邱招豐

(溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 溫州 325035)

有限群的弱Φ-可補子群與超可解性

邱招豐

(溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 溫州 325035)

群G的一個子群H稱為在G中弱Φ-可補，如果存在G的一個次正規(guī)子群K，使得G=HK且H∩K≤Φ(H),其中Φ(H)為子群H的Frattini子群.文章利用子群的弱Φ-可補性對有限群結(jié)構(gòu)的影響，給出了有限群為超可解群的若干充分條件.

弱Φ-可補子群；Frattini子群；超可解群;極大子群

群G的一個子群H稱為在G中可補的，如果G存在一個子群K，使得G=HK且K∩H=1,可補子群在群的結(jié)構(gòu)研究中有重要的作用.近年來通過對可補子群的條件加以限制，得到了一些新的概念和研究方法，并由此導(dǎo)致了一些新成果[1-4]的出現(xiàn).文獻(xiàn)[5]引入了Φ-可補概念，即稱群G的一個子群H在G中Φ-可補，如果G存在一個正規(guī)子群H，使得G=HK且H∩K≤Φ(H),其中Φ(H)為子群H的Frattini子群.本文將Φ-可補定義中的正規(guī)子群H減弱為次正規(guī)子群，引入弱Φ-可補的概念，并且利用子群的弱Φ-可補性得到了G為超可解群的幾個充分條件.本文中所有群皆為有限群，Φ(G)、F(G)分別表示群G的Frattini子群、Fitting子群；π表示某一素數(shù)集；π(G)表示|G|的素因子的集合；p、r等表示素數(shù)，o(x)表示〈x〉的價.所用的概念和符號參考文獻(xiàn)[6].

1 預(yù)備知識

定義若群G中存在次正規(guī)子群K，使得G=HK且H∩K≤Φ(H),其中Φ(H)為子群H的Frattini子群，稱子群H在G中弱Φ-可補.

注：顯然Φ-可補一定是弱Φ-可補，但反之不真.事實上，設(shè)G={(1),(12),(34),(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1423),(1324)}，則H={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}是G的弱Φ-可補，但不是G的Φ-可補.

引理1假設(shè)G是有限群：

1)若H在G中弱Φ-可補且H≤M≤G，則H在M中弱Φ-可補；

2)若N?G且N≤H,H在G中弱Φ-可補,則H/N在G/N中弱Φ-可補;若N≤Φ(H),其逆也成立；

3)若H為G的π-子群，K為G的正規(guī)π′-子群，如果H在G中弱Φ-可補，則HK/K在G/K中弱Φ-可補.

證明1)由H在G中弱Φ-可補，可知在G中存在次正規(guī)子群K，使得G=HK且H∩K≤Φ(H),因此可以推出H∩(M∩K)=(H∩K)∩M≤Φ(H)∩M≤Φ(H)且M=M∩HK=H(M∩K),又由于M∩K??M成立，所以H在M中弱Φ-可補.

2)由H在G中弱Φ-可補，可知在G中存在次正規(guī)子群K，使得G=HK且H∩K≤Φ(H)，因此有G/N=HK/N=(H/N)(KN/N)且H/N∩KN/N=(H∩KN)/N=(H∩K)N/N≤Φ(H)N/N≤Φ(H/N),其中KN/N??G/N,因此H/N在G/N中弱Φ-可補.

若H/N在G/N中弱Φ-可補，可知在G/N中存在次正規(guī)子群K/N使得(H/N)(K/N)=G/N且(H/N)∩(K/N)≤Φ(H/N)=Φ(H)/N,其中N≤Φ(H),因此G=HK且H∩K≤Φ(H),即H在G中弱Φ-可補.

3)由H在G中弱Φ-可補，可知在G中存在次正規(guī)子群N，使得G=HN且H∩N≤Φ(H),因為|G|π′=|N|π′=|KN|π′,有|K∩N|π′=|K|π′=|K|,且K≤N,顯然G/K=(HK/K)(KN/K)=(HK/K)(N/K)且(HK/K)∩(N/K)=(HK∩N)/K=(H∩N)K/K≤Φ(H)K/K≤Φ(HK/K),其中N/K??G/K，因此HK/K在G/K中弱Φ-可補.

引理2[7]如果H是G的次正規(guī)子群，那么Soc(G)≤NG(H).

引理3[8]設(shè)G為可解的外超可解群，則G=MF(G)，M∩N=1,其中F(G)=CG(N)=N為G的唯一極小正規(guī)子群，|F(G)|=pα,α>1，F(xiàn)(G)為pα階初等Abel-p群，M為G的超可解的極大子群.

引理4[9]設(shè)P是一個初等交換群，則Φ(P)=1.

引理5[6]兩個冪零群之積可解.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)G為有限群，如果G的每個極大子群在G中弱Φ-可補，則G為超可解群.

證明假設(shè)定理不成立，并設(shè)G為極小階反例.

1)G為可解群.由弱Φ-可補定義知G為非單群.設(shè)N為G的極小正規(guī)子群，由引理1知G/N滿足定理的假設(shè)條件，對群階作歸納假設(shè)得G/N是超可解群，因為超可解群系是飽和群系，所以N是唯一極小正規(guī)子群.令M為G的包含N的極大子群，由定理條件知存在G的次正規(guī)子群K，使得G=MK且M∩K≤Φ(M).設(shè)A為G的包含在K中的極小次正規(guī)子群，顯然A是單群.

i)如果A?N，則A∩N=1,但由引理2及N的唯一性得N?NG(A),因此NA=N×A，所以A?CG(N).因為A≠1從而CG(N)≠1,由于N的極小性知N?CG(N),即N是交換群，從而得到G為可解群.

ii)如果A?N.因為N=A1×A2×…×At，其中A1?A2?…?At且是單群.顯然有A∈{A1,A2,…,At}，而A?M∩K≤Φ(M)，故A為可解群從而得到N也是可解群，即G為可解群.

2)導(dǎo)出矛盾.由1)和引理1知G為可解的外超可解群.由引理3知G=MF(G)，M∩F(G)=1,N=F(G)為G的唯一極小正規(guī)子群，|F(G)|=pα,α>1，F(xiàn)(G)為pα階初等Abel-p群，M為G的超可解的極大子群并且Φ(G)=1.由文[6]知G可解必存在一個極大正規(guī)子群M1，由定理條件知M1在G中弱Φ-可補，于是存在G的次正規(guī)子群H，使得G=M1H且M1∩H≤Φ(M1)≤Φ(G)=1,從而有|H|=r,其中r為素數(shù)，即H為單群.而N為G的唯一極小正規(guī)子群，因此有N?M1,從而得到H∩N=1.又由引理2及N的唯一性得N?NG(H)，即NH=N×H，所以H?CG(N)=N.這與H∩N=1矛盾，說明這樣的反例不存在，所以結(jié)論成立，即G為超可解群.

定理2設(shè)G為有限群，如果G的每個2-極大子群在G中弱Φ-可補，則G為超可解群.

證明假設(shè)定理不成立，并設(shè)G為極小階反例.

1)G為可解群.事實上，若G的任意2-極大子群均為1，由文[6]易知G為可解群.以下假設(shè)G的2-極大子群不全為1.由引理1和定理1得到G的任意真子群均為超可解群.設(shè)A在G的2-極大子群且A≠1，有定理條件A在G中弱Φ-可補，于是存在G的次正規(guī)子群K，使得G=AK且A∩K≤Φ(A).因為A≠1故K是G的真子群，于是存在G的次正規(guī)列K=K0?K1?K2?…?Kt?G,而G/Kt=AK/Kt=AKt/Kt?A/A∩Kt為解的，從而得到G為可解群.

2)導(dǎo)出矛盾.由弱Φ-可補定義知G為非單群.設(shè)N為G的極小正規(guī)子群，如果|G/N|為素數(shù)，則G/N是超可解群.否則由引理1知G/N滿足定理的假設(shè)條件，對群階作歸納假設(shè)得G/N是超可解群.因此G為可解的外超可解群，由引理3知G=MF(G)，M∩F(G)=1,N=F(G)為G的唯一極小正規(guī)子群，|F(G)|=pα,α>1，F(xiàn)(G)為pα階初等Abel-p群，M為G的超可解的極大子群.

i)若F(G)為G的極大子群，取F(G)的極大子群M1,則M1是G的2-極大子群.由定理的條件知M1在G中弱Φ-可補，于是存在G的次正規(guī)子群H，使得G=M1H且M1∩H≤Φ(M1).因為M1≠1故H是G的真子群，于是存在G的次正規(guī)列H=H0?H1?H2?…?Hr?G,由唯一性和極大性知F(G)=Hr，從而得到G=M1H=F(G)H=F(G)，矛盾.

ii)若F(G)不為G的極大子群，取G的2-極大子群M1且滿足F(G)?M1.同樣存在G的次正規(guī)子群H，使得G=M1H且M1∩H≤Φ(M1).設(shè)B為G的包含在H中的極小次正規(guī)子群，顯然B是單群.假設(shè)B?N，則B∩N=1,但由引理2及N=F(G)是G的唯一極小正規(guī)子群得N?NG(B),因此NB=N×B,所以B?CG(N)=N，這與假設(shè)矛盾，表明B?N，從而得到B?Φ(M1).因為N=B1×B2×…×Bn，其中B1?B2?…?Bn是單的非交換群且次正規(guī)于G，所以B∈{B1,B2,…,Bn}，不妨設(shè)B=B1.M1=M1∩(MN)=(M∩M1)N=(M∩M1)B1B2…Bn=(M∩M1)B2…Bn，這個矛盾說明這樣的反例不存在，所以結(jié)論成立，即G為超可解群.

定理3設(shè)G為有限群，A和B是G的子群且G=AB，A∈Hallπ(G)，B∈Hallπ′(G).如果A和B為G的超可解子群并且均在G中弱Φ-可補，則G為超可解群.

證明如果A=1或B=1,由條件已得G為超可解群.所以不妨設(shè)A≠1,B≠1.

假設(shè)定理不成立，并設(shè)G為極小階反例.

1)G為可解群.不妨設(shè)2∈π，A和B均在G中弱Φ-可補，從而存在G的次正規(guī)子群K和H,使得G=AK=BH且A∩K≤Φ(A)，H∩B≤Φ(B).由于A≠1,B≠1，易知K和H均為G的真子群，故存在G的次正規(guī)列K=K0?K1?K2?…?Kt-1?Kt=G,于是有G=AKt=AKt-1=…=AK1=AK0成立,從而得到G/Kt-1=Kt/Kt-1=AKt-1/Kt-1?A/A∩Kt-1，Kt-1/Kt-2=Kt-1∩AKt-2/Kt-2=(A∩Kt-1)Kt-2/Kt-2?A∩Kt-1/A∩Kt-2， 同理可得Kt-2/Kt-3?A∩Kt-2/A∩Kt-3,…,K1/K0?A∩K1/A∩K0，因為A是G的超可解子群所以Ki/Ki-1(i=1,2,…,t)均是可解群.

i)如果A∩K=1,則K是奇數(shù)階群，由Feit-Thompson定理知K=K0為可解群，因此得到G也是可解群.

ii)若A∩K≠1.設(shè)|A|=n，|B|=m，其中n的素因子屬于π,m的素因子屬于π′，則|G|=nm.而|G|=|AKt-1|=|A||Kt-1|/|A∩Kt-1|，即|Kt-1| =m|A∩Kt-1| =mr1，其中|A∩Kt-1|=r1且r1是n因子.因為Kt-1?G,故BKt-1是G中包含B的子群，從而有|BKt-1|=|B||Kt-1|/|B∩Kt-1|=mr2，其中|BKt-1|=mr2，r2是n因子.于是得到|B∩Kt-1|=mr1/r2，因為r1、r2都是n的因子，所以|B∩Kt-1|=m，這表明B?Kt-1.同樣有G=AKt-2，而Kt-2?Kt-1，從而得到BKt-2是G中包含B的子群.同上通過計算B∩Kt-2的階等于m從而得到B?Kt-1，依此方法逐步可得B?K0=K.同理可得A?H.以下分別令N1=A∩K，N2=B∩H，L=K∩H.而且有|L:N1|=|H∩K:A∩K|∈π′,|L:N2|=|H∩K:B∩H|∈π,于是得到|L:N1|和|L:N2|互素，由文[6]知L=N1N2.又因為N1和N2均為冪零子群，由引理4知L是可解群并且是K的次正規(guī)子群，于是存在K的一次正規(guī)列L=L0?L1?…?Lm=K.設(shè)P2為A的Sylow2-子群，顯然P2也是G的Sylow2-子群.由文[9]知P2∩K為K的Sylow2-子群.又P2∩K?A∩K≤L，故Li/Li-1(i=1,2,…,m)都是奇數(shù)階，由Feit-Thompson定理知K是可解的.從而得到G是可解群.

2)導(dǎo)出矛盾.令N為G的極小正規(guī)子群，由于G可解，N為初等交換p-子群，不妨設(shè)N?A.考慮商群G/N，顯然有G/N=(A/N)(BN/N)且A/N和BN/NG都為G/N的超可解子群.由引理1知A/N和BN/NG均在G/N中弱Φ-可補，即G為可解的外超可解群.由引理3知G=MF(G)，M∩F(G)=1,N=F(G)為G的唯一極小正規(guī)子群，|F(G)|=pα,α>1，F(xiàn)(G)為pα階初等Abel-p群.設(shè)T為G的包含在K中的極小次正規(guī)子群，顯然T是單群.假設(shè)T?N，則T∩N=1,但由引理2及N=F(G)是G的唯一極小正規(guī)子群得N?NG(T),因此NT=N×T,所以T?CG(N)=N，與T?N的假設(shè)矛盾，表明T?N.因為N=T1×T2×…×Tn，其中T1?T2?…?Tn且是單群.顯然有T∈{T1,T2,…,Tn}，從而不妨設(shè)T=T1，則T1≤A∩K≤Φ(A),A=A∩(MN)=(M∩A)N=(M∩A)T1T2…Tn=(M∩A)T2…Tn，即A

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WeaklyΦ-supplementedSupgroupsandSupersolvabilityofFiniteGroups

QIU ZhaoFeng

(Wenzhou Vocational & Technical College, Wenzhou 325035, China)

A subgroupHof groupGis called weaklyΦ-supplemented inG, if there is a subnormal subgroupKofG, such thatG=HKandH∩K≤Φ(H), whereΦ(H) is the Frattini subgroup ofH. Using the effects of weaklyΦ-supplemented feature of subgroups on the structure of finite groups, the paper obtained some sufficient conditions for that finite groups were supersolvable groups.

weaklyΦ-supplemented subgroup; Frattini subgroup; supersolvable group; maximal subgroup

2013-05-25

邱招豐(1961—),男,講師,主要從事有限群研究.E-mail:1979611870@qq.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.06.007

O152.1MSC201020B05;20F16

A

1674-232X(2013)06-0513-04