黃曉賓，郭鋼

(南京理工大學，江蘇 南京 210094)

0 前言

機器人工作空間的大小是衡量機器人性能的重要指標［1］。文獻［2］、［3］對六自由度3-PRPS 并聯(lián)機器人的工作空間進行分析，但沒有考慮約束條件對工作空間的影響。本文結合該機器人的約束條件，采用Matlab 編程來確定并聯(lián)機器人的工作空間，并在此基礎上分析了上、下平臺不同尺寸之間的比值對工作空間的影響。

1 模型的建立

六自由度3-PRPS 并聯(lián)機器人機構簡圖如圖1 所示，該機機器人由上平臺B1B2B3、下平臺A1A2A3以及三個連桿L1L2L3組成。并聯(lián)機器人的上平臺(動平臺)與下平臺(定平臺)同為正三角形，三個連桿結構相同，每個連桿包括兩個移動副P、一個轉(zhuǎn)動副R 和一個球面副S。連桿與下平臺之間通過移動副P 與轉(zhuǎn)動副R 組成的復合鉸鏈相聯(lián)，與上平臺之間通過球面副S 相聯(lián)。取下平臺的形心為坐標原點，建立定坐標系o-xyz，z 軸垂直于定平臺向上，x垂直于A1A2，y 軸由右手坐標系法則決定。取上平臺的形心為坐標原點，建立動坐標系o-xyz，z 軸垂直于定平臺向上，x 軸沿oB1方向，y 軸由右手定則決定。

圖1 3-PRPS 機構簡圖

2 3-PRPS 并聯(lián)機器人反解

3-PRPS 并聯(lián)機器人反解是指已知上平臺的位置和姿態(tài)，求三個驅(qū)動桿長度和三個滑塊的位移。

令下平臺的內(nèi)切圓半徑為R，上平臺外接圓的半徑為r，連桿與下平臺聯(lián)結點為Pi，點Pi的位移為si，規(guī)定Pi點移動的正方向為圖1 表示的方向，驅(qū)動桿的長度為li，連桿與下平臺之間的夾角為αi。

動坐標系到定坐標系的齊次變換矩陣為:

其中:c 表示cos，s 表示sin。

式(1)可以簡記為:

則動坐標系中任意一點P'變換到定坐標系中的齊次坐標為:

Bi在定坐標系中的坐標為:

Ai(i=1，2，3)在定坐標系中的坐標為:

Pi(i=1，2，3)在定坐標系中的坐標為:

該機構在運動過程中，連桿始終垂直于定平臺的對應邊，即

把點Pi，Bi，Ai代入式(3)得:

3 工作空間分析

3.1 工作空間的影響因素

對3-PRPS 并聯(lián)機器人而言，工作空間主要由上、下平臺邊長、垂直桿桿長變化范圍、水平滑塊移動范圍、運動副轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動范圍決定。

垂直桿桿長變化范圍:垂直桿的長度介于最小值Limin與最大值Limax之間，即

運動副轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動范圍:球面副和轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)動范圍都是有限制的，運動副的轉(zhuǎn)角不應超出其允許轉(zhuǎn)動范圍，即

運動副轉(zhuǎn)角約束的范圍與實際制造有關系，本文設球面副的轉(zhuǎn)角范圍為30o，且球面副的安裝軸線與上平臺垂直，轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)角范圍為180o。

3.2 工作空間求解

并聯(lián)機器人工作空間分析的主要難點在于機器人位置和姿態(tài)具有強烈的耦合性。在實際應用中，主要是研究并聯(lián)機器人的定姿態(tài)工作空間［4］。定姿態(tài)工作空間是指在機器人上平臺的姿態(tài)保持一定時，上平臺上o 點所能達到的區(qū)域。由于文章篇幅的限制，只討論α=β=γ=0 這種情況下該機器人的工作空間。

3-PRPS 并聯(lián)機器人幾何尺寸為，R=100 mm，r=100 mm，l1，l2，l3的長度在100～150 mm 范圍內(nèi)變化。

根據(jù)給出的機器人幾何尺寸估算出其工作空間最大值不超出長、寬、高分別為300 mm，400 mm，150 mm 這樣一個立方體，采用逐點搜索的方法搜索機器人的工作空間。設x 方向的搜索范圍為［-150 mm，150 mm］，搜索步長Δx=2 mm，y 方向的搜索范圍為［－200 mm，200 mm］，搜索步長Δy=2 mm，z 方向的搜索范圍為［50 mm，200 mm］，搜索步長Δz=1 mm。這樣整個立方體就被分隔成許多體積為Δv=4 mm3的小立方體。對于每一個小立方體，只要滿足給定的姿態(tài)和所有的約束條件，則該小立方體就是機器人的一個工作子空間，這些工作子空間的集合就是該機器人的工作空間。

借助Matlab 軟件編寫程序，搜索得到機器人工作空間如圖2 所示。

圖2 α=β=γ 時，3-PRPS 機器人的工作空間

4 比值ρ 對工作空間的影響

工作空間的大小可以采用工作空間體積來衡量，工作空間體積表示為:

式中，N 為機器人工作子空間的數(shù)量。

設上平臺的外接圓半徑r 與下平臺的內(nèi)切圓半徑R的比值為ρ。當下平臺尺寸不變，即R 為100 mm 時，取不同的比值ρ 時，求出相應的工作空間體積，即可判斷ρ 對機器人工作空間的影響。

當ρ 以0.1 的間隔在0.5 到1.5 之間取值時，機器人工作空間體積如圖3 所示。由圖3 可知，工作空間體積隨著比值ρ 的增大，先增大后減小，當ρ=1 時，取最大值。

圖3 ρ-V 曲線

5 結論

本文對六自由度3-PRPS 并聯(lián)機器人進行了運動學反解分析，建立反解的數(shù)學模型。在定姿態(tài)α=β=γ=0 時對機器人進行工作空間分析，綜合考慮了約束條件和球鉸軸線與上平臺垂直安裝對機器人工作空間的影響，工作空間體積隨著比值ρ 的增大，先增大后減小，當取ρ 等于1時，機器人的工作空間最大。

［1］黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機構學［M］.北京:高等教育出社，2006.158-159.

［2］J.H.Shim，D.S.Kwon，H.S.Chot.Kinematic analysis and design of a six D.O.F.3-PRPS in-parallel manipulator［J］.Robotica，1999(17):269-281.

［3］王建平，彭凱.基于ADAMS 的一種新型六自由度并聯(lián)機構的參數(shù)分析與仿真［J］.機械傳動，2011，5(35):31-35.

［4］張克濤，方躍法.一種新型空間三自由度并聯(lián)機器人的運動學與工作空間分析［J］.自然科學進展，2008，4(18):432-440.