關(guān)柏林

在解分式方程時(shí)，要在方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，所化成的整式方程與原方程并不一定是同解方程，整式方程的解就會(huì)出現(xiàn)兩種情況：一是整式方程無解，導(dǎo)致原分式方程無解；二是整式方程有解，但是不適合原分式方程，即產(chǎn)生增根。所以說，分式方程無解不一定有增根，而有增根必?zé)o解，弄清了這兩點(diǎn)，我們?cè)谇蠼庥嘘P(guān)分式方程增根的問題時(shí)，就會(huì)輕松一些。下面僅就幾個(gè)典型的例題來進(jìn)一步理解分式方程增根的問題。

例1：求分式方程■=0的解。

解：方程兩邊同時(shí)乘以X后，化成整式方程得X=0，我們可以發(fā)現(xiàn)，此整式方程無解，當(dāng)然原分式方程無解。這里要注意的是原分式方程無增根，即分式方程■=0的解的情況是無解且無增根。

提示：此分式方程是最簡(jiǎn)單的分式方程，但它可以很好地說明分式方程無解不一定有增根。教學(xué)時(shí)可強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，讓學(xué)生深刻理解并記住這一例題。

例2：求分式方程■=■=的解。

解：方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母x2-1后得x+1=2，解得x=1，此時(shí)x=1是整式方程的解。但x=1使最簡(jiǎn)公分母為零，所以原方程無解，即分式方程■=■=的解的情況是無解有增根。

提示：這道例題是一個(gè)最為普遍的分式方程增根的問題，也最好理解，它是由于方程有增根從而導(dǎo)致原分式方程無解的問題，是我們教學(xué)中經(jīng)常遇到的問題，教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)。

例3：若關(guān)于X的分式方程-■-■=1無解，求a值。

解：方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母x（x-1）化成整式方程為（a+2）x=3，第一種情況：當(dāng)a=-2時(shí)，使整式方程無解導(dǎo)致分式方程無解，但無增根；第二種情況：把x=0與x=1可能是方程增根的兩個(gè)x值代入，求a值。當(dāng)x=0時(shí)，a無解。說明不存在這樣的a值。使原分式方程的增根為x=0，當(dāng)x=1時(shí)，能得a=1。此時(shí)，存在這樣的a值使原方程的增根為x=1，按題意要求使原分式方程無解的a值有兩個(gè)即a=1或a=-2。

提示：方程中參數(shù)a對(duì)方程的解起著決定性的作用，討論a的值時(shí)要分清情況，尤其要注意使最簡(jiǎn)公分母為0的x的值并不一定都是原方程的增根，由以上分析可看出當(dāng)x=0時(shí)不存在這樣的 a 值使原分式方程的增根為x=0。

例4：求使分式方程■-1=■有增根的m值。

解：方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母（x-1）（x+2）化成整式方程為x+2=m，即：x=m-2，當(dāng)x=-2或x=1時(shí)，都會(huì)使最簡(jiǎn)公分母為0，使原分式方程無解，從而我們可求出m=0或m=3。當(dāng)m=0時(shí)，原方程為■-1=0，此方程根的情況是無解，但無增根；而當(dāng)m=3時(shí)，原方程為■-1=■，此方程無解但有增根。綜上所述，正確的答案是m=3。

提示：這是一道中考題，解題者往往忽略分式方程無解時(shí)并不一定有增根，只是簡(jiǎn)單地代入使最簡(jiǎn)公分母為0的值x=-2和x=1從而求出m=0和m=3，這樣就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，原因就是使最簡(jiǎn)公分母為0的值并不都是方程的增根，有的使整式方程無解，都不是原分式方程的增根。

例5：若關(guān)于x的分式方程■=2的解為正數(shù)，則m的取值范圍是 A m﹥-1 B m ≠1 C m﹥1且 m≠ -1 D m﹥-1 且 m≠1。

解：方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母（x-1）化成整式方程為（m-1）=2（x-1），解得x的值是x=■，因?yàn)榇朔匠讨械慕鉃檎龜?shù)即x=■﹥0，但此時(shí) x的值不能為1，當(dāng) x =1時(shí)此方程無解，不符合題意要求，所以求出的取值范圍為 m﹥1且 m≠ -1。

提示：解題者往往只關(guān)注解為正數(shù)，而忽略當(dāng)m﹥1時(shí)存在使原方程無解，但此時(shí) m=1只是使其無解，并不產(chǎn)生增根，在教學(xué)時(shí)要注意語(yǔ)言的準(zhǔn)確性和規(guī)范性。

例6：若關(guān)于x的分式方程■=1的解為整數(shù)，則整數(shù) a 的值為多少？

解：方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母（x=2）化為整式方程為 ax=x+2， 從中把x用含有a 的代數(shù)式來表示為x=■，因?yàn)閤 為整數(shù)，a為整數(shù)，所以我們可以看出能被2整除的整數(shù)位+1、-1、+2、-2四個(gè)整數(shù)，但要考慮使方程無解時(shí)即a-1=±1、a-1=±2 的 a 值，在這種情況下我們可以求出符合條件的a 的值有三個(gè)，即a=2，a=3與a=-1。

提示：學(xué)生在求解此題時(shí)有兩個(gè)難點(diǎn)，一是不會(huì)把 x用含 a的式子表示出來，然后根據(jù)正整數(shù)解討論，二是忽略使原分式方程產(chǎn)生增根的a 的值，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。

由上述幾道例題我們不難發(fā)現(xiàn)，在解有關(guān)含有參數(shù)的分式方程的增根問題時(shí)，首先要明確題目要求是無解還是有增根，然后再根據(jù)具體問法慎重解決此類問題。一般可以按照三步進(jìn)行求解，第一步：先把方式方程化為整式方程，第二步：代入使最簡(jiǎn)公分母為0的x 的值，從而求出參數(shù)的值，當(dāng)參數(shù)字母在 x的系數(shù)位置時(shí)，還要考慮使整式方程無解時(shí)的值，第三步：把求出的參數(shù)字母的值再返回代入原方程中看一看究竟是使原分式方程無解還是產(chǎn)生增根，再根據(jù)問法寫出正確結(jié)果。

（責(zé)任編輯 付淑霞）