朱文濤 蘇 濤 楊 濤 鄭紀彬 朱凱然

（西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室，陜西 西安710071）

引 言

調(diào)頻連續(xù)波（Frequency Modulated Continuous Wave，F(xiàn)MCW）雷達由于結(jié)構(gòu)簡單、體積小、距離分辨率高、無距離盲區(qū)、成本低、低功耗和低截獲等優(yōu)點，在軍用導航、戰(zhàn)場偵察與地面成像等領(lǐng)域得到越來越廣泛的應(yīng)用［1］.鋸齒波線性調(diào)頻連續(xù)波（Sawtooth Linear FMCW，SLFMCW）信號和對稱三角線性調(diào)頻連續(xù)波（Symmetrical Triangular Linear FMCW，STLFMCW）信號是FMCW 雷達常采用的兩種信號形式，因其易實現(xiàn)大的時寬帶寬積，也是眾多低截獲概率（Low Probability of Intercept，LPI）雷達首選的信號形式.然而，當雷達綜合多種LPI措施發(fā)射該信號進行偵察時，對非協(xié)作性的電子偵察而言，實現(xiàn)低信噪比條件下信號檢測和參數(shù)估計存在較大的挑戰(zhàn)和困難，因此快速有效地實現(xiàn)長時間積累是實現(xiàn)信號偵察的必要手段.文獻［2］利用高階統(tǒng)計量對噪聲不敏感的優(yōu)點，結(jié)合濾波器組取得了較好效果，文獻［3］在文獻［2］基礎(chǔ)上進行了改進，減小了計算量，但是濾波器組設(shè)計和選擇限制了該兩種方法參數(shù)估計的性能.文獻［4］利用線積分Wigner-Hough變換進行STLFMCW信號特征提取，然而該算法受交叉項的干擾且需要依次估計每段線性調(diào)頻（Linear Frequency Modulated，LFM）信號的參數(shù)才能實現(xiàn)信號參數(shù)的估計，計算十分耗時.文獻［5］提出了聯(lián)合Radon-Ambiguity變換和分數(shù)階傅里葉變換（Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT）的信號檢測與參數(shù)估計算法，與Wigner-Hough變換相比，把2維搜索降低為1維搜索，降低了參數(shù)估計運算量，得到較好的參數(shù)估計結(jié)果.但由于SLFMCW信號的Wigner-Ville分布和Ambiguity變換為周期函數(shù)，文獻［4-5］通過簡單的Radon變換或Hough變換只能利用一個周期的能量，基于此，文獻［6］提出一種基于周期Wigner-Hough變換的SLFMCW信號檢測和參數(shù)估計算法，然而該算法需要對所有參數(shù)進行全局搜索，計算量非常龐大，不適合實際應(yīng)用.為了避免雙線性變換帶來的交叉項干擾，文獻［7］提出了一種基于短時傅里葉變換的SLFMCW信號參數(shù)估計方法，然而該算法受短時傅里葉變換分辨率及信號諧波分量的影響.文獻［8］利用FRFT的線性性質(zhì)并結(jié)合聚類分析實現(xiàn)了兩個整周期STLFMCW信號的檢測與估計，然而該方法僅有效利用了一個周期信號的能量并且沒有考慮起始時間、時延和樣本長度對參數(shù)估計的影響，適應(yīng)性較差.文獻［9］提出了一種基于Chirplet變換的稀疏檢測算法，但該算法系數(shù)的迭代選擇方法和龐大的計算量限制了其實際應(yīng)用.

針對上述問題，基于LFMCW信號的周期性和分段相干性，提出了一種聯(lián)合幀間相關(guān)法和循環(huán)平穩(wěn)法的線性調(diào)頻連續(xù)波信號參數(shù)估計算法.該方法可有效地估計信號的周期、調(diào)頻率、起始頻率和起始時間，不受設(shè)計參數(shù)的限制，并且可實現(xiàn)長時間積累，可在較低的信噪比下對信號進行有效的檢測和參數(shù)估計，其運算復雜度低，利于工程實現(xiàn).

1 理論分析

1.1 LFMCW信號模型

為了方便說明，以SLFMCW信號作為信號模型.SLFMCW信號由一個線性調(diào)頻信號周期延拓而成，其時頻分布如圖1中粗虛線所示，用z（t）表示，其第m個周期表示為

圖1 SLFMCW信號的時頻分布

式中：A為信號幅度；f0為起始頻率；μ＝B／T為調(diào)頻率，B為調(diào)制帶寬，T為調(diào)制周期；θ0為隨機初相.實際中，雷達偵察接收機不能保證截獲LFMCW信號的起始時間為0，其時頻分布如圖1粗實線所示，用z′（t）表示，其第m個周期表示為

式中：θ′0為截獲信號的初相；mod（t，T）表示t對T取余運算；τm為起始時間；Tobs為觀測時間.由圖1可知，z′m（t）由Am的一部分和Am＋1的一部分組成，其中Am可以具體表示為

假設(shè)接收機實際接收到的雷達信號模型為

式中：z′（t）由式（2）決定；w（t）是均值為0，方差為σ2的高斯白噪聲，信號的輸入信噪比為RSN，in＝A2／σ2.

由式（2）可知，接收機截獲信號的起始時間τm是隨機的，該隨機性對多數(shù)已有算法的檢測和參數(shù)估計性能會產(chǎn)生一些影響，主要表現(xiàn)為兩個方面：第一，τm改變信號Wigner-Hough變換或Radon-Ambiguity變換的尖峰幅度或位置；第二，τm改變信號FRFT的尖峰幅度和位置.由于信號的相位參數(shù)可由上述尖峰幅度和位置得到，那么尖峰位置和幅度的變化會導致參數(shù)估計性能下降，甚至估計不準確.另外，大多數(shù)算法受設(shè)計參數(shù)的限制并且沒有充分利用LFMCW信號的周期性，其中，一些算法［8］由于只利用一個周期信號的能量，不能實現(xiàn)長時間積累，其性能受到限制；而另一些算法［2-7，9］雖然可實現(xiàn)長時間積累，但由于噪聲、設(shè)計參數(shù)和龐大計算量也限制了其性能和實際應(yīng)用.因此，設(shè)計一個計算復雜度低、對起始時間τm不敏感、不受設(shè)計參數(shù)限制且可實現(xiàn)長時間積累的方法是LFMCW信號檢測與參數(shù)估計的重點之一.

1.2 LFMCW信號的檢測與參數(shù)估計

1.2.1 變窗長相干平均法提高信噪比增益

由圖1可知，接收信號r（t）長度為Tobs，將r（t）以窗長T0分成一組并行序列，構(gòu)成一個矩陣A為

式中：A為M×T0階矩陣示下取整運算；（i-1）T0≤ti≤iT0；T表示轉(zhuǎn)置.將A按行向量求平均可得

當且僅當T0＝kT時（k＝1，2，…），信號z′（ti）是完全相干的，默認取k＝1，則式（6）變?yōu)?/p>

此時，信號的功率為A2，輸出信噪比為

由此可以看出：當T0＝T時，經(jīng)過相干平均后信噪比提高了M倍；同理，當T0≠T時，由于z′（ti）之間不完全相干，輸出信噪比增益小于M.

1.2.2 幀間相關(guān)法估計LFMCW信號周期

由式（5）可知，將r（t）以窗長T0分成一組并行序列，可構(gòu)成一個M×T0矩陣A.假設(shè)信號的周期T已知，令矩陣A為1幀，則該幀是周期的，該幀周期k1滿足

式中：k1與k2均取整數(shù)，且k2的取值要保證k1是最小的正整數(shù).

為了便于分析，假設(shè)A包含m（m為偶數(shù)）個周期，則M＝mk1且M為偶數(shù).將A的行向量按照奇偶分成兩組序列，分別構(gòu)成矩陣Aodd和Aeven，且有

式中：Aodd為M／2×T0階奇數(shù)幀矩陣；Aeven為M／2×T0階偶數(shù)幀矩陣.分別對Aodd和Aeven進行式（6）處理，得到兩個長度為T0的序列rodd（t′）和reven（t′）.對rodd（t′）和reven（t′）進行相關(guān)處理，有

當k1＝k2＝1時，T0＝T，將Aodd和Aeven分別看作一個集合，則Aodd和Aeven中期望信號的交集為，由此可得，zodd（t′）和zeven（t′）的相關(guān)結(jié)果zoe（t′）為零頻信號，其零頻分量的幅度為A2T.考慮噪聲的影響，由式（6）可知，rodd（t′）和reven（t′）的信噪比分別提高了M／2倍，且對應(yīng)的噪聲是互不相關(guān)的，因此，roe（t′）為信噪比較高的零頻信號.

同理，當k1＞1且k1為偶數(shù)時，Aodd和Aeven的交集為空集，則zodd（t′）和zeven（t′）的相關(guān)結(jié)果zoe（t′）沒有零頻信號.噪聲的影響同上.

當k1＞1且k1為奇數(shù)時，Aodd和Aeven的交集為Aodd或Aeven，則zodd（t′）和zeven（t′）分別為k1個幅度為A／k1的序列相加的結(jié)果，因此，zodd（t′）和zeven（t′）的相關(guān)結(jié)果zoe（t′）包含零頻信號和非零頻信號，其零頻分量的幅度為（1／k1）·A2T0，噪聲的影響同上.需要說明的是，當k1＞1且k1為奇數(shù)時零頻分量的幅度對k1＝1時的幅度影響較小，其比值為

零頻分量只需簡單的求和運算即可實現(xiàn).

將接收信號按照具有一定搜索范圍的窗長T0分成奇數(shù)幀和偶數(shù)幀，對奇數(shù)幀和偶數(shù)幀進行相干平均處理，將處理的結(jié)果進行相關(guān)處理得到roe（t′），對roe（t′）進行求和運算即可完成信號的檢測和周期的精確估計，稱該方法為幀間相關(guān)法.該方法只需要簡單的復乘和復加，計算量較小，并且可以實現(xiàn)并行處理，可進一步減小運算時間.

1.2.3 基于循環(huán)平穩(wěn)法的相位參數(shù)估計

循環(huán)平穩(wěn)法在保證較低計算復雜度的條件下可快速實現(xiàn)信號的檢測和調(diào)頻率的估計［11］，在實際中常采用

計算信號的循環(huán)自相關(guān).式中：ξ（t）為待處理的信號；TL為信號長度；τ為延遲時間.若式（13）的結(jié)果超過了非模糊區(qū)間（0，fs］，則α會出現(xiàn)模糊，可通過簡單的模糊數(shù)搜索解決，實際的α′＝α＋kαfs，kα為模糊次數(shù)，fs為采樣率.

幀間相關(guān)法可得到周期的精確估計，即T0＝T，則將式（7）代入式（13）中，并取期望有

式中：c1＝A2ej2π（f0τ＋μτmτ＋μτ2／2）（c′1＋c″1e-j2πμTτ），c′1和c″1為頻點μτ對應(yīng)的有效長度，c′1＝T-τm-τ，c′2為頻點μ（τ-T）對應(yīng)的有效長度，c′2＝τ.對于高斯白噪聲，若τ≠0，（τ）＝0，則（τ）在循環(huán)頻率上分布比較均勻，沒有明顯突起的峰；信號在頻點μτ或μ（τ-T）處有突起的尖峰，因此，通過檢測尖峰可實現(xiàn)信號的檢測.

當τm改變時，式（14）變?yōu)?/p>

式中d1和d2同c1和c2.由式（14）和（15）可知：τm的變化只改變了頻點的幅度，而沒有改變頻點.τ值已知時，由尖峰對應(yīng)的頻點可以估計調(diào)頻率μ.因此，給定合適的τ值，利用循環(huán)自相關(guān)法可實現(xiàn)調(diào)頻率的估計.

圖2 本文算法信號處理流程圖

2 實驗結(jié)果分析

LFMCW信號仿真參數(shù)：子脈沖數(shù)為40，調(diào)制帶寬為400MHz，周期為1μs，載頻為120MHz，采樣頻率為640MHz，起始時間為0.25μs.

2.1 計算量分析

幀間相關(guān)法有效地減小了處理信號的長度，從而大大降低了計算量.已知接收信號的長度為Tobs，對于窗長T0，幀間相關(guān)法只需要（M-1）T0次復加和T0次復乘，令則完成周期估計約需要NT（M-1）T0次復加和NTT0次復乘，其中，NT＝Tend-Tbegin；對T點信號進行循環(huán)自相關(guān)處理，其中快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）的運算點數(shù)為T1，該處理需要T＋T1／2·l b（T1）次復乘和T1l b（T1）次復加，因此，完成周期和調(diào)頻率估計約需要的復加和復乘次數(shù)分別為NT（M-1）T0＋T1l b（T1）和NTT0＋T＋T1／2·l b（T1）.目前常用算法的計算量都大于本文算法（文獻［7］除外），具體的計算量比較如表1所示. 表中：Nα為分數(shù)階傅里葉變換旋轉(zhuǎn)角度的個數(shù)；L為子帶個數(shù)；Q為子帶長度，P為大于Q的整數(shù)且為2的整數(shù)次冪；Nradon為Radon變換的復加次數(shù)為短時傅里葉變換的窗長，γ為相鄰兩個窗在時域上的重疊率，TSTFT為大于Tstft的整數(shù)且為2的整數(shù)次冪，為大于Nstft的整數(shù)且為2的整數(shù)次冪；WVD表示W(wǎng)igner-Ville分布.

表1 常用算法計算量比較

2.2 仿真實驗

實驗1 在信噪比為-15dB條件下給出了參數(shù)估計的仿真結(jié)果圖，如圖3～6所示.圖3為周期估計的仿真結(jié)果，該圖為幀間相關(guān)處理后的結(jié)果，根據(jù)圖中尖峰的位置和T0的搜索起點可精確估計周期，仿真試驗中，T0的起點為100，峰值位置為541，周期的估計則為640，該值就是信號的周期在給定采樣率下對應(yīng)的點數(shù).圖4為調(diào)頻率估計的仿真結(jié)果圖，該圖為循環(huán)自相關(guān)處理的結(jié)果，由圖中尖峰對應(yīng)的頻率和給定的延遲時間τ，可以得到調(diào)頻率的估計.圖5為起始時間估計的仿真結(jié)果圖，該圖給出了一條峰值變化曲線，根據(jù)該曲線的最小值可以得到起始時間的估計.圖6為起始頻率的仿真結(jié)果圖，由于消除了起始時間的影響，圖中尖峰對應(yīng)的頻率即為起始頻率的有效估計.

圖3 周期估計的仿真結(jié)果圖

實驗2 利用均方根誤差ERMS曲線驗證算法的性能，并與文獻［3，5，7-8］進行比較.利用Monte Carlo法，信噪比從-20dB開始，以1dB為步長遞增至0dB，每個信噪比條件下模擬200次.均方根誤差定義為其中Nr為Monte Carlo實驗的次數(shù)，為第r次Monte Carlo實驗中參數(shù)p的估計值.循環(huán)自相關(guān)運算采用FFT快速算法，通過插值使得FFT運算點數(shù)為1 024.圖7～10分別給出了調(diào)頻率、周期、起始時間和起始頻率的均方根誤差比較圖，其中文獻［3，5，7-8］沒有估計起始時間，并且文獻［5，8］由于沒有考慮起始時間的影響，其起始頻率對應(yīng)的均方根誤差較大，并且隨著起始時間的改變而變化，文獻［8］不用估計起始時間也可對起始頻率進行估計，但是由于受時頻分布曲線的影響，在信噪比小于-8 dB時誤差很大，如圖10所示.本文方法由于采用相干積累實現(xiàn)信號的長時間積累，并降低了起始時間導致的負面影響，可以在較低信噪比條件下對信號參數(shù)進行有效的估計.由圖7～10可以看出：本文所提方法在周期個數(shù)為40且信噪比為-16dB時仍能有效地估計信號參數(shù)，證明了較優(yōu)的抗噪聲性能.

圖4 調(diào)頻率估計的仿真結(jié)果圖

圖5 起始時間估計的仿真結(jié)果圖

圖6 起始頻率估計的仿真結(jié)果圖

圖7 調(diào)頻率估計的均方根誤差

圖8 周期估計的均方根誤差

圖9 起始時間估計的均方根誤差

實驗3 不同周期個數(shù)時本文算法的檢測性能比較.圖11給出了周期個數(shù)分別為1、10、20、40、80、120、160、200、240、280、320、360、400條件下本文算法的最低可檢測信噪比曲線，這里最低可檢測信噪比定義為：在N次Monte Carlo實驗中，本文算法中幀間相關(guān)法可正確檢測到尖峰的概率大于等于95%的最低信噪比.由圖11可以看出，本文算法的檢測性能隨著周期個數(shù)的增加而提高.

圖10 起始頻率估計的均方根誤差

圖11 不同周期個數(shù)條件下的性能比較

3 結(jié) 論

利用LFMCW信號的周期性及每個周期的循環(huán)自相關(guān)結(jié)果對起始時間不敏感的特性，提出了一種LFMCW信號的參數(shù)估計方法.首先利用幀間相關(guān)法實現(xiàn)信號的檢測和周期的精確估計，然后利用循環(huán)平穩(wěn)法完成信號相位參數(shù)的估計.由于采用長時間積累，該方法可在較低信噪比條件下對信號的周期、調(diào)頻率、起始時間和起始頻率進行有效估計，并且其計算復雜度低，利于工程實現(xiàn).

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