遺傳算法的優(yōu)化運算量；增加“和信號”形式的代價函數(shù)，使得遺傳算法優(yōu)化出的信號組提升了目標(biāo)檢測性能.

但是，本文設(shè)計出來的信號組仍然是相位編碼信號，它具有相位編碼信號的特有屬性，例如對多普勒比較敏感等，這就需要在接收信號處理時，進(jìn)行多普勒預(yù)補(bǔ)償來解決該問題.

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