李昕，錢(qián)素平

（常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇常熟 215500）

控制不穩(wěn)定的離散混沌系統(tǒng)

李昕，錢(qián)素平

（常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇常熟 215500）

利用一種不需要任何調(diào)節(jié)參數(shù)的控制方法，對(duì)離散的Hénon-like系統(tǒng)進(jìn)行控制，將其穩(wěn)定在固定點(diǎn)處.最后給出數(shù)值模擬的控制效果.

離散Hénon-like系統(tǒng)；混沌控制；反饋控制

1 引言

一直以來(lái)，由于混沌系統(tǒng)及混沌現(xiàn)象的奇異和復(fù)雜性尚未為人們所徹底理解，人們一直認(rèn)為混沌系統(tǒng)不能被人為地控制和誘導(dǎo)，在實(shí)際中混沌是有害的，因而總是盡量避免混沌.但1990年美國(guó)馬里蘭州立大學(xué)的Ott，Grebogi和Yorke[1]三人提出了基于參數(shù)擾動(dòng)的控制方法，第一次實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的控制，這才真正引起人們重視.隨后，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了大量的混沌控制方法，并將其應(yīng)用到了實(shí)際的系統(tǒng)中.2009年Yang等人[2]提出了新的思想，即使附近沒(méi)有預(yù)先存在的穩(wěn)定流形，也可以穩(wěn)定不穩(wěn)定的混沌系統(tǒng).這個(gè)方法的優(yōu)越性在于，通過(guò)控制參數(shù)隨時(shí)間變化的調(diào)整，穩(wěn)定一個(gè)不穩(wěn)定的方向，并且參數(shù)的調(diào)整還可以?xún)?yōu)化.2001年Bu等人[3]提出了并不需要任何調(diào)節(jié)參數(shù)的控制方法，并得到了廣泛的應(yīng)用[4].在諸多學(xué)者成果[5-8]的基礎(chǔ)上，本文采用這一個(gè)新的、更有效的控制方法，將三維離散的Hénon-like系統(tǒng)[9]穩(wěn)定到固定點(diǎn)處，最后給出了數(shù)值模擬的結(jié)果.

考慮n維動(dòng)力系統(tǒng)

其中x∈Rn是n維向量，F(xiàn)是非線(xiàn)性向量函數(shù).設(shè)xf是映射（1）的固定點(diǎn).為了將混沌系統(tǒng)穩(wěn)定在這一固定點(diǎn)處，構(gòu)造如下變量反饋控制：

定義xk在xf的無(wú)窮小偏差δxk=xk-xf.利用系統(tǒng)（2）可得到

將方程（4）代入方程（3）消去δxk，并選擇Q=qI,q∈(-1,1)這一特殊形式，可得

利用這一方法，我們接下來(lái)將三維離散的Hénon-like系統(tǒng)[9]穩(wěn)定到固定點(diǎn)處.

2 控制三維離散Hénon-like混沌系統(tǒng)

考慮離散的Hénon-like系統(tǒng)

其中α,β是參數(shù).

不難求得系統(tǒng)有4個(gè)固定點(diǎn)：(-0.3994045033,0.9708330748,-0.07988090067), (0.6064282855,0.6064282855,0.1212856571),(0.9708330748,-0.3994045033,0.1941666150)，和(-1.177856857,-1.177856857,-0.2355713714).我們選擇第一個(gè)作為研究對(duì)象.接下來(lái)，利用上述方法，我們將不穩(wěn)定的離散系統(tǒng)穩(wěn)定在這一固定點(diǎn)處.在固定點(diǎn)(y1f,y2f,y3f)處Jacobian矩陣為

從方程（5）可得

其中(y1f,y2f,y3f)=(-0.3994045033,0.9708330748,-0.07988090067),α=1.4,β=0.2.分別取q=0.5,q=-0.5，相應(yīng)得

根據(jù)方程（2），將（9）代入到（6）可得：

3 數(shù)值模擬控制結(jié)果

首先我們給出控制前系統(tǒng)的軌跡圖形，如圖1所示.

通過(guò)新的控制方法，我們將系統(tǒng)的狀態(tài)變量(y1(k),y2(k),y3(k))穩(wěn)定在點(diǎn)(-0.3994045033,0.9708330748, -0.07988090067).下面將控制前后的軌跡圖形比較如下，如圖2、圖3、圖4所示.

最后，通過(guò)取不同的初始值，數(shù)值模擬出系統(tǒng)（10）的控制效果，如圖5所示.

圖1 Henon-like系統(tǒng)軌跡

圖2 控制前后y1(k)隨時(shí)間的軌跡圖

圖3 控制前后y2(k)隨時(shí)間的軌跡圖

圖4 （a）控制前后y3(k)隨時(shí)間的軌跡圖

從數(shù)值模擬圖5的結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，Henon-like系統(tǒng)的狀態(tài)變量(y1(k),y2(k),y3(k))迅速地穩(wěn)定在點(diǎn)(-0.3994045033,0.9708330748,-0.07988090067).

4 總結(jié)

利用新的控制方法，三維離散超混沌He?non-like系統(tǒng)被穩(wěn)定在固定點(diǎn)處.通過(guò)控制穩(wěn)定的過(guò)程，充分體現(xiàn)了這一控制方法既不需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行任何先驗(yàn)分析，也不需要事前調(diào)節(jié)任何控制參數(shù).數(shù)值模擬結(jié)果充分證明了控制方法的有效性.

圖5 控制后Henon-like系統(tǒng)軌跡

[1]Edward Ott,Celso Grebogi,James A.Controlling chaos[J].Phys Rev Lett,1990,64:1196-1119.

[2]Yang Ling,Liu Zengrong,Mao Jianmin.Controlling Hyperchaos[J].Phys Rev Lett,2000,84:67-70.

[3]Bu Shouliang,Wang Shaoqing,Ye Hengqiang.Stabilizing unstable discrete systems[J].Phys Rev E,2001,64:046209.

[4]Li Xin,Chen Yong.Stabilizing of Two-Dimensional Discrete Lorenz Chaotic System and Three-Dimensional Discrete Rrossler Hyperchaotic System[J].Chin Phys Lett,2009,26:090503.

[5]Yan Zhenya.Chaos Q-S synchronization between R?ssler system and the new unified chaotic system[J].Phys Lett A,2005,334: 406-412.

[6]Chen Yong,Li Xin.Function Projective Synchronization between two identical chaotic Systems[J].International Journal of Modern Physics C,2007,18(5):883-888.

[7]Lü Jinhu,Chen Guanrong,Chen Daizhan.A new chaotic system and beyond:the generalized Lorenz-like system[J].Int J Bifur Chaos,2004,12:1507-1537.

[8]Li Xin,Chen Yong,Li Zhibin.Function Projective Synchronization of Discrete-Time Chaotic Systems[J].Z Naturforsch,2008,63a: 7-14.

[9]Yan Zhenya.Q-S(complete or anticipated)synchronization backstepping scheme in a class of discrete-time chaotic(hyperchaotic) systems:A symbolic-numeric computation approach[J].Chaos,2006,16:013119.

Controlling Unstable Discrete Chaotic System

LI Xin,QIAN Su-ping
(School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

Recently,a new control method has been constructed,which does not need any adjustable parame?ters.Using this new discovery,three-dimensional discrete Henon-like system is researched to be stabled at the fixed point.Finally,the controlling.effectiveness of the numerical simulations is given.

Discrete Henon-like system;chaos control;feedback control

O175

A

1008-2794（2013）04-0005-04

2013-04-26

國(guó)家自然科學(xué)專(zhuān)項(xiàng)基金“若干非線(xiàn)性耦合系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性和敏感性研究”（11141003）

錢(qián)素平，教授，博士，研究方向：非線(xiàn)性方程，E-mail：qsp@cslg.edu.cn.