◆胡清六

1 引言

現(xiàn)今，精彩的數(shù)學(xué)活動包括：對單位的意義、讀法、寫法的顯示與應(yīng)用；位置值、單位值概念的確立、顯示與應(yīng)用；組成單位、基本單位、主單位的確認(rèn)，顯示與應(yīng)用；數(shù)碼、數(shù)字、數(shù)量、比值的分辨與應(yīng)用。它揭示自然數(shù)、10進(jìn)制數(shù)、2進(jìn)制數(shù)、4進(jìn)制數(shù)、8進(jìn)制數(shù)、16進(jìn)制數(shù)、32進(jìn)制數(shù)、64進(jìn)制數(shù)，不同進(jìn)制數(shù)并存、各顯本能，爭為社會發(fā)展、科技進(jìn)步加力。

2 小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材現(xiàn)代化之體現(xiàn)

2.1 課程定位

以自然數(shù)為基礎(chǔ)，傳承人類精粹的數(shù)學(xué)思想、方法；以10進(jìn)制數(shù)為主導(dǎo)，真實地反映人類生活，密切數(shù)學(xué)與人類的關(guān)系；以2進(jìn)制數(shù)為發(fā)展方向，揭示數(shù)學(xué)與社會進(jìn)步、科技發(fā)展的關(guān)系，為此奠基。

2.2 重心移位

計算的準(zhǔn)確、快速，在數(shù)學(xué)教學(xué)中一直占有重要分量。近代算盤曾是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要教具；很多電視廣告大力宣傳的“一分鐘速算”，也同樣不代表教改的方向，它因微型計算器普及與使用而暗淡。反之，數(shù)理、算理的掌握與顯示的過程與應(yīng)用，是時代的呼喚，體現(xiàn)了教改的方向。

2.3 理論創(chuàng)新、科學(xué)發(fā)展

數(shù)學(xué)就是用單位的組合體去顯示和描述客觀世界的存在，并逐步抽象概括、形成方法和理論，并廣泛應(yīng)用的過程。單位、即標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量，用數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)事實）顯示其意義，用1顯示其存在，用其標(biāo)識（名稱、符號、單位值……）表達(dá)，并稱單位顯示的三要素，如：1 cm。數(shù)字是對單位組合體的抽象，顯示單位的個數(shù)。數(shù)字的意義不同，可分為自然數(shù)、10進(jìn)制數(shù)、2進(jìn)制數(shù)等。數(shù)字的意義不同，顯示數(shù)量的組成結(jié)構(gòu)不同，其寫法、算法也不同。數(shù)字是用數(shù)碼或數(shù)碼的有順組合顯示的，如顯示自然數(shù)的數(shù)碼共10個，因地域不同而寫法有異，如1（一）、2（二）、3（三）、4（四）、5（五）、6（六）、7（七）、8（八）、9（九）、0（零）。數(shù)量用數(shù)字與單位的名稱組合顯示，表示某種量的多少，即哪個單位的個數(shù)。數(shù)量分為單名數(shù)或復(fù)名數(shù)，單名數(shù)是對相同單位組合體的描述，復(fù)名數(shù)是對不同單位組合體的描述。將復(fù)名數(shù)簡寫成單名數(shù)（用主單位的名稱表示的數(shù)量），用各組成單位分別與主單位的關(guān)系顯示，認(rèn)識整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)。比值的顯示或整數(shù)或小數(shù)或分?jǐn)?shù)形式，它顯示兩個數(shù)量的關(guān)系，它以兩個數(shù)量的存在而存在。數(shù)字與數(shù)量、單名數(shù)與比值的顯示雷同，不能簡單地以名數(shù)、不名數(shù)去區(qū)分，而要從意義、用法的不同去分辨。概念的教學(xué)是體現(xiàn)素質(zhì)教育的重要手段。

1）自然數(shù)的寫法與位置值的顯示。自然數(shù)是對相同單位組合體的抽象，顯示某單位的個數(shù)。只用到一個單位自然數(shù)的寫法不涉及數(shù)位、數(shù)位順序、位數(shù)的概念。如何用1、2、3、4、5、6、7、8、9與0或它們的有序組合，顯示無限個不同的自然數(shù)的數(shù)字？涉及一個重要的數(shù)學(xué)概念——位置值。位置值由法國著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749—1827）提出，指出：數(shù)碼在不同位置有不同的位置值，如：1（一）、10（十）、100（百）、1000（千）……顯示數(shù)碼1在不同位置有不同位置值一、十、百、千……得到位置順序……千百十一；依據(jù)位置順序，用同一位置數(shù)碼的不同與同一數(shù)碼位置的不同顯示各不同的自然數(shù)。在自然數(shù)中，只有自然數(shù)1是對單位的抽象，其余均為這一單位的不同個數(shù)。用自然數(shù)表示數(shù)量的多少，教材中稱為整數(shù)。

2）2進(jìn)制數(shù)的寫法與單位值的顯示。2進(jìn)制數(shù)是對不同單位組合體的抽象，顯示單位不同的個數(shù)。自然數(shù)與2進(jìn)制數(shù)為龍鳳雙胞胎，前者相同單位的個數(shù)可以無限，后者單位不同的個數(shù)可以無限，它們都能顯示同一個數(shù)量的多少。如何用1與0兩個數(shù)碼，顯示一個數(shù)量所用不同單位的個數(shù)？涉及一個重要的數(shù)學(xué)概念——單位值。將一個單位不同的組合體抽象為一個數(shù)字，不同單位如何顯示？這就涉及數(shù)位，數(shù)位順序、位數(shù)的顯示法。單位值的概念也就應(yīng)運(yùn)而生。如一物的長度剛好為8 cm、4 cm、2 cm、1 cm四段不同長度之和，顯示其物長度的數(shù)字，用自然數(shù)顯示是15，用2進(jìn)數(shù)顯示是1111；15指一個單位（1 cm）的個數(shù)（8+4+2+1），1111指4個不同長度單位的合并（1+1+1+1）。如何顯示1111這四個單位的不同？只能從單位顯示的三要素入手，最小單位的標(biāo)識是“cm”，其余3個不同單位給予不同的標(biāo)識無法解決，8、4、2、1可作為單位值標(biāo)注單位的不同，用它們顯示數(shù)位、數(shù)位順序，既容易造成混亂，更不可持續(xù)。若將8、4、2、1改用23、22、21、20顯示，其數(shù)位順序顯示為……23222120；用它顯示這一長度的組成單位不同，一目了然。

單位值確定用冪顯示，并作為單位的標(biāo)識。這一創(chuàng)新，標(biāo)志數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的重大突破，用它可顯示……N3N2N1N0；得到N進(jìn)制數(shù)的寫法；顯示數(shù)與式的聯(lián)系，如（321）N=3N2+2N+1；當(dāng)位置值與單位值相等時，N進(jìn)制數(shù)與自然數(shù)可相互改寫，如15=（1111）2，（）2為2進(jìn)制符號。單位值概念的確立、顯示方式的確認(rèn)，能定量刻畫結(jié)構(gòu)多變的單位組合體，揭示20世紀(jì)中葉后數(shù)學(xué)自身的發(fā)展發(fā)生的巨大變化。

3）10進(jìn)制數(shù)與人類生活的顯示。數(shù)學(xué)來源于人類生活，又必須反映生活。國際標(biāo)準(zhǔn)單位普遍為10進(jìn)單位。因此，用10進(jìn)制不同單位的組合體顯示數(shù)量，是當(dāng)今社會最常見的顯示方式。用單位值顯示十進(jìn)制為……103102101100，因量的類別不同，顯示10進(jìn)可分類為…元角分…、…米分厘毫…等，其排列均顯示數(shù)位順序。用10進(jìn)制不同單位組合體顯示的數(shù)量，用不同單位的名稱顯示10進(jìn)制，數(shù)位、數(shù)位順序、位數(shù)顯示一目了然。用數(shù)碼1、2、3、4、5、6、7、8、9或0顯示不同各單位各自的有限個數(shù)，就能真切地顯示和描述人類生活中的數(shù)量，密切數(shù)學(xué)與人類的關(guān)系。

2.4 小學(xué)數(shù)學(xué)課程現(xiàn)代化的標(biāo)志

1）以10進(jìn)數(shù)為主導(dǎo)，其主導(dǎo)地位的確立，是因為數(shù)量的顯示方式普遍是不同10進(jìn)單位的組合體。只有10進(jìn)才能用不同單位的名稱排列顯示；用單位的名稱排列顯示數(shù)位順序，它最能反映人類生活：①顯示數(shù)量的讀寫（單名數(shù)或復(fù)名數(shù)）；②顯示單名數(shù)的寫法，用各組成單位與主單位的關(guān)系顯示（確定小數(shù)點(diǎn)在數(shù)位順序中的位置）；③顯示單名數(shù)的改寫（小數(shù)點(diǎn)所在的數(shù)位不動，其10進(jìn)數(shù)在其數(shù)位順序中或左或右位置移動）；④顯示小數(shù)的基本性質(zhì)；⑤計算1+1=2，顯示相同兩單位的合并，1+1≠2顯示不同兩單位的合并。

2）以2進(jìn)數(shù)為發(fā)展方向。為何為發(fā)展方向？①因一個2進(jìn)數(shù)是對一個自然數(shù)的擴(kuò)寫，使計算簡單，口訣為：一上一或一去一進(jìn)一，一去一或一退一還一。顯示計算器計算原理。②16進(jìn)制數(shù)、32進(jìn)制數(shù)是對一個自然數(shù)的縮寫，用于科學(xué)研究，它們可改用2進(jìn)數(shù)進(jìn)行計算，學(xué)習(xí)2進(jìn)數(shù)，為社會發(fā)展、科技進(jìn)步奠基。

3）以自然數(shù)為基礎(chǔ)，傳承人類精粹的數(shù)學(xué)思想方法。N進(jìn)制數(shù)、不同進(jìn)制數(shù)是以自然數(shù)為基礎(chǔ)的發(fā)展，單位值的顯示實為對一個自然數(shù)顯示方式的改變。自然數(shù)為相同單位個數(shù)加減等式顯示多數(shù)量的聯(lián)系，揭示同一單位個數(shù)的增減變化。乘除等式顯示兩數(shù)的關(guān)系（比值），比例式顯示兩數(shù)量的存在狀態(tài)（簡比），比值與簡比可相互改寫，它們均以兩數(shù)量的存在而存在。求解比值與簡比，涉及一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)、是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)，一個數(shù)質(zhì)因數(shù)的個數(shù)多少的肯定。對兩個數(shù)的公約數(shù)與公倍數(shù)，最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的求解，互質(zhì)數(shù)的求解，這些概念都只能在自然數(shù)的范圍內(nèi)成立，求兩數(shù)量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求兩自然數(shù)的關(guān)系，依據(jù)兩數(shù)量關(guān)系式解決數(shù)學(xué)問題。

3 結(jié)語

綜上所述，不同意義的數(shù)都能顯示數(shù)量的讀、寫、算，10進(jìn)數(shù)優(yōu)于顯示數(shù)量的讀寫，2進(jìn)制數(shù)優(yōu)于顯示數(shù)量的計算，自然數(shù)揭示多數(shù)量的聯(lián)系與顯示兩數(shù)量關(guān)系，小學(xué)數(shù)學(xué)教育才能簡單、科學(xué)，與時俱進(jìn)。

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[2]胡清六.排列計數(shù)教學(xué)法和排列計數(shù)顯示器[J].實驗教學(xué)與儀器,1999(4):28-29.

[3]胡清六.三算結(jié)合：數(shù)學(xué)教育的科學(xué)發(fā)展[J].中國教育技術(shù)裝備,2012(19):34.

[4]胡清六.數(shù)字的多義、擴(kuò)寫、縮寫與應(yīng)用[J].中國教育技術(shù)裝備,2013(4):113.

[5]胡守成.數(shù)理創(chuàng)新結(jié)碩果 科技花開分外香:十進(jìn)制單位關(guān)系算盤[J].中國教育技術(shù)裝備,2013(17):42.