樊勝利， 魏 超， 柏彥奇

（1.軍械工程學(xué)院 基礎(chǔ)部，河北 石家莊050003； 2.軍械工程學(xué)院 裝備指揮與管理系，河北 石家莊050003）

武器裝備系統(tǒng)可靠性增長過程分析，是在武器裝備系統(tǒng)的可靠性增長評定過程中，利用已知可靠性增長模型，如理想增長曲線、Duane模型、AMSAA模型和Compertz模型等，依據(jù)前期及當前試驗數(shù)據(jù)，在運用最小二乘法和最大似然估計等方法確定模型參數(shù)的基礎(chǔ)上，對下一階段武器裝備系統(tǒng)可靠性增長進行定量分析的研究方法。其中，可靠性增長模型是武器裝備系統(tǒng)可靠性增長分析過程的重要組成部分。

當前，武器裝備系統(tǒng)可靠性增長過程分析的研究重點在于：如何根據(jù)試驗條件、試驗環(huán)境和試驗方法選擇可靠性增長模型，并根據(jù)試驗數(shù)據(jù)，運用參數(shù)估計法確定各參數(shù)的點估計或區(qū)間估計，從而對武器裝備系統(tǒng)的可靠性增長趨勢進行科學(xué)判定。為此，筆者對各類主要可靠性增長模型的研究現(xiàn)狀進行了深入分析與闡述，進而為該領(lǐng)域的研究工作提供理論參考與借鑒。

1 方法分析與比較

1.1 方法分析

武器裝備系統(tǒng)可靠性增長過程分析的核心內(nèi)容之一是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)，利用可靠性增長模型，如Duane模型、AMSAA模型、Compertz模型、指數(shù)模型、Lloyd－Lipow模型和Dirichelt模型，分析武器裝備系統(tǒng)可靠性增長趨勢，為預(yù)測MTBF（mean time between failure）或可靠性R，估計達到可靠性指標所需試驗時間提供一種科學(xué)、有效的研究方法。目前，此類可靠性增長模型較多，但主要集中在Duane模型、AMSAA模型、Compertz模型和Dirichelt模型4類。為此，文中主要對它們的研究方法進行分析與比較。

1.1.1 Duane模型

Duane模型［1－3］是一類確定性模型。它假設(shè)武器裝備系統(tǒng)的可靠性增長是一個逐步提高，從門限值逐步增加到目標值的過程，不存在多個故障同時改進而使可靠性發(fā)生突變的可能。基于上述假設(shè)條件，Duane模型中的累積故障率和累積試驗時間在雙對數(shù)坐標系上趨向于一條直線，且平均故障間隔時間和瞬時平均故障間隔時間都是關(guān)于時間與增長率的線性函數(shù)。

模型參數(shù)的求解方法主要分為2類：

1）基于最小二乘擬合的參數(shù)確定法。最小二乘擬合，是以Duane模型的函數(shù)值與試驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，以二者偏差平方和最小為條件，利用極值點的偏導(dǎo)數(shù)為零構(gòu)造方程組，通過計算增長率b和斜率a的值，對武器裝備系統(tǒng)的可靠性增長過程進行分析與預(yù)測的研究方法。

2）基于導(dǎo)數(shù)最小二乘估計的參數(shù)確定法。它是針對傳統(tǒng)最小二乘法在確定模型參數(shù)時，僅利用了曲線的靜態(tài)試驗數(shù)據(jù)信息，而對于曲線的動態(tài)變化規(guī)律未加以明確與說明，易導(dǎo)致武器裝備系統(tǒng)在試驗階段外的適用性不高，誤差較大的問題，運用各階導(dǎo)數(shù)信息，以隨機樣本與各階導(dǎo)數(shù)在概率意義下的距離之和最小為準則，以一般最小二乘法得到的模型參數(shù)為迭代初始值，對Duane模型的參數(shù)進行確定的研究方法。該方法不僅綜合利用了模型導(dǎo)數(shù)試驗信息，對曲線動態(tài)變化規(guī)律進行了分析與描述，而且通過控制模型曲線與導(dǎo)數(shù)變化規(guī)律實現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)意義下的統(tǒng)計推斷結(jié)論，提高了模型的分析與預(yù)測精度。

1.1.2 AMSAA模型

AMSAA模 型［4－6］是 以Duane模 型 為 基 礎(chǔ)，利用非齊次泊松過程建立的可靠性增長模型。目前，AMSAA模型的參數(shù)求解方法很多，如作圖法、回歸分析法、矩估計法、最小二乘法和最大似然法等。然而，應(yīng)用較多的主要為最大似然參數(shù)估計法和牛頓迭代參數(shù)估計法。

1）最大似然參數(shù)估計法。它是以武器裝備系統(tǒng)的強度函數(shù)服從冪律過程和故障時間服從指數(shù)分布為假設(shè)條件，以n階段武器裝備系統(tǒng)的可靠性測試數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過構(gòu)造似然函數(shù)，利用尺度參數(shù)和增長參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求極值的方法，得出上述參數(shù)的最大似然估計值。然而，利用最大似然估計求解參數(shù)估計值時，一般要計算聯(lián)立的超越方程組，過程較為復(fù)雜，常規(guī)的迭代算法求解困難，收斂性較差。因此，在實際求解過程中：一方面利用概率權(quán)重矩陣法、雙線性回歸法、相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法、廣義回歸分析法和灰色估計等方法簡化計算過程；另一方面應(yīng)用模擬退火算法、蟻群算法和遺傳算法等，通過加快參數(shù)求解的收斂速度，進一步提高參數(shù)的計算精度。

2）牛頓迭代參數(shù)估計法。針對AMSAA模型參數(shù)把時間t作為常量時易導(dǎo)致可靠性下降的問題，在AMSAA模型的基礎(chǔ)上采用牛頓迭代法來預(yù)測某特定平均故障時間間隔下的試驗時間。主要思路是：通過試驗結(jié)束時的累積故障數(shù)、各故障點對應(yīng)的故障時間和各個試驗截止時的累積試驗時間構(gòu)造迭代函數(shù)，給出初始近似根及允許誤差，在故障數(shù)大于或等于20的2種情況下分別預(yù)測達到預(yù)計平均壽命時的試驗時間，進一步加快算法的收斂速度，提高模型的計算精度。

1.1.3 Compertz模型

Compertz模型［7－9］是由時間序列分析引申而來的，比較適用于離散型隨機變量的數(shù)字特征分析。一般情況下，它假設(shè)武器裝備系統(tǒng)壽命服從指數(shù)分布或Weibull分布。在描述武器裝備系統(tǒng)可靠性增長速度時，認為在開始階段的增長速度較慢，然后逐漸加快，到某點后增長速度逐漸減慢。因此，它既適用于成敗型武器裝備系統(tǒng)的試驗信息，也適用于壽命型武器裝備系統(tǒng)的試驗信息。然而，它對于S型增長趨勢可靠性數(shù)據(jù)的描述精度較差。

Compertz模型參數(shù)的確定方法主要分為以下3種情況：

1）Virene算法。它是把武器裝備系統(tǒng)的可靠性增長過程分為N個階段，每個階段的試驗組數(shù)為m，爾后把參數(shù)a，b，c的點估計轉(zhuǎn)換為d的函數(shù)，并根據(jù)初值N＝0或t＝0求出X軸的截距。參數(shù)d的精度通過d的增量加以控制，最后再求出參數(shù)a，b，c的點估計。

2）非線性回歸最小二乘法。它是以Virene方法確定的各類參數(shù)的點估計為基礎(chǔ)，根據(jù)擬合曲線與數(shù)據(jù)點之間的水平距離與垂直距離的平方和最小為收斂準則，利用高斯－牛頓法將可靠性函數(shù)按泰勒級數(shù)展開，以線性項近似非線性項，用最小二乘法估計參數(shù)標正量，得到參數(shù)首次估計值。當鄰近2項殘差平方和迭代結(jié)果在允許誤差范圍內(nèi)時，即得出Compertz模型各類參數(shù)的點估計值。

3）基于增長因子的線性回歸法。它是通過運用增長因子表示相鄰階段武器裝備系統(tǒng)可靠性比值，借助線性回歸方法，引入隨機變量（隨機變量要滿足Markov－Gauss假設(shè)條件），由前m階段的可靠性評估結(jié)果預(yù)報出第m＋1階段的系統(tǒng)增長因子，然后把增長因子轉(zhuǎn)化為隨機變量，通過第m階段可靠性的點估計值和增長因子的分布函數(shù)，確定第m＋1階段武器裝備系統(tǒng)可靠性的分布函數(shù)。在試驗過程中，它假設(shè)各次試驗環(huán)境一致，武器裝備系統(tǒng)的改進是逐步進行的，失效機理變化較小，Weibull分布中的形狀參數(shù)變化不大，可用第m批武器裝備系統(tǒng)形狀參數(shù)的后驗分布作為第m＋1批武器裝備系統(tǒng)形狀參數(shù)的后驗分布（即服從Bayes相繼率）。

1.1.4 Dirichlet分布模型

Dirichlet分布模型是由Mazzuchi提出的。它假設(shè)武器裝備系統(tǒng)在m個試驗階段中，各階段試驗結(jié)果相互獨立。每一階段進行武器裝備系統(tǒng)的修復(fù)，清除故障模式。隨著“試驗—改進—再試驗”過程的重復(fù)進行，故障不斷得到排除，武器裝備系統(tǒng)的可靠性不斷提高。

目前，Dirichlet分布模型分為2類：一是順序Dirichlet分布模型［10－13］；二是新Dirichlet分布模型［14－15］。順序Dirichlet分布模型的概率分布是利用Beta分布和m個階段的可靠性或失效概率定義的1個多元Beta分布函數(shù)，參數(shù)包括α＝（α1，α2，…，αm＋1）和β。αi（i＝1，2，…，m＋1）表示第i階段相比第i－1階段的可靠性增量，是位置參數(shù)，可由先驗信息確定；β為尺度參數(shù)，表示技術(shù)人員對α的確信程度，相對于α，β較難于確定。一般情況下，對于固定的α，β的值越大，得到的先驗標準差越小，說明武器裝備系統(tǒng)的可靠性的估計值越高。新Dirichlet分布模型則是針對只用1個形狀參數(shù)β描述各個檢驗區(qū)間內(nèi)武器裝備系統(tǒng)可靠性的方差，不能很好符合工程需要的問題，構(gòu)造了（Rk－1，1）上的Beta分布（Rk－1表示第k－1階段武器裝備系統(tǒng)的可靠性）。在每個檢測區(qū)間內(nèi)它都設(shè)有2個參數(shù)ak，bk（k表示第k個檢測區(qū)間），能更準確的描述各階段可靠性估計值以及估計值的可信度，與順序Dirichlet分布模型相比，更具優(yōu)越性。

1.2 方法比較

由上述分析可知：可靠性增長過程研究方法主要分為可靠性增長模型的選擇與模型參數(shù)確定2部分。因此，研究方法的比較也主要圍繞這二者展開。

1.2.1 可靠性增長模型比較

1）Duane模型和AMSAA模型的比較。Duane模型和AMSAA模型的共同之處在于二者的原理較為簡單，使用方便，可操作性及適用性較強。而不同之處則主要體現(xiàn)在以下3個方面：①武器裝備系統(tǒng)故障數(shù)或失效率的區(qū)分不同。在Duane模型中，它假設(shè)武器裝備系統(tǒng)故障時間服從指數(shù)分布，故障率是常數(shù)，即固定時間間隔內(nèi)的故障數(shù)是確定的，這與實際武器裝備系統(tǒng)試驗過程的吻合程度不高有關(guān)；而在AMSAA模型中，它認為故障數(shù)（失效數(shù)）和故障率均是隨機變量，并認為故障數(shù)（失效數(shù)）服從非齊次泊松分布，而累積故障率則是一個以時間為自變量的分段線性函數(shù)。因此，它與Duane模型相比，其數(shù)學(xué)分析更為嚴密，適用面更寬，適應(yīng)性更強。②模型參數(shù)的估計方法不同。Duane模型中對MTBF及參數(shù)a，b，c的估計都是較為粗糙的點估計，可靠性不高。而在AMSAA模型中，它不僅給出了各參數(shù)的點估計值，也給出了上述點估計值的置信區(qū)間，結(jié)果的可信性更高。③模型參數(shù)的物理意義不同。在Duane模型中，參數(shù)b表示增長率，而參數(shù)a的物理意義不明顯；而在AMSAA模型中，參數(shù)a為尺度參數(shù)，且當b＝1時，Weibull故障率函數(shù)λ（T）＝a，MTBF服從均值為1／a的指數(shù)分布。與Duane模型相比，它的物理意義更容易理解，表示形式更為簡潔，便于制定可靠性增長計劃，且有利于可靠性增長過程的跟蹤與評估。表1為Duane模型和AMSAA模型比較表。

表1 Duane模型和AMSAA模型比較

2）Compertz模型與AMSAA模型和Duane模型的比較。Compertz模型與上述2種模型相比較，主要區(qū)別有以下3方面：一是由于Compertz模型是來源于時間序列分析的一種可靠性增長模型，因此它更適用于成敗型武器裝備系統(tǒng)的可靠性增長過程分析；二是它不涉及累積故障時間、故障率和失效率等參數(shù)，而主要由a，b，c，d等4個參數(shù)決定；三是對于具有S型增長趨勢的可靠性數(shù)據(jù)，它的描述精度較差。

3）次序Dirichlet模型和新Dirichlet模型的比較。次序Dirichlet模型和新Dirichlet模型都是Bayesian可靠性評定模型的一部分。它是針對采用無信息先驗試驗或試驗信息折合方法易導(dǎo)致評估結(jié)果可信性不高的問題提出的。二者的共同之處在于：一是它們都是Bayesian可靠性評定模型中各階段武器裝備系統(tǒng)可靠性向量的先驗分布函數(shù)；二是它們都能夠把邊緣分布和聯(lián)合分布特性與專家意見、經(jīng)驗和同類武器裝備系統(tǒng)的試驗信息相結(jié)合，進行準確的可靠性增長過程分析與管理。其不同之處則主要包括以下3個方面：①工程的適用背景不同。次序Dirichlet模型只用1個參數(shù)β描述檢測區(qū)間武器裝備系統(tǒng)的可靠性方差，其工程適用性不強；而新Dirichlet模型則可用2個參數(shù)ak，bk來描述各階段武器裝備系統(tǒng)可靠性估計值及估計值的可信度，其工程適用性較好。② 先驗密度函數(shù)有差異。次序Dirichlet模型的先驗密度函數(shù)是單峰值函數(shù)，當參數(shù)β取值較大時，各階段的先驗方差較小，易導(dǎo)致先驗分布的主導(dǎo)性過強，試驗結(jié)果對后驗推斷的影響較??；而新Dirichlet模型則利用各檢測區(qū)間參數(shù)ak，bk解決了此問題。③參數(shù)的物理意義不同。次序Dirichlet模型參數(shù)的物理意義明顯，ai（i＝1，2，…，m）表示第i階段可靠性增量，β為尺度參數(shù)，表示技術(shù)人員對上述參數(shù)的確信程度；而在新Dirichlet模型中參數(shù)的物理意義不明顯，難以用先驗信息直接確定，易導(dǎo)致可操作性不強的問題。

1.2.2 可靠性增長模型參數(shù)求解方法比較

可靠性增長模型的參數(shù)求解方法較多，文中主要列舉了導(dǎo)數(shù)最小二乘估計、最小二乘擬合、非線性回歸最小二乘擬合、Virene算法和最大似然估計等方法。因此，筆者主要對上述方法的異同點進行詳細的比較與分析。

1）參數(shù)估計的評價標準。從參數(shù)估計結(jié)果看，參數(shù)估計方法不同，估計量會有差別。因此，在評價參數(shù)估計量時，一般都會以無偏性、有效性和相合性等3方面進行比較。而以最小二乘法為基礎(chǔ)的各類參數(shù)估計方法同最大似然估計相比，其有效性和無偏性較差。

2）參數(shù)應(yīng)用的簡易程度。以最小二乘法為基礎(chǔ)的各類參數(shù)估計方法是通過圖形觀察，得出數(shù)據(jù)分布具有簡單的線性或非線性特征后，以誤差平方和最小為判定準則求解參數(shù)的計算過程。在應(yīng)用過程中簡便、易行，可操作性較強；而最大似然估計則必須知道各樣本的概率密度函數(shù)，相比較前者而言，它的可操作性的難度更高。

3）模型參數(shù)的求解速度與精度。最大似然參數(shù)估計法與最小二乘法在求解模型參數(shù)時，對于較為復(fù)雜的問題，都需要建立超越方程組，求解速度較慢，而且參數(shù)的求解精度與收斂性不易控制；Virene算法、非線性回歸最小二乘法和基于增長因子的線性回歸法，是通過簡化計算步驟，以線性項近似非線性項等方法，達到加快求解速度的目的。然而，精度較差；基于遺傳算法和模擬退火算法等智能算法的模型參數(shù)求解法，是通過設(shè)置退火溫度、遺傳代數(shù)等方法，依據(jù)全局收斂的思想，實現(xiàn)參數(shù)求解從局部最優(yōu)向全局最優(yōu)的轉(zhuǎn)化，提高參數(shù)的求解速度。然而，計算時間較長。

2 存在問題及改進方向

通過對可靠性增長模型的分析與比較可以看出，目前仍存在以下3方面問題：

1）在AMSAA模型中，當t→＋∞時，強度函數(shù)ρ（t）不收斂。

2）在武器裝備系統(tǒng)可靠性增長過程分析中，樣本異總體的問題將會對可靠性分析產(chǎn)生較大影響，特別是現(xiàn)場試驗為小樣本時更加明顯。因此，如何體現(xiàn)不同試驗階段武器裝備系統(tǒng)可靠性的差異性與相似程度，也是可靠性增長模型存在的問題之一。

3）可靠性增長模型的尺度參數(shù)β是技術(shù)人員對估計值的確信程度，也是對先驗信息不確定的一種彌補措施。然而，它也不可避免的引入了主觀因素，易影響結(jié)果的可信度。

針對上述存在問題，筆者認為應(yīng)從以下3方面進行改進：

1）在AMSAA模型的強度函數(shù)中引入隨機變量，完成其收斂過程的分析與判斷；

2）在使用Bayes方法確定先驗分布時，應(yīng)在共軛先驗分布中引入繼承因子與更新因子，減少歷史樣本與樣本異總體對武器裝備系統(tǒng)可靠性的影響；

3）對于Dirichlet模型的尺度參數(shù)β，在量化過程中引入語言值與隸屬度函數(shù)，使數(shù)值的量化結(jié)果更為準確、客觀，減少人為因素的影響。

3 結(jié) 論

系統(tǒng)性與復(fù)雜性是武器裝備的重要特征。在武器裝備系統(tǒng)的研制與發(fā)展過程中，它必須經(jīng)過“試驗—分析—改進—再試驗”的過程，才能不斷提高武器裝備系統(tǒng)的可靠性。因此，進行武器裝備系統(tǒng)可靠性增長分析，是減少序貫試驗次數(shù)，節(jié)約研制經(jīng)費，縮短研制周期，不斷改進與完善武器裝備系統(tǒng)可靠性的重要手段與方法?；诖?，文中對可靠性增長模型，如Duane模型、AMSAA模型和Compertz模型等，進行了詳細的分析與比較，并指出了存在問題與改進方向，希望能為武器裝備系統(tǒng)可靠性增長研究提供理論參考與借鑒。然而，文中對其他諸如指數(shù)模型、Lloyd模型和Lipow模型等，并沒有展開集中論述，而且可靠性評估和故障分析作為可靠性增長過程的重要內(nèi)容，也有待于下一步繼續(xù)深入研究與探討。

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