梁瑞喜

摘要討論了一類具有時滯的Rayleigh型微分方程在脈沖擾動下周期解的存在性.通過將所考慮問題轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的算子方程，得到了解的先驗估計，然后利用Mawhin重合度理論，在脈沖項是有界的條件下，得到了該微分方程至少存在一個周期解.所得結(jié)果即使對相應(yīng)的非脈沖Rayleigh型方程也是新的.

關(guān)鍵詞Rayleigh型方程；重合度；周期解；脈沖時滯

中圖分類號O17512 文獻標識碼A 文章編號10002537（2012）05000108

Rayleigh型方程x″（t）+f（x′（t））+g（x（t-τ（t）））=p（t）=p（t+T）因具有廣泛的應(yīng)用背景，人們對其周期解的存在性問題一直懷著強烈的興趣，現(xiàn)已有大量的研究結(jié)果［18］.但具有時滯的脈沖Rayleigh型方程在這方面的研究較少見.本文利用拓撲度理論證明了如下脈沖Rayleigh型方程

x″（t）+f（x′（t））+g（x（t-τ（t）））=p（t），t≠ti，

Δx（ti）=Ii（x（ti），x′（ti）），

Δx′（ti）=Ji（x（ti），x′（ti）），

（1）

至少存在一個周期解，其中g(shù)，p，τ，Ii，Ji分別關(guān)于各自的變元在R上連續(xù)，且p（t），τ（t）皆為T周期的函數(shù)，并且f（0）=0和∫T0p（s）ds=0；Δx（ti）=x（t+i）-x（t-i），x（t-i），x（t+i）分別表示x（t）在t=ti處的左右極限，且x（t-i）=x（ti）；Δx′（ti）=x′（t+i）-x′（t-i），x′（t-i），x′（t+i）分別表示x（t）在t=ti處的左右導(dǎo)數(shù)，且x′（t-i）=x′（ti）；ti＜ti+1，且limi→±∞ti=±∞，i∈Z；存在正整數(shù)q使得ti+q=ti+T，Ii+q（x，x′）=Ii（x，x′），Ji+q（x，x′）=Ji（x，x′），設(shè)0＜t1＜t2＜…＜tk＜T.

為了方便，以下記Ii（x（ti），x′（ti））為Ii，Ji（x（ti），x′（ti））為Ji.

設(shè)X={x（t）∈PC′（R，R），x（t+T）=x（t）}，Y=PC（R，R）×Rk×Rk，其中PC（R，R）={x：R→R在t≠ti處連續(xù)，x（t+i），x（t-i）存在，且x（t-i）=x（ti），i∈Z}，PC′（R，R）={x∈PC（R，R）在t≠ti處連續(xù)可微，x′（t+i），x′（t-i）存在，x′（t-i）=x′（ti），i∈Z}.對一切x∈X，定義其范數(shù)為‖x‖X=max{x∞，x′∞}，其中x∞=supt∈［0，T］x（t），x′∞=supt∈［0，T］x′（t），對一切u=（y，c）∈Y，定義其范數(shù)‖u‖Y=max{y∞，c}，其中c=（c1，…，c2k），c=max1≤i≤2k{ci}，則X，Y在所定義的范數(shù)下成為Banach空間.相關(guān)脈沖理論文獻請參考［9～13］.

本文將使用Mawhin連續(xù)定理［6］建立方程（1）周期解的存在性結(jié)果，對非脈沖Rayleigh型方程也是［7］的推廣和改進.

參考文獻：

［1］SERRAE.Periodicsolutionsforsomenonlineardifferentialequationsofneutraltype［J］.NonlinearAnal：TMA，1991，17（2）：139151.

［2］LUSP，GEWG.Periodicsolutionstoneutraldifferentialequationwithdeviatingargument［J］.ApplMathComput，2004，152（1）：1727.

［3］LIJW，CHENGSS.Periodicsolutionsofasecondorderforcedsublineardifferentialequationwithdelay［J］.ApplMathLett，2005，18（12）：13731380.

［4］LUSP，GEWG，ZHENGZX.PeriodicsolutionsforakindofRayleighequationwithadeviatingargument［J］.ApplMathLett，2004，17（4）：443449.

［5］魯世平，葛渭高，鄭祖麻.具偏差變元的Rayleigh方程周期解問題［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，2004，47（2）：299304.

［6］GAINESRE，MAWHINJ.Coincidencedegreeandnonlineardifferentialequation，LectureNotesinMath［M］.NewYork：SpringerVerlag，1977.

［7］WANGGG，CHENGSS.AprioriboundsforperiodicsoutionsofadelayRayleighequation［J］.ApplMathLett，1999，12（3）：4144.

［8］LUSP，GEWG.SomenewresultsontheexistenceofperiodicsolutionstoakindofRayleighequationwithadeviatingargument［J］.NonlinearAnal：TMA，2004，56（4）：501514.

［9］LAKSHMIKANTHAMV，BAINOVDD.Theoryofimpusivedifferentialequations［M］.Singapore：WorldScientific，1989.

［10］SAMOILENKLAM，PERESTYUKNA.Impulsivedifferentialequations［M］.Singapore：WorldScientific，1995.

［11］NIETOJJ.Periodicboundaryvalueproblemsforfirstorderimpulsiveordinarydifferentialequations［J］.NonlinearAnal：TMA，2002，51（2）：12231232.

［12］DINGW，HANM，Periodicboundaryvalueproblemsforthesecondorderimpulsivefunctioanldifferentialequations［J］.ComputMathAppl，2005，50（3）：491507.

［13］王莉.一類脈沖周期邊值問題多個正解的存在性［J］.湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2011，34（1）：1922.