國 巍，余志武，王永泉

（1.中南大學 土木工程學院，長沙410075；2.高速鐵路建造技術(shù)國家工程實驗室，長沙410004；3.河海大學 水利水電學院，南京210098）

近幾年來，隨著我國經(jīng)濟發(fā)展和工業(yè)化進程推進，土木建筑行業(yè)進入飛速發(fā)展階段，一方面是建筑物主結(jié)構(gòu)（primary system）體型日趨大型化和復雜化，另一方面建筑物內(nèi)部附屬儀器設(shè)備、管道系統(tǒng)等子結(jié)構(gòu)（secondary system）日趨增多，成為實現(xiàn)建筑物功能的重要組成部分，與建筑物主結(jié)構(gòu)共同構(gòu)成主 子 結(jié) 構(gòu) 體 系 （primary－secondary systems）。1989年美國加州Loma Pirta地震、1995年日本神戶地震和1999年臺灣集集地震等歷次地震的經(jīng)驗早已證明：傳統(tǒng)抗震設(shè)計方法難以保障建筑物內(nèi)部子結(jié)構(gòu)不發(fā)生損壞或仍能保持正常功能。網(wǎng)絡(luò)控制中心、核電站、醫(yī)院和大型商場等建筑物內(nèi)部子結(jié)構(gòu)的地震損壞所造成的損失遠大于建筑物主結(jié)構(gòu)引發(fā)的損失。Tagghai等［1］指出在商業(yè)建筑中子結(jié)構(gòu)通常占總造價的65%～85%。一條普遍適用的規(guī)律是：現(xiàn)代化和工業(yè)化程度越高則子結(jié)構(gòu)損壞所引發(fā)損失在總損失中占據(jù)的比例也越大。因此，土木工程抗震設(shè)計不僅要關(guān)注建筑物主結(jié)構(gòu)，同時還要對儀器設(shè)備、管道系統(tǒng)等子結(jié)構(gòu)進行抗震性能評估和合理設(shè)計，這也是當前世界范圍內(nèi)普遍推行和發(fā)展的基于性能抗震設(shè)計理念的重要內(nèi)容。

主 子結(jié)構(gòu)體系地震響應(yīng)的早期研究主要集中于20世紀80、90年代歐美國家核電和化工等工業(yè)領(lǐng)域，許多國際知名學者做出了卓有成效的研究成果，并引領(lǐng)著該領(lǐng)域的發(fā)展。進入21世紀，研究更側(cè)重于建筑物進入彈塑性狀態(tài)時子結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)，較具代表性的為 Villaverde［2］、Politopoulos等［3］和Sankaranarayanan等［4］的研究工作。相比而言，中國此方面研究則較少，李杰等［5］、秦權(quán)等［6］最早進行了相關(guān)方面的較具代表性的數(shù)值和試驗研究。曾奔等［7］研究了隔震結(jié)構(gòu)的樓板反應(yīng)譜計算方法。李忠獻等［8］結(jié)合大亞灣核電站實際工程進行了反應(yīng)堆廠房樓板反應(yīng)譜分析和評估。國巍等［9］闡述了考慮多維地震和平扭耦聯(lián)效應(yīng)的樓層反應(yīng)譜特征。黃金連［10］指出非結(jié)構(gòu)構(gòu)件抗震性能現(xiàn)有評價指標的不足并加以改進。綜合前人研究可知，相比單點支撐儀器設(shè)備等子結(jié)構(gòu)而言，管道系統(tǒng)承受空間耦合力作用，地震響應(yīng)更為復雜，計算方法以Afura和Kiureghian所提出的互 互樓層譜方法［11］（Cross－Oscillator Cross－Floor Response Spectrum，CCFS）為人們所普遍接受。然而，互 互樓層譜方法是基于位移輸入模型所推導，決定了其無法計算管道系統(tǒng)支撐附近自由度相對位移，這點類似于大跨結(jié)構(gòu)地震分析的多點反應(yīng)譜方法［12］。如果試圖利用管道系統(tǒng)與建筑物之間連接單元的精細劃分來克服此缺陷，則會因位移模型固有問題［13］導致底部單元內(nèi)力計算上的顯著誤差且計算量大幅增加。

在前人研究成果的基礎(chǔ)上，本文依據(jù)虛擬激勵法推導并修正了互 互樓層譜方法的基本理論，建立了建筑物中管道系統(tǒng)地震響應(yīng)求解的反應(yīng)譜統(tǒng)一計算公式，克服了互 互樓層譜方法的缺陷，可以實現(xiàn)管道系統(tǒng)支撐附近自由度的相對位移求解，最后通過數(shù)值算例驗證了本文方法的有效性，并解釋闡述了其應(yīng)用范圍。采用本文所提出和改進的反應(yīng)譜方法，可以計算建筑物內(nèi)管道系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)層面的地震響應(yīng)，進而可依據(jù)結(jié)構(gòu)計算結(jié)果實現(xiàn)管道系統(tǒng)在構(gòu)件層面的設(shè)計和評估，如管道材質(zhì)選取、截面和構(gòu)造細節(jié)設(shè)計等。利用本文方法，通過對大量多種工況的系統(tǒng)深入研究，可對建筑物內(nèi)管道系統(tǒng)抗震設(shè)計提出普適性的指導建議，這正是本文所提出和改進方法的重要價值和意義所在。

1 理論推導

建立建筑物上多點支撐管道系統(tǒng)的一般模型，如圖1所示。假定建筑物有nS個自由度，管道系統(tǒng)有nP個自由度，建筑物與管道系統(tǒng)相連的自由度數(shù)為ns，即管道系統(tǒng)存在ns個支撐，將建筑物上此ns個自由度分別歸于建筑物主結(jié)構(gòu)和管道系統(tǒng)，并以剛臂連接。

圖1 地震激勵下建筑物上多點支撐管道系統(tǒng)模型示意圖

依據(jù)圖1中自由度分區(qū)，定義建筑物主結(jié)構(gòu)的絕對位移響應(yīng)為U ＝ ［Us，］T，其中Us和分別為建筑物中剛臂連接和非連接自由度響應(yīng)，類似定義管道系統(tǒng)的絕對位移響應(yīng)為u＝ ［us，］T，其中us和分別為管道系統(tǒng)中剛臂連接和非連接自由度響應(yīng)，易知Us＝us。單向地震加速度激勵下建筑物主結(jié)構(gòu)和管道系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)動力平衡方程可分別寫為：

其中：M、C和K分別為建筑物的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；E為位移影響向量，表征地面單位靜位移時建筑物上各自由度位移；m、c和k分別為管道系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；cc和kc分別為管道系統(tǒng)與建筑物的耦合阻尼和剛度矩陣；ms、cs和ks為剛臂連接自由度的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；力向量f表征建筑物與管道系統(tǒng)之間的相互作用。利用式（1b）可得到對應(yīng)管道系統(tǒng)自由度的動力平衡方程：

其中，Us是建筑物上支撐處各自由度位移；式（2）中忽略交叉阻尼－cc，正是基于多點激勵位移輸入模型，當?shù)撞繂卧痪殑澐只虿徊捎酶粽鹪O(shè)計時，式（2）結(jié)果足夠精確［12］。

1.1 管道系統(tǒng)隨機響應(yīng)

管道系統(tǒng)屬于位移敏感型子結(jié)構(gòu)，建立管道系統(tǒng)各自由度相對位移表達式具有實際意義。定義管道系統(tǒng)的圓頻率ωi、阻尼比ζi和模態(tài)φi＝［φ1i，φ2i，…，］T，i＝1，2，…，n，計算中一般?。ā躊nP）階模態(tài)即可。令建筑物主結(jié)構(gòu)上支撐自由度響應(yīng)為Us＝ ［Us1，Us2，…，Usn］T，即存在ns個支撐點

s并對應(yīng)建筑物上s1，s2，…，sns自由度，自功率譜為基于林家浩提出的虛擬激勵法［14］，構(gòu)造ns個虛擬響應(yīng)：

管道系統(tǒng)第z（1≤z≤nP）個自由度絕對位移響應(yīng)可寫為如下形式：

其中，mi＝mφi，頻率響應(yīng)函數(shù)hi（ω）＝（－ω2＋為矩陣kc的第k列向量，為向量為k個元素。為簡化上述表達式，定則式（4）可改寫為：

其中，ez為管道系統(tǒng)位移影響向量e的第z個元素；位移影響向量e表征建筑底部發(fā)生單位靜位移時管道系統(tǒng)的位移。同時，由于上式可進一步寫為：

其中，azi、bik為上文定義系數(shù)，ik為ik體系中虛擬振子對于地面的相對位移，為管道系統(tǒng)第z個自由度對于地面的相對位移。

1）管道系統(tǒng)內(nèi)部自由度

管道系統(tǒng)內(nèi)部自由度之間相對位移以及與其有關(guān)的反應(yīng)量Rs（In），如內(nèi)力等，可以由位移向量?v求得：

對上式兩邊積分可得到反應(yīng)量Rs（In）均方值的表達式為：

2）管道系統(tǒng)支撐處自由度

繼而，令管道系統(tǒng)ns個支撐點附近自由度的位移響應(yīng)表達式為p2，…，pns≤nP，則管道系統(tǒng)第o（1≤o≤ns）個支撐附近自由度相對建筑物位移可寫為：

其中，qo為幾何、材料常系數(shù)管道系統(tǒng)第o個支撐附近自由度的反應(yīng)量Rs功率譜可寫為：

1.2 虛擬結(jié)構(gòu)體系隨機響應(yīng)

由上文推導可見，建筑物上管道系統(tǒng)地震響應(yīng)求解需采用式（11）和式（16），二者均需求解虛擬ik、jl體系和建筑物第so個自由度的響應(yīng)。

1）ik和jl結(jié)構(gòu)體系

ik和jl結(jié)構(gòu)體系由建筑物和一個虛擬振子所組成，虛擬振子依據(jù)質(zhì)量、頻率、阻尼比和位置來確定。本文基于近似方法求解ik結(jié)構(gòu)體系的隨機虛擬響應(yīng)。首先，考慮主子結(jié)構(gòu)之間的動力耦合效應(yīng)，確定虛擬振子質(zhì)量。定義建筑物主結(jié)構(gòu)頻率為Ωi′，阻尼比 為 Zi′，模態(tài)為 Φi′＝ ［Φ1i′，Φ2i′，…，ΦnSi′］T，1≤i′≤nS，計算中一般?。ā躰S）階模態(tài)即可。Igusa和Kiureghian［15］給出了當子結(jié)構(gòu)第i階頻率與主結(jié)構(gòu)第i′階頻率完全調(diào)諧時，主結(jié)構(gòu)第i′階頻率偏移的計算公式，并以此確定建筑物第sk個自由度上虛擬振子質(zhì)量mik表達式［11］，如下：

其次，考慮建筑物主結(jié)構(gòu)與虛擬振子所構(gòu)成體系的非比例阻尼特征，得到此虛擬體系的動力特征參數(shù)。定義建筑物上第sk個自由度上存在質(zhì)量mik、頻率ωi和阻尼比ζi的虛擬振子，此體系為ik體系。定義參數(shù)如下：

其中，Mx＝MΦx。進一步，可得到建筑物主結(jié)構(gòu)和虛擬振子所構(gòu)成結(jié)構(gòu)的＋1）模態(tài)表達式，如下：

當建筑物主結(jié)構(gòu)第i′階與虛擬振子頻率接近時，即Ωi′≈ωi時，體系第i′階模態(tài)向量為：

ik結(jié)構(gòu)體系各階頻率可寫為如下形式：

為了解釋非比例阻尼特征，認為當建筑物頻率與虛擬振子頻率非調(diào)諧時當建筑物頻率與虛擬振子頻率調(diào)諧或接近調(diào)諧時，即Ωi′≈ωi時，采用下式定義：

由以上所給公式可得知ik和jl結(jié)構(gòu)體系的動力特征參數(shù)，進一步可得到地震激勵下結(jié)構(gòu)虛擬隨機響應(yīng)′ik和′jl：

從而可計算ik和jl結(jié)構(gòu)體系中虛擬振子的響應(yīng)功率譜，如下：

式（24）兩邊積分可得如下表達：

2）無管道建筑物結(jié)構(gòu)

本文此處考慮到建筑物上管道系統(tǒng)質(zhì)量往往較輕，當小于建筑物質(zhì)量的1%時，即便存在某階頻率的調(diào)諧共振，建筑物所受影響也相對較小，此時可近似忽略管道系統(tǒng)對建筑物的影響。建筑物主結(jié)構(gòu)第o個支撐處自由度的隨機虛擬響應(yīng)可寫為：

從而可計算ik結(jié)構(gòu)體系虛擬振子與無管道建筑物的響應(yīng)功率譜，如下：

其中，ηx（ηy）為無管道建筑物第x（y）階模態(tài)自由度的隨機響應(yīng)均方值。利用式（16）和（28）可計算管道系統(tǒng)支撐附近自由度相對位移隨機響應(yīng)，這點是互－互樓板譜方法所無法實現(xiàn)的。

1.3 反應(yīng)譜組合公式

如上文推導所示，建立了管道系統(tǒng)內(nèi)部自由度和支撐附近自由度的隨機響應(yīng)均方值表達式，即式（11）、式（16）、式（25）和式（28）。假定不同隨機過程的極限因子均相同，依據(jù)所推導的隨機響應(yīng)公式，則管道系統(tǒng)Rs（In）和Rs反應(yīng)譜計算公式為：

至此，建立起了管道系統(tǒng)基于地面反應(yīng)譜的完整且統(tǒng)一的計算公式，即（29a，b），并且給出了式中相關(guān)系數(shù)的簡化計算方法，即式（31a～c）。所建立的反應(yīng)譜計算公式對管道內(nèi)部自由度和支撐附近自由度分別推導，修正和完善了互 互樓層譜方法，主要體現(xiàn)在其不僅可求解管道系統(tǒng)內(nèi)部自由度，同樣可以準確求解支撐附近自由度的相對位移，這點是傳統(tǒng)互 互樓層譜方法所無法做到的。同時，對于主 子結(jié)構(gòu)體系的動力耦合效應(yīng)，推導中根據(jù)實際情況有所區(qū)別的靈活對待。首先考慮到建筑物管道系統(tǒng)質(zhì)量往往較輕，不論頻率調(diào)諧共振與否，建筑物所受影響都較小，為減小計算量采用無管道建筑結(jié)構(gòu)響應(yīng)來參與計算，而對于計算中所構(gòu)造虛擬振子計算中則采用攝動法考慮動力耦合和非比例阻尼。需要說明的是，所提方法和傳統(tǒng)互 互樓板譜方法均需要進行6次連加∑運算，計算量遠遠大于反應(yīng)譜分析的CQC方法。如僅從計算效率考慮，此時采用虛擬激勵法進行隨機運算，往往更具計算優(yōu)勢［16］，在某些情況下虛擬激勵法已可取代反應(yīng)譜方法。然而，鑒于隨機振動理論掌握起來較為困難且往往難以說明非平穩(wěn)地震響應(yīng)特征，當前土木工程抗震設(shè)計中仍然主要采用設(shè)計反應(yīng)譜方法，本文所提出的方法具有重要的工程實際意義。

2 數(shù)值算例

建立由建筑物與管道系統(tǒng)所組成的主 子結(jié)構(gòu)體系模型，如圖2所示。地震激勵采用El－centro和Taft地震波，并依據(jù)7度抗震設(shè)防小震調(diào)整其加速度峰值至0.35m／s2，圖3給出了El－centro和Taft地震波調(diào)幅后時程曲線和對應(yīng)反應(yīng)譜曲線。圖2所示建筑物主結(jié)構(gòu)參數(shù)為：各層質(zhì)量均為mS＝1×105kg，各層間剛度均為kS＝2×104kN／m，阻尼則定義為Rayleigh阻尼，其前兩階模態(tài)阻尼比為0.05。由于是進行方法驗證，且關(guān)注建筑物中管道系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)層面的地震響應(yīng)，這里直接給出管道系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度、阻尼等結(jié)構(gòu)動力參數(shù)，而并不具體到管道細部，如材料和截面等。子結(jié)構(gòu)質(zhì)量從小到大，相應(yīng)參數(shù)取值為：各質(zhì)點質(zhì)量均為mP＝αmS，其中α＝［0.000 1，0.001，0.01，0.05］，對應(yīng)各種不同質(zhì)量工況。管道系統(tǒng)各連接剛度均為kP＝βmP，其中β＝［32.22，80，160］，β決定了管道系統(tǒng)的頻率特征，當β＝32.22時主子結(jié)構(gòu)基頻完全一致，體現(xiàn)調(diào)諧共振，當β＝［80，160］時主子結(jié)構(gòu)體現(xiàn)非調(diào)諧。定義支撐處固定的管道系統(tǒng)前兩階模態(tài)阻尼比為0.02。

圖2 地震激勵下建筑物 管道系統(tǒng)示意圖

圖3 El－centro和Taft地霸記錄的時程和反應(yīng)譜

圖4 El－centro和Taft地震激勵下管道系統(tǒng)相對位移響應(yīng)基于耦合和解耦方法求解結(jié)果對比

首先分別采用耦合和解耦方法計算在不同質(zhì)量情況下管道系統(tǒng)地震時程響應(yīng)，并進行對比研究。取管道系統(tǒng)系統(tǒng)的1～5質(zhì)點之間相對位移及1，3，4質(zhì)點相對于所支撐樓層的位移為研究對象，定義指標：DP＝［d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7］＝［質(zhì)點1－樓層1，質(zhì)點2－質(zhì)點1，質(zhì)點3－質(zhì)點2，質(zhì)點3－樓層3，質(zhì)點4－質(zhì)點3，質(zhì)點5－質(zhì)點4，質(zhì)點5－樓層5］。繪制在不同質(zhì)量比、不同頻率情況、不同求解方法和不同地震輸入下各指標變化情況，結(jié)果繪于圖4。從圖4中可以看到，當管道系統(tǒng)質(zhì)量較小時，解耦處理是可行的，其精度接近耦合計算結(jié)果，體現(xiàn)在圖4中為mP＜0.001 mS時解耦與耦合曲線幾乎重合。當mP＝0.01 mS時，頻率調(diào)諧時的解耦計算精度下降，會得到較為保守結(jié)果，但并不過于保守，當頻率非調(diào)諧時解耦計算精度仍然較好，這是規(guī)范規(guī)定當子結(jié)構(gòu)質(zhì)量小于主結(jié)構(gòu)1%時可采取解耦運算的主要原因。而當mP＝0.05 mS時，不論頻率調(diào)諧與否，解耦計算結(jié)果誤差都較為明顯，特別當調(diào)諧時解耦計算結(jié)果誤差非常限制，甚至達到100%以上，此時解耦運算會導致過于保守的計算結(jié)果。因此可認為動力耦合對管道系統(tǒng)影響明顯，在本文推導中也采用近似方法考慮了主子結(jié)構(gòu)之間的動力耦合。

圖5 El－centro和Taft地震激勵下建筑物樓層5基于解耦方法計算結(jié)果誤差

繼而，研究不同質(zhì)量比情況下采用解耦方法計算建筑物主結(jié)構(gòu)響應(yīng)的誤差，鑒于管道系統(tǒng)與建筑物基頻調(diào)諧影響較大，可取建筑物樓層5相對地面位移為研究對象，并定義誤差為i＝1，…，nP，其中ui，c和ui，d分別為耦合計算、解耦計算所得管道系統(tǒng)第i自由度相對位移。圖5給出了隨著質(zhì)量比mP／mS變化解耦運算結(jié)果的誤差曲線，可以看到當mP／mS較小時不論頻率調(diào)諧與否解耦方法的誤差都很小，此時計算建筑物結(jié)構(gòu)響應(yīng)可不考慮管道系統(tǒng)動力反饋影響，這正是本文推導中采用無管道建筑物主結(jié)構(gòu)響應(yīng)的根據(jù)。

采用本文所建立管道系統(tǒng)反應(yīng)譜方法計算管道系統(tǒng)各自由度相對位移響應(yīng)DP，即式（29），管道系統(tǒng)頻率kP＝80 mP，對比時程計算結(jié)果，地震動同樣采用El－centro和Taft地震波。圖6給出了計算結(jié)果對比曲線，可以看到不論是管道系統(tǒng)內(nèi)自由度還是支撐附近自由度，采用本文方法都可以計算，并以時程計算結(jié)果為精確解作為對比，可以看到本文方法具備一定精度。然而類似于反應(yīng)譜CQC方法，本文方法同樣具有存在小范圍誤差，一方面是由于地震白噪聲隨機輸入假定，另一方面是由管道系統(tǒng)頻率分布特征所致。此外還可看到，小質(zhì)量情況下管道系統(tǒng)質(zhì)量比變化對計算結(jié)果準確性影響不大。

圖6 本文方法與耦合計算方法的計算結(jié)果對比

為詳細研究本文所提方法（包括互 互樓層譜方法）的計算準確度，質(zhì)量特征采用mS＝ ［0.001，0.01］mP，以研究質(zhì)量影響；同時變動管道系統(tǒng)的頻率特征參數(shù)β，以研究不同頻率分布影響，鑒于管道設(shè)計中往往避免與建筑物主結(jié)構(gòu)基頻調(diào)諧共振，此處取kP／mP＝β＝［80，160］；地震波采用El－centro和Taft地震波，以研究白噪聲假定可行性。所研究的誤差指標選取其中ui，c和ui，p分別為耦合計算、本文方法計算所得管道系統(tǒng)第i自由度相對位移。圖7給出了依據(jù)本文方法在管道系統(tǒng)不同質(zhì)量、不同頻率分布和不同地震激勵的計算結(jié)果的誤差情況?？梢钥吹剑诓煌念l率分布下本文方法（包括互 互樓層譜方法）計算結(jié)果存在不同的誤差分析，且可能誤差會較大，這主要是由于前文推導中建立虛擬振子體系時采用了管道系統(tǒng)各頻率不密集分布的假定，這在實際中可能并不滿足，此時基于本文公式所得結(jié)果精度也隨之下降；在不同地震激勵下，誤差同樣區(qū)別明顯，這說明白噪聲假定會引入一定誤差，為得到更為精確結(jié)果則需采用更合適的隨機模型來計算相關(guān)系數(shù)；不同質(zhì)量比，對本文方法誤差影響較小。

圖7 基于本文所提方法計算管道系統(tǒng)位移指標響應(yīng)結(jié)果在不同工況下的誤差

3 結(jié) 論

通過理論推導指出了前人所提出的互 互樓板反應(yīng)譜方法存在一定缺陷，其難以準確計算多點支撐管道系統(tǒng)與建筑物連接處自由度的相對位移響應(yīng)，進而對理論基礎(chǔ)加以改進并重新推導建立了多點支撐管道系統(tǒng)反應(yīng)譜統(tǒng)一計算公式。通過本文研究可得到以下結(jié)論：

1）所提方法完善了互 互樓層譜方法，是互互樓層譜方法更為全面的表達形式，二者建立的理論體系相同，精度相同。

2）本文方法適用于建筑物中管道系統(tǒng)響應(yīng)求解，在管道系統(tǒng)質(zhì)量較輕、頻率分布松散情況下會具有較為良好的精度。

3）地震激勵不同同樣會影響本文方法以及互互樓層譜方法的計算精度，為得到更精確結(jié)果，需要重新計算實際隨機地震模型下的相關(guān)系數(shù)。

4）本文方法實現(xiàn)了管道系統(tǒng)基于規(guī)范地震影響系數(shù)的簡單反應(yīng)譜組合運算，便于實際工程應(yīng)用，同時基于結(jié)構(gòu)層面的反應(yīng)譜計算結(jié)果可推至構(gòu)件層面內(nèi)力特征，繼而開展管道材料、截面、構(gòu)造措施等抗震設(shè)計和評估。

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