謝晶，陳寶鳳

（安陽工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，河南安陽 455000）

一類非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間輸出反饋鎮(zhèn)定問題

謝晶，陳寶鳳

（安陽工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，河南安陽 455000）

研究了一類連續(xù)非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題.基于有限時(shí)間穩(wěn)定的Lyapunov理論和“加冪積分器”的方法給出了一個(gè)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)步驟，解決了這類非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題.

非線性系統(tǒng)；有限時(shí)間鎮(zhèn)定；加冪積分器

自Peter Dorato于1961年提出了短時(shí)間穩(wěn)定性（Short Time Stability）[1]（即有限時(shí)間穩(wěn)定性）的概念以來，有限時(shí)間穩(wěn)定與鎮(zhèn)定問題受到了較大的關(guān)注，得到了廣泛的研究[2-10]，形成了有限時(shí)間穩(wěn)定的Lyapunov理論和各種設(shè)計(jì)有限時(shí)間穩(wěn)定控制器的方法.有限時(shí)間鎮(zhèn)定是指在有限時(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)控制到平衡點(diǎn).研究表明，有限時(shí)間收斂的系統(tǒng)具有更好的魯棒性能和抗干擾性能.

文獻(xiàn)[2]確立了有限時(shí)間穩(wěn)定的基礎(chǔ)理論，給出了一個(gè)連續(xù)自治系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性判定定理.文獻(xiàn)[3-4]基于齊次性理論，給出了雙重積分器系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和動(dòng)態(tài)輸出反饋的有限時(shí)間鎮(zhèn)定設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)[5-10]利用構(gòu)造性控制設(shè)計(jì)方法解決了幾類非線性系統(tǒng)的全局有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題.本文將文獻(xiàn)[5]的成果拓展到更一般的高階非線性系統(tǒng)，利用有限時(shí)間穩(wěn)定的Lyapunov理論和“加冪積分器”的方法構(gòu)造出了一個(gè)輸出反饋控制律，使得這類系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到全局穩(wěn)定.

1 問題的提出及預(yù)備知識

在本文中，考慮一類具有如下形式的非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間輸出反饋鎮(zhèn)定問題：

下面關(guān)于系統(tǒng)（1）做如下假設(shè)：

（2）取r如假設(shè)（1）所示，系統(tǒng)（1）滿足下式

我們的研究目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器

使得系統(tǒng)（1）-（2）是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的.

下面給出一些重要引理[11]：

引理1對于?xi∈R，y∈R，i=1,…,n，0＜b≤1，下列不等式成立：

引理2令c,d為正實(shí)數(shù)，γ(x,y)＞0是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，那么

2 控制器設(shè)計(jì)

這部分我們利用“加冪積分器”的方法[6]設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器.

由引理1和引理2得：

步驟3（歸納假設(shè)）：

假設(shè)在第k-1步，存在一個(gè)C1正定的，適定的Lyapunov函數(shù)Vk-1(x1,…,xk-1)，滿足

定義虛擬控制如下：

其中，β1(?)＞0,…,βk-1(?)＞0是C1函數(shù)，使得

下證在第k步中，不等式（7）和（8）也成立.

估計(jì)上式右端各項(xiàng).首先，由引理1和引理2得：

為了控制器的建立給出下面兩個(gè)命題[5]：

命題1對于k=1,…,n，存在C0函數(shù)(x1,…,xk)≥0，使得

命題2對于l=1,…,k-1，存在C1函數(shù)Ck,l(x1,…,xk)≥0，使得

利用命題1和引理2得

估計(jì)（9）式的最后一項(xiàng)，由命題2得：

將（10）-（12）式代入（9）式，得：

下面設(shè)計(jì)一個(gè)n-1維觀測器：

在這兒，li＞1(i=1,…,n-1)是有限增益，且

則存在一個(gè)常數(shù)k＞0，使得下式成立：

由Lyapunov穩(wěn)定判定定理得閉環(huán)系統(tǒng)（1）-（13）-（14）是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的.

[1]Dorato P.Short time stability in linear time-varying systems[C].New York:In Proceedings of the IRE International Convention Record Part 4,1961:83-87.

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[11]Beckenbach E,Bellman R.Inequalities[M].Berlin:Springer-Verlag,1971.

Output Feedback Finite Time Stabilization of a Class of Nonlinear Systems

XIE Jing,CHEN Bao-feng
（School of Mathematics and Physics，Anyang Institute of Technology，Anyang 455000,China）

The finite time stabilization is investigated for a class of nonlinear systems.An output feedback con?troller is designed by using the Lyapunov theory of finite time stability and adding a power integrator technique to solve the finite time stabilization problem of the nonlinear systems.

nonlinear systems；finite time stabilization；adding a power integrator

TP273

A

1008-2794（2013）04-0009-04

2013-03-29

謝晶，講師，碩士，研究方向：非線性系統(tǒng)，E-mail：xiejingay@126.com.