張 睆，辛自強(qiáng)

（1.山西師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，山西 臨汾 041004；2.中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 社會(huì)發(fā)展學(xué)院 心理學(xué)系，北京 100081）

分?jǐn)?shù)概念的學(xué)習(xí)對(duì)于兒童認(rèn)知發(fā)展具有重要意義，它為兒童處理現(xiàn)實(shí)情境中兩個(gè)量的關(guān)系提供了有效數(shù)學(xué)工具，也有利于兒童思維從具體運(yùn)算水平向形式運(yùn)算水平過渡.目前，學(xué)者大都強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)的個(gè)體建構(gòu)性質(zhì)[1～3]，即重視個(gè)體原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，主體動(dòng)作以及對(duì)動(dòng)作的個(gè)人反省在知識(shí)建構(gòu)中的作用[4].從這一視角出發(fā)，該領(lǐng)域的學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的知識(shí)起點(diǎn)、建構(gòu)機(jī)制及其影響因素進(jìn)行大量探討.首先，分?jǐn)?shù)概念是在何種個(gè)人經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建構(gòu)起來的？其次，兒童又是如何基于這些個(gè)人經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)出正式的分?jǐn)?shù)概念知識(shí)的？這一過程包含了哪些階段或水平？最后，哪些因素影響著分?jǐn)?shù)概念的個(gè)體建構(gòu)過程？它們是如何發(fā)揮作用的？研究者擬首先對(duì)這些研究成果依次進(jìn)行介紹和評(píng)價(jià)，然后對(duì)進(jìn)一步的研究問題和思路做出展望.

1 分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的起點(diǎn)

兒童習(xí)得分?jǐn)?shù)概念，并非始于對(duì)分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)的學(xué)習(xí).事實(shí)上，在接受正式的分?jǐn)?shù)教育之前，兒童就具備了有關(guān)的個(gè)人日常經(jīng)驗(yàn).研究者稱之為分?jǐn)?shù)的個(gè)人知識(shí)（personal knowledge）、非正式知識(shí)（informal knowledge）或者初步概念（initial concept）[5]，以區(qū)別于兒童在學(xué)校教育中所學(xué)到的分?jǐn)?shù)正式知識(shí).這些個(gè)人經(jīng)驗(yàn)構(gòu)成了兒童學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念的知識(shí)起點(diǎn).從目前研究來看，這些個(gè)人經(jīng)驗(yàn)可能主要包括兩類，一類是分割和計(jì)數(shù)，另一類是對(duì)相對(duì)量大小的知覺.

1.1 分割和計(jì)數(shù)

分割是指?jìng)€(gè)體將一整體等分為若干部分的能力.在接受正式分?jǐn)?shù)教學(xué)之前，兒童很早就具有這種能力.例如，4歲兒童無需試誤就可以對(duì)一些面積較小、形狀規(guī)則的圖形進(jìn)行對(duì)半等分，一部分發(fā)展較快的兒童甚至可以在4歲成功完成三等分任務(wù)[6].稍大一些的兒童可以使用多種等分策略來解決分配問題.例如在匹薩分割任務(wù)中，兒童可以先確定分享的人數(shù)，并根據(jù)人數(shù)確定匹薩分割的份數(shù)，或者先將匹薩分割為多塊，再通過一一對(duì)應(yīng)的方式進(jìn)行分配[7].可以看出，通過這些策略，兒童將一個(gè)整體等分為幾個(gè)相互獨(dú)立的部分，并將每個(gè)部分都看作一個(gè)“1”，這樣，分?jǐn)?shù)問題就通過分割和計(jì)數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為整數(shù)問題.或者說，通過分割和計(jì)數(shù)操作，兒童可以基于原有整數(shù)知識(shí)初步理解分?jǐn)?shù)概念.

1.2 類比數(shù)量的知覺表征

雖然分?jǐn)?shù)問題通過分割操作可能轉(zhuǎn)化為整數(shù)問題，但與整數(shù)不同，分?jǐn)?shù)是一個(gè)表示兩個(gè)量倍比關(guān)系的相對(duì)量，或者說是一個(gè)比例.近來一些學(xué)者認(rèn)為，人類在嬰兒期即擁有一個(gè)基于倍比法則來表征兩個(gè)數(shù)量相對(duì)大小的類比數(shù)量系統(tǒng)（analogue magnitude system）[9～11].例如，嬰兒在分辨兩個(gè)較大整數(shù)的數(shù)值差異時(shí)，往往基于這兩個(gè)數(shù)值之比，而非二者之差，而且這種分辨能力需要基于一定的知覺線索[12].嬰兒早期比例推理研究則表明，6個(gè)月大的嬰兒就可以敏感地區(qū)分出兩種豆子的不同混合比例[13]，這說明嬰兒不僅可以基于倍比法則表征兩個(gè)整數(shù)數(shù)量的相對(duì)大?。ɡ?和2的差異），而且可以對(duì)兩個(gè)相對(duì)量大小的差異進(jìn)行比較（例如1/4和3/4的差異）.

2 分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的機(jī)制

兒童如何在上述個(gè)人經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建構(gòu)正式的分?jǐn)?shù)概念？這一過程又經(jīng)歷了哪些不同的階段？學(xué)者們提出了不同的分?jǐn)?shù)建構(gòu)理論，對(duì)分?jǐn)?shù)建構(gòu)的機(jī)制和過程做出了解釋.

2.1 遞歸理論

加拿大阿爾伯塔大學(xué)教授Thomas E.Kieren提出了分?jǐn)?shù)概念獲得的遞歸理論（a recursive theory）[14].所謂遞歸，就是用某概念的簡(jiǎn)單情況定義自己的其他情況，在此基礎(chǔ)上不斷復(fù)制拓展.例如，關(guān)于“祖先”的遞歸定義為，某人的雙親是他的祖先（基本情況），某人祖先的雙親還是他的祖先（其他情況）.在這個(gè)定義中，某人的任何一個(gè)祖先都是某人雙親的不斷拓展，即“祖先”就是“雙親的雙親的…雙親”.

Kieren認(rèn)為，兒童對(duì)于分?jǐn)?shù)概念的理解水平分為多個(gè)層次，其中高層次理解是在低層次理解的基礎(chǔ)上建立起來的，并且在必要時(shí)可以還原為低層次理解.由于這一特點(diǎn)類似于邏輯上的遞歸，因此他將兒童建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念的過程視為一個(gè)基于個(gè)體經(jīng)驗(yàn)的“遞歸”過程.具體來說，Kieren將個(gè)體對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解水平由低到高分為8個(gè)層次：（1）原始了解水平（primitive knowing），原始并非意味著兒童對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解是粗糙的，而是指以相關(guān)個(gè)體經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，這些個(gè)體經(jīng)驗(yàn)包括分割、單位化和相對(duì)量的表征能力；（2）表象形成水平（image making），兒童在這個(gè)階段形成了分割的表象，但這些表象往往是與各種具體問題情境聯(lián)系在一起的，其表象內(nèi)容是在不同情境中各種具體的分割操作；（3）表象獲得水平（image having），兒童可以在表象水平上將分?jǐn)?shù)視為一個(gè)客體的量，而非基于不同情境的操作；（4）性質(zhì)關(guān)注水平（property noticing），這個(gè)階段的兒童可以脫離一些具體的實(shí)例而關(guān)注于分?jǐn)?shù)的一些特定性質(zhì)，例如他們可以討論在現(xiàn)實(shí)世界中從未見過的兩個(gè)分?jǐn)?shù)（257/4和89又1/4）是否相等；（5）形式化水平（formalising），在這個(gè)水平，兒童可以對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行形式化地思考，例如理解a/b的含義；（6）評(píng)論水平（observing），兒童可以做出“沒有最小的正分?jǐn)?shù)”這樣概括性的判斷，而不會(huì)像性質(zhì)關(guān)注水平的兒童那樣認(rèn)為“有最小的正分?jǐn)?shù)，因?yàn)榉帜缸兇螅謹(jǐn)?shù)就會(huì)變小”；（7）結(jié)構(gòu)化水平（structuring），該水平意味著個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解達(dá)到了理論化水平；（8）創(chuàng)造水平（inventing），達(dá)到創(chuàng)造水平的個(gè)體可以打破原有理論體系的框架，提出新問題，創(chuàng)造新概念.

Kieren強(qiáng)調(diào)這一遞歸過程具有3個(gè)重要特點(diǎn)：第一，當(dāng)?shù)蛯哟卫斫廪D(zhuǎn)化為高層次理解之后，個(gè)體就不再依賴于低層次方式來理解分?jǐn)?shù).例如，當(dāng)個(gè)體系統(tǒng)掌握了分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則之后，就不需要再來思考每一步運(yùn)算所代表的具體意義，而可以直接采用形式化的方法解決問題.Kieren稱這種轉(zhuǎn)化為“不需要”邊界（“don’t need” boundary）.第二，雖然人們獲得高層次理解之后，不再需要采用低層次理解方式，但是這不意味人們遺忘了該理解方式，在需要的時(shí)候，該理解方式可以隨時(shí)被提取出來.例如，在兒童剛剛獲得高層次理解方式時(shí)，如果面臨較為困難的問題，他往往需要還原到初級(jí)理解方式去解決，Kieren稱這個(gè)現(xiàn)象為“折回”（fold back）.他強(qiáng)調(diào)這種“折回”過程對(duì)于兒童建構(gòu)高層次理解方式極為有利[15].第三，每個(gè)理解層次都包括有動(dòng)作和表述兩個(gè)方面.理解水平的變化必然包含有動(dòng)作和表述的變化，大多數(shù)時(shí)候，動(dòng)作變化發(fā)生在表述變化之前，但是隨后二者會(huì)交替出現(xiàn).動(dòng)作變化與表述變化之間的循環(huán)往復(fù)過程，是兒童數(shù)學(xué)理解層次變化的重要途徑.

所謂的遞歸機(jī)制，是將分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)中不同層次知識(shí)間的同構(gòu)關(guān)系比喻為邏輯上的遞歸關(guān)系.該理論實(shí)質(zhì)上強(qiáng)調(diào)了分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)過程的4個(gè)特點(diǎn)：第一，同一知識(shí)可以在多個(gè)層次上被表征，從最基礎(chǔ)的動(dòng)作和知覺經(jīng)驗(yàn)，到情境化的表象，再到去情境化的表象，最后到達(dá)符號(hào)水平.第二，高層次的知識(shí)結(jié)構(gòu)并沒有代替低層次的結(jié)構(gòu)，不同層次的結(jié)構(gòu)之間可以相互轉(zhuǎn)化.第三，從低層次知識(shí)結(jié)構(gòu)到高層次知識(shí)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程中，較為困難的任務(wù)對(duì)知識(shí)建構(gòu)具有重要意義.第四，動(dòng)作和語言表述是個(gè)體建構(gòu)知識(shí)的兩個(gè)重要認(rèn)知工具，二者之間的相互促進(jìn)和相互轉(zhuǎn)化在知識(shí)建構(gòu)中具有重要作用.

2.2 動(dòng)作—效果關(guān)系反省抽象理論

從皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識(shí)論到當(dāng)代的數(shù)學(xué)概念建構(gòu)理論都強(qiáng)調(diào)，動(dòng)作是數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的起點(diǎn)，而反省抽象是兒童數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的主要機(jī)制[16].基于這一思想.普度大學(xué)的Tzur教授提出了分?jǐn)?shù)概念獲得的動(dòng)作—效果關(guān)系反省抽象說[3]，解釋了兒童如何通過反省抽象，進(jìn)而從自身動(dòng)作中建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念的具體過程.

該理論認(rèn)為，分?jǐn)?shù)概念實(shí)質(zhì)上來自對(duì)行動(dòng)和效果之間關(guān)系的反省抽象.基于Sfard關(guān)于數(shù)學(xué)概念對(duì)象過程二重性的觀點(diǎn)，以及Glaserfield對(duì)數(shù)學(xué)概念圖式的“三成分”說，Tzur認(rèn)為分?jǐn)?shù)概念圖式是由問題情境、情境中的運(yùn)算和運(yùn)算的效果3個(gè)成分構(gòu)成的[17].在這3種成分中，運(yùn)算成分可以視為內(nèi)化了的動(dòng)作，而運(yùn)算效果實(shí)質(zhì)上也是動(dòng)作的效果.因此分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)實(shí)質(zhì)上是個(gè)體對(duì)動(dòng)作及其效果間關(guān)系進(jìn)行反省抽象的過程[3].

Tzur認(rèn)為這一反省抽象過程是從動(dòng)作的反復(fù)自我調(diào)節(jié)中開始的.具體來說，動(dòng)作執(zhí)行結(jié)構(gòu)包含3個(gè)要素：目標(biāo)、行動(dòng)和效果.兒童在分?jǐn)?shù)問題解決中，首先基于目標(biāo)執(zhí)行一系列的行動(dòng)，然后將行動(dòng)的效果與目標(biāo)相比較，并據(jù)此調(diào)節(jié)原先的行動(dòng).例如，要求兒童找到一條直線的1/7和1/5時(shí)，兒童會(huì)首先截取一小段直線，然后這一小段直線重復(fù)疊加多次，并比較疊加后的直線與原先的直線之間的差異，如果原先的直線較長，則兒童會(huì)適當(dāng)增加一小截直線的長度，然后再疊加，再比較，直至相等.

在個(gè)體不斷調(diào)節(jié)自身動(dòng)作的過程中，分?jǐn)?shù)概念得以建構(gòu).Tzur認(rèn)為這一過程具體包括兩個(gè)階段.第一個(gè)階段稱為共存階段（participatory stage）.在這個(gè)階段，個(gè)體會(huì)將每一次行動(dòng)及其效果間的關(guān)系，以及采取該行動(dòng)的問題情境（包括具體的問題目標(biāo)）共同儲(chǔ)存在記憶中.此時(shí)，行動(dòng)—效果關(guān)系性知識(shí)是情境化的，其提取和應(yīng)用也只能在類似問題情境中發(fā)生.例如，兒童在上述直線任務(wù)中會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果每段小直線增大一些，則疊加到長直線的次數(shù)就會(huì)少一些.這時(shí)，如果問兒童，1/7和1/5哪個(gè)大些，兒童可以正確回答，但是在折紙任務(wù)中他們卻不能正確回答該問題.第二個(gè)階段稱為預(yù)期階段（anticipatory stage）.在這個(gè)階段，個(gè)體會(huì)將不同情境下的行動(dòng)—效果關(guān)系進(jìn)行比較，并抽取其中的共同模式，作為抽象的行動(dòng)—效果關(guān)系知識(shí).此時(shí)，個(gè)體會(huì)“預(yù)想”到整體一定條件下，份數(shù)越多，每份越少，從而建構(gòu)出分?jǐn)?shù)概念的部分—整體含義，并能區(qū)分1/7和1/5的量的大小.

2.3 兩種理論的對(duì)比分析

可以看出，無論是Kieren強(qiáng)調(diào)的遞歸過程，還是Tzur試圖說明的反省抽象過程，實(shí)質(zhì)上都在說明正式分?jǐn)?shù)概念是如何在個(gè)體原有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建構(gòu)而成的.而且上述兩個(gè)理論都從個(gè)體已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，任務(wù)特征與主體動(dòng)作的角度來解釋分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)機(jī)制，而沒有涉及社會(huì)合作和文化因素在分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)中的作用.因此可以說，這些理論都是分?jǐn)?shù)概念的個(gè)體建構(gòu)理論.

但是，這兩個(gè)理論的側(cè)重點(diǎn)也有所不同.Kieren將分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)機(jī)制比喻為邏輯上的遞歸過程，側(cè)重于強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的不同層次及層次間的同構(gòu)關(guān)系，即高層次理解是對(duì)低層次理解的拓展，而沒有詳細(xì)說明個(gè)體如何從一個(gè)層次開始，經(jīng)過了怎樣的心理加工過程從而發(fā)展到另一個(gè)層次的.因而可以認(rèn)為，該理論主要是一個(gè)分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的層次模型.而Tzur借用了Piaget提出的反省抽象，并具體說明了個(gè)體如何從自身的分割動(dòng)作之中抽象出分?jǐn)?shù)概念的部分－總體含義，因此該理論是一個(gè)分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的過程模型.

3 分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的影響因素

研究表明，在分?jǐn)?shù)概念的個(gè)體建構(gòu)過程中，個(gè)體的原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、主體動(dòng)作和分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)符號(hào)都會(huì)起到重要作用.然而這些因素對(duì)于分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的影響到底如何，學(xué)者們并沒有一個(gè)簡(jiǎn)單一致的看法，而是爭(zhēng)論頗多.

3.1 分割計(jì)數(shù)動(dòng)作的影響

分割計(jì)數(shù)是兒童解決分配問題的常用策略，也是兒童理解分?jǐn)?shù)概念的重要個(gè)人經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).皮亞杰等即認(rèn)為，兒童能理解部分—整體關(guān)系，是得益于他們具有大量的分割操作經(jīng)驗(yàn)[6].但是，兒童對(duì)于分?jǐn)?shù)量（即相對(duì)量大?。┑恼J(rèn)識(shí)，是否也基于這種操作經(jīng)驗(yàn)，尚存在一些爭(zhēng)議.有學(xué)者認(rèn)為兒童是以分割計(jì)數(shù)的方法來認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)量的大小的.例如，兒童如要認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)a/b的大小，可以將整體等分為b份，并將其中一份（1/b）視為單位，然后再將該單位反復(fù)計(jì)數(shù)a次[7].

但是近來的一些研究表明，這一結(jié)論可能并不適用于學(xué)齡前和小學(xué)低年級(jí)兒童，分割和計(jì)數(shù)操作可能會(huì)阻礙這些兒童對(duì)于分?jǐn)?shù)量的認(rèn)識(shí).例如，分割操作使兒童將分?jǐn)?shù)視為按照某種固定程序操作的結(jié)果，而非一個(gè)單獨(dú)的量.從而使得兒童在一些加法運(yùn)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤，他們常常將分子相加做分子，將分母相加做分母，例如1/3+1/3得到了2/6[18].另外，兒童之所以很難理解假分?jǐn)?shù)，是因?yàn)樗麄兓趯?duì)整體的分割來理解分?jǐn)?shù)大小的，因此他們難以理解，為何一個(gè)分?jǐn)?shù)可以比整體還要大[19].新近研究表明，低齡兒童在連續(xù)量比例推理任務(wù)上的成績要好于離散量任務(wù)[9～10].研究者認(rèn)為，這可能是由于這些兒童在離散量任務(wù)上傾向于使用計(jì)數(shù)策略，計(jì)數(shù)操作得到的是整數(shù)，但兒童難以理解兩個(gè)整數(shù)的相對(duì)大小.而在連續(xù)量任務(wù)中，兒童則很少甚至根本不使用分割計(jì)數(shù)的操作，而使用嬰兒時(shí)期即具備的類比數(shù)量知覺表征能力.因此其問題解決成績較好.

分割計(jì)數(shù)動(dòng)作究竟是促進(jìn)還是阻礙著個(gè)體對(duì)于分?jǐn)?shù)量的認(rèn)識(shí)？上述兩種觀點(diǎn)給出了看似矛盾的觀點(diǎn).這種矛盾可能體現(xiàn)了兒童對(duì)于分?jǐn)?shù)量認(rèn)識(shí)能力的發(fā)展特點(diǎn).在其發(fā)展早期，兒童可能基于類比數(shù)量表征能力來籠統(tǒng)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)量的大小，而在發(fā)展后期，兒童可以基于其日臻熟練的分割計(jì)數(shù)操作來實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)量大小的更為精確的認(rèn)識(shí).

3.2 整數(shù)知識(shí)的影響

在正式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，兒童會(huì)在掌握整數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù).雖然同稱為“數(shù)”，但整數(shù)概念與分?jǐn)?shù)概念之間具有許多差異：整數(shù)使用一個(gè)數(shù)符號(hào)來表示，而分?jǐn)?shù)符號(hào)包括兩個(gè)數(shù)符號(hào)和一個(gè)分?jǐn)?shù)線，看上去更像一個(gè)算式；判斷整數(shù)的大小可以采用計(jì)數(shù)的方式進(jìn)行，而分?jǐn)?shù)的大小卻是數(shù)不出來的；二者雖然運(yùn)算法則相同，但是整數(shù)的乘法運(yùn)算總可以使數(shù)字變得更大，除法運(yùn)算可以使數(shù)字變得更小，而分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算卻既可能使分?jǐn)?shù)更大，也可能使之更小[2，20].

由于整數(shù)概念與分?jǐn)?shù)概念在許多方面存在不同，因此有觀點(diǎn)認(rèn)為兒童已有的整數(shù)知識(shí)會(huì)阻礙其習(xí)得分?jǐn)?shù)知識(shí)（可簡(jiǎn)稱“阻礙觀”），從而出現(xiàn)“整數(shù)偏向”的現(xiàn)象[21～22].例如，在完成分?jǐn)?shù)大小比較任務(wù)中，學(xué)生會(huì)認(rèn)為，分子相同時(shí)，分母越大，分?jǐn)?shù)越大，這是因?yàn)閷W(xué)生不能理解分子和分母的關(guān)系，而把分?jǐn)?shù)看作兩個(gè)相互獨(dú)立的自然數(shù)[2]，從而采用整數(shù)的大小比較法則來處理分?jǐn)?shù)比較問題.

另有觀點(diǎn)認(rèn)為，“阻礙觀”可能過于強(qiáng)調(diào)了整數(shù)知識(shí)與分?jǐn)?shù)知識(shí)之間的差異對(duì)分?jǐn)?shù)知識(shí)建構(gòu)的影響，雖然整數(shù)與分?jǐn)?shù)概念存在諸多不同，但由于分?jǐn)?shù)能力并非整數(shù)能力的自然延伸，二者起源于不同的心理結(jié)構(gòu)，因此其發(fā)展完全可以并行不悖[24]（可稱“平行觀”）.該觀點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，“整數(shù)偏向”的出現(xiàn)可能是不當(dāng)?shù)慕逃胧┰斐傻?例如，數(shù)學(xué)教育過多強(qiáng)調(diào)整數(shù)計(jì)數(shù)能力的培養(yǎng)，這種教學(xué)阻礙了兒童靈活地理解“單位”概念[11].事實(shí)上，學(xué)生可以在學(xué)習(xí)整數(shù)的同時(shí)就開始學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，從而避免整數(shù)知識(shí)鞏固后對(duì)分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的不利影響[26].研究也表明，幼兒就可以具備解決分?jǐn)?shù)問題的能力，而且這種能力與解決整數(shù)問題的能力是平行發(fā)展的[25].

第三種觀點(diǎn)則認(rèn)為，雖然二者有些不同之處，但整數(shù)知識(shí)不但不會(huì)干擾分?jǐn)?shù)習(xí)得，甚至是分?jǐn)?shù)概念習(xí)得的基礎(chǔ)（可稱“促進(jìn)觀”）.一方面，從有理數(shù)的測(cè)量意義上看，整數(shù)與分?jǐn)?shù)概念并沒有太大差異，兒童可以在物理數(shù)字線任務(wù)中，以其整數(shù)知識(shí)為基礎(chǔ)建構(gòu)分?jǐn)?shù)概念[27].另一方面，整數(shù)知識(shí)，尤其是計(jì)數(shù)能力的發(fā)展，是兒童建構(gòu)分?jǐn)?shù)知識(shí)的基礎(chǔ).美國喬治亞大學(xué)Steffe教授提出了分?jǐn)?shù)概念發(fā)展的“再組織假設(shè)”（the reorganization hypothesis）[28].該理論認(rèn)為，分?jǐn)?shù)圖式的產(chǎn)生是整數(shù)圖式重新組織的結(jié)果.兒童運(yùn)用整數(shù)計(jì)數(shù)圖式解決分?jǐn)?shù)問題，是兒童獲得分?jǐn)?shù)圖式的基礎(chǔ).

總體來看，這3種觀點(diǎn)實(shí)則強(qiáng)調(diào)了整數(shù)和分?jǐn)?shù)間關(guān)系的不同側(cè)面.平行觀強(qiáng)調(diào)的是二者有獨(dú)立的建構(gòu)起點(diǎn)，整數(shù)來自于先天的感數(shù)系統(tǒng)和計(jì)數(shù)動(dòng)作，而分?jǐn)?shù)可能來自于相對(duì)量知覺和分割動(dòng)作.促進(jìn)觀強(qiáng)調(diào)的是整數(shù)和分?jǐn)?shù)在有理數(shù)概念下的統(tǒng)一性，二者都可以看作某個(gè)量包含了多少個(gè)測(cè)量單位，其大小都是對(duì)單位反復(fù)累加的結(jié)果，無非整數(shù)的測(cè)量單位是1，而分?jǐn)?shù)的測(cè)量單位是單位分?jǐn)?shù).阻礙觀強(qiáng)調(diào)的是整數(shù)和分?jǐn)?shù)間的矛盾性，由于二者在意義上具有一貫性，而在動(dòng)作和符號(hào)表征方式上卻具有很大差異，從而使得兒童從整數(shù)學(xué)習(xí)過渡到分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的過程中，出現(xiàn)了整數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)習(xí)得的阻礙.需要注意的是，這些觀點(diǎn)之間僅僅是各執(zhí)一詞，而未必是在邏輯上針鋒相對(duì).例如，“平行觀”強(qiáng)調(diào)整數(shù)和分?jǐn)?shù)各有獨(dú)立起源，但獨(dú)立起源并不意味著獨(dú)立發(fā)展.因此，“平行觀”并不能否定“促進(jìn)觀”或者“阻礙觀”，更為可能的情況是，這3種觀點(diǎn)可能表述了在分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的不同階段，整數(shù)概念和分?jǐn)?shù)概念間具有不同的關(guān)系.

3.3 數(shù)學(xué)符號(hào)的影響

分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)符號(hào)由兩個(gè)整數(shù)和一條分?jǐn)?shù)線構(gòu)成，例如“1/3”.作為一種人為創(chuàng)造的數(shù)學(xué)標(biāo)記，分?jǐn)?shù)符號(hào)是分?jǐn)?shù)概念的主要表征形式，并且在不同的問題情境下可以表示整分、測(cè)量、比、商、算子等不同含義[29].

從知識(shí)建構(gòu)的內(nèi)部過程來看，分?jǐn)?shù)符號(hào)是一種重要認(rèn)知工具.Gelman等人認(rèn)為，雖然語言能力和基本數(shù)能力在起源上相互獨(dú)立，但是在基本數(shù)能力的進(jìn)一步發(fā)展中，語言符號(hào)起到重要的促進(jìn)作用[30].對(duì)于分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)符號(hào)來說，其使用可能產(chǎn)生一些獨(dú)有的數(shù)學(xué)概念和加工過程，而在不使用這些數(shù)學(xué)符號(hào)的情況下，這些概念和加工過程是難以存在的[26].從這一點(diǎn)來看，分?jǐn)?shù)符號(hào)的使用應(yīng)該會(huì)促進(jìn)兒童分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu).

另一種觀點(diǎn)則認(rèn)為，分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)符號(hào)的獲得并不必然促進(jìn)，甚至可能阻礙分?jǐn)?shù)概念的理解.具體來說，由于分?jǐn)?shù)的符號(hào)里包含了兩個(gè)整數(shù)符號(hào)，而經(jīng)過系統(tǒng)的整數(shù)學(xué)習(xí)，兒童已經(jīng)將這些符號(hào)與整數(shù)緊密聯(lián)系在了一起.因此，當(dāng)分?jǐn)?shù)以數(shù)學(xué)符號(hào)的形式呈現(xiàn)時(shí)，兒童對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解很容易受到他們已經(jīng)習(xí)得的整數(shù)知識(shí)的影響，從而出現(xiàn)“整數(shù)偏向”現(xiàn)象[21].實(shí)證研究也表明，在兒童最初接觸分?jǐn)?shù)符號(hào)時(shí)，他們往往不能理解分子和分母的關(guān)系，而把分?jǐn)?shù)看作兩個(gè)相互獨(dú)立的整數(shù)[2].同時(shí)，當(dāng)分?jǐn)?shù)以數(shù)學(xué)符號(hào)的方式呈現(xiàn)時(shí)，低年級(jí)兒童對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解會(huì)產(chǎn)生困難，而當(dāng)分?jǐn)?shù)以圖形方式呈現(xiàn)時(shí)，3至7歲的幼兒都對(duì)分?jǐn)?shù)概念具有一定程度的理解，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算[25].

相對(duì)于圖形表征來說，分?jǐn)?shù)的符號(hào)表征畢竟具有明顯的優(yōu)勢(shì).它可以表示更廣泛?jiǎn)栴}情境中的兩個(gè)量的關(guān)系，并且可以通過數(shù)學(xué)法則對(duì)兩個(gè)量的相對(duì)大小進(jìn)行更精確的處理.例如，如果讓兒童比較99/100和98/99兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，則兒童可能很難通過圖形表征來完成這樣的任務(wù)，而通過符號(hào)表征和相應(yīng)的運(yùn)算法則，兒童就可以得到準(zhǔn)確答案.因此可以說，符號(hào)表征對(duì)于分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的阻礙作用，可能是一種在分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)過程中相對(duì)局部和暫時(shí)的現(xiàn)象.

總的來看，雖然以往研究者對(duì)分割計(jì)數(shù)動(dòng)作，整數(shù)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)以及分?jǐn)?shù)符號(hào)工具3個(gè)因素的作用進(jìn)行了爭(zhēng)論.但是3個(gè)爭(zhēng)論的核心，實(shí)際上依然是整數(shù)到底是促進(jìn)，還是阻礙分?jǐn)?shù).只是這種促進(jìn)或者阻礙，可能具體體現(xiàn)在分割計(jì)數(shù)動(dòng)作和分?jǐn)?shù)符號(hào)兩個(gè)影響途徑上.

4 未來研究的展望

分?jǐn)?shù)概念作為兒童小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難環(huán)節(jié)，引起了心理學(xué)者和數(shù)學(xué)教育研究者的普遍關(guān)注，激發(fā)了大量的研究.這些研究從知識(shí)建構(gòu)視角出發(fā)，分析了兒童對(duì)分?jǐn)?shù)概念的多種個(gè)體經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).不同研究者提出了各自的分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)理論，刻畫了兒童分?jǐn)?shù)概念的獲得過程和機(jī)制.同時(shí)，研究者在分割計(jì)數(shù)動(dòng)作、先前的整數(shù)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、以及分?jǐn)?shù)符號(hào)因素對(duì)分?jǐn)?shù)概念理解如何影響等問題上進(jìn)行了大量爭(zhēng)論.這些研究、理論與爭(zhēng)論提出了在該領(lǐng)域中一些亟待解決的，具有重要理論意義的研究問題.

第一，從起點(diǎn)上看，兒童在何種個(gè)體經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上獲得對(duì)于分?jǐn)?shù)“量”的認(rèn)識(shí).要說明這一問題，有必要首先在理論上將兒童對(duì)相對(duì)量的認(rèn)識(shí)區(qū)分為籠統(tǒng)認(rèn)識(shí)和精確認(rèn)識(shí)兩種能力.從分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)的視角來看，更應(yīng)關(guān)心的是兒童對(duì)于相對(duì)量的精確認(rèn)識(shí)能力是如何獲得的.這是因?yàn)?，分?jǐn)?shù)概念是幫助人類精確處理兩個(gè)量之間關(guān)系的有力數(shù)學(xué)工具，掌握這一數(shù)學(xué)工具的目的在于形成對(duì)相對(duì)量大小的精確認(rèn)識(shí)能力.因此，雖然早期的類比數(shù)量知覺表征能力可以為兒童提供某種對(duì)于相對(duì)量大小的籠統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，但是更為關(guān)鍵的是精確認(rèn)識(shí)是如何起源和發(fā)展的.兒童是在知覺表征能力基礎(chǔ)上形成精確認(rèn)識(shí)的，還是另起爐灶，基于分割計(jì)數(shù)操作發(fā)展起來對(duì)分?jǐn)?shù)量的精確認(rèn)識(shí).這些問題都值得進(jìn)一步的研究加以探討.

第二，從機(jī)制上看，在分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)中，對(duì)于已有經(jīng)驗(yàn)的反省抽象是如何發(fā)生的.在其后期，皮亞杰試圖用反省抽象來說明知識(shí)建構(gòu)的具體機(jī)制問題.所謂反省抽象，是指將不同的動(dòng)作或者運(yùn)算中的一致性抽離出來，形成一個(gè)新的圖式的過程，在反省抽象的多次作用下，早期發(fā)展階段上的操作序列可以逐漸地被建構(gòu)為一個(gè)形式運(yùn)算序列[32].然而，反省抽象這一概念是從功能或理論層次對(duì)知識(shí)建構(gòu)機(jī)制的描述，難以在實(shí)證研究中直接加以檢驗(yàn).Tzur的動(dòng)作—效果關(guān)系反省抽象理論的重要價(jià)值在于，在分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)這一特定領(lǐng)域中闡述了反省抽象的具體過程，為研究者采用實(shí)證方法探討反省抽象過程提供了可使用的理論工具.基于這一理論，可以進(jìn)一步從兒童對(duì)自身操作及其效果的記憶的儲(chǔ)存和提取特點(diǎn)，以及在記憶儲(chǔ)存過程中內(nèi)容的變化過程等方面，來探討知識(shí)建構(gòu)的反省抽象機(jī)制.

第三，從影響因素上看，“整數(shù)偏向”是否與數(shù)學(xué)符號(hào)工具的使用有關(guān).傳統(tǒng)的建構(gòu)主義理論大都強(qiáng)調(diào)了符號(hào)工具在知識(shí)建構(gòu)中的重要作用.但這些研究大都是從社會(huì)建構(gòu)的視角出發(fā)，關(guān)注的是社會(huì)合作和語言等因素在知識(shí)建構(gòu)中的作用，而少有實(shí)證研究從個(gè)體建構(gòu)的取向說明這種符號(hào)工具在新舊知識(shí)交互作用中是如何發(fā)揮影響的.對(duì)符號(hào)工具在整數(shù)偏向中的作用的研究，有助于探討這一問題.符號(hào)工具與個(gè)體經(jīng)驗(yàn)之間可能具有密切關(guān)系.具體來說，個(gè)體會(huì)基于過去經(jīng)驗(yàn)對(duì)符號(hào)形成一種自然理解，而這種自然理解與符號(hào)所表示的正式數(shù)學(xué)意義之間，是否差異很大，可能決定了這種符號(hào)形式對(duì)正式知識(shí)建構(gòu)的影響.從這種意義上說，符號(hào)對(duì)分?jǐn)?shù)建構(gòu)的影響，實(shí)質(zhì)上是兒童關(guān)于符號(hào)的原有知識(shí)對(duì)符號(hào)當(dāng)前所代表新知識(shí)的影響.在分?jǐn)?shù)知識(shí)建構(gòu)中，這些符號(hào)可能構(gòu)成了個(gè)體原有經(jīng)驗(yàn)影響新知識(shí)獲得的一種途徑，而如果沒有這種符號(hào)，相應(yīng)的影響就難以發(fā)生.

回答上述3個(gè)問題，實(shí)質(zhì)上是試圖說明個(gè)體經(jīng)驗(yàn)、符號(hào)工具和個(gè)人操作在具體的分?jǐn)?shù)建構(gòu)過程中的作用機(jī)制.雖然建構(gòu)主義作為一種重要的哲學(xué)認(rèn)識(shí)論，圍繞著新舊知識(shí)相互作用這一核心觀點(diǎn)探討了人類知識(shí)獲得過程，并對(duì)教育實(shí)踐產(chǎn)生了巨大影響，但是目前缺乏在某個(gè)具體知識(shí)領(lǐng)域中，從個(gè)體認(rèn)知發(fā)展的視角進(jìn)行的精細(xì)實(shí)證研究來具體說明知識(shí)的具體建構(gòu)機(jī)制，因此在許多問題上產(chǎn)生了不小的爭(zhēng)論.而上述研究思路則可以充實(shí)這一領(lǐng)域，為澄清這些爭(zhēng)論提供相應(yīng)的實(shí)證依據(jù).同時(shí)，也可以為分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)實(shí)踐提供研究參考.

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