【案例】
　　去年暑假，小姨把她家那小子送到我家來住幾天。我知道她是想讓我輔導(dǎo)他做作業(yè)。這小家伙今年五年級(jí)，很是聰明，就是最怕麻煩，對(duì)語文是喜歡動(dòng)口不動(dòng)手，對(duì)數(shù)學(xué)倒是很親近。但他做數(shù)學(xué)題，常讓人擔(dān)心。因?yàn)樗谧鲱}時(shí)，兩眼盯在試題上，嘴中念念有詞，然后直接在題后寫上答案。這不免讓人懷疑是不是在蒙。但每次檢查時(shí)，又少有差錯(cuò)。
　　他的《暑假作業(yè)》中有這樣一道題：一個(gè)正方體，表面積是96平方厘米，現(xiàn)在將它平均分成大小相同的8個(gè)小正方體，每個(gè)小正方體的表面積是多少？
　　他在做這道題的時(shí)候，又和往常那樣兩眼盯在試題上，嘴中念念有詞了。我不言語，看他怎樣做這一題。同時(shí)自己也想好了這道題的解題方法：（1）求出大正方體每個(gè)面的面積：96÷6=16（平方厘米），從而求出大正方體的棱長是4厘米。（2）求出每個(gè)小正方體的棱長：4÷2=2（厘米）。（3）求出每個(gè)小正方體的表面積：2×2×6=23b4c6f8d2768b8c9c3c47cacb9abe2a14（平方厘米）。
　　幾乎在我想好的同時(shí)，他也寫出了算式和答案：96÷8×2=24（平方厘米）。
　　看著他寫的算式，我想了很長時(shí)間，也想不出這個(gè)算式表達(dá)的意義。于是我笑著對(duì)他說：“你的答案是正確的，但式子表示什么意義呢，別是蒙的吧？”
　　他一本正經(jīng)地對(duì)我說：“我不是蒙的，我是這樣想的：假設(shè)大正方體外面涂了一層紅色的漆，平均分成八個(gè)大小相同的正方體后，每個(gè)小正方體就有三個(gè)面是紅色的。而一個(gè)正方體有六個(gè)相等的面，所以只要再乘2就是每個(gè)小正方體的表面積了?！毙〖一镞呎f還邊畫出了如下示意圖。
　　【思考】
　　孩子為什么要在大正方體外面涂上一層紅色的漆呢？他是怎么想到用紅漆去涂正方體的外面的？孩子當(dāng)初想到在外面涂漆有什么用途？孩子是不是受線索詞“表面積”的啟發(fā)而下意識(shí)地想到了涂漆呢？
　　【分析】
　　孩子可能的想法：1.受線索詞“表面積”的啟發(fā)及教材中“粉刷墻壁”經(jīng)驗(yàn)的積累。由線索詞“表面積”聯(lián)系到教材中的內(nèi)容“粉刷墻壁”。如果是這樣，那么涂漆的做法是源于教材與生活的經(jīng)驗(yàn)積累的一種再創(chuàng)造。2.孩子是受其他的經(jīng)驗(yàn)的啟發(fā)。一開始并不知道涂漆對(duì)解決問題有用，在接下來的思考和探索中受啟發(fā)才從涂漆中找到解決問題的方法。3.孩子是為了表達(dá)時(shí)讓別人明白自己的解法的需要才想到涂漆的。
　　這些分析結(jié)果都需要進(jìn)一步向孩子求證。第二天，就這些問題我再次向他提問。面對(duì)我的追問，小家伙倒不拘謹(jǐn)：“我是從正方體有八個(gè)頂點(diǎn)開始思考的，平均分成八個(gè)小正方體，應(yīng)該每個(gè)小正方體都含有一個(gè)原來大正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，而圍成這個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面就是露在外面的面?！币贿呎f，一邊翻開教材（新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊(cè)“長方體（一）——露在外面的面”P20）。
　　“那你為什么要在大正方體外面漆上一層紅漆呢？”
　　“涂上一層紅漆后，會(huì)使原來露在外面的面積和切開后的面積之間的關(guān)系變得更加直觀。同時(shí)也方便我向你說明我的解題思路?！?br/>　　我分析孩子在面上涂漆是解決問題或表達(dá)的需要，是截然分開的，但孩子的回答似乎在告訴我們，他的分界并沒有這么清楚。他把大的立方體涂漆既是思考問題的需要，又是他表達(dá)的需要。從這一點(diǎn)上看，國外的研究認(rèn)為學(xué)生在解決問題時(shí)，是先表征，再考慮解決的策略是正確的。
　　【啟示】
　　從上面的案例我們可以得到如下啟示：第一，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累有利于學(xué)生在解決問題時(shí)準(zhǔn)確把握問題的本質(zhì)。
　　孩子一開始并沒有受“表面積是96平方厘米”的影響，而是“從正方體怎么分為八個(gè)小立方體”開始思考，他關(guān)注到正方體由大到小的變化。而在關(guān)注變化的同時(shí)，他在尋找不變的東西，并與以往學(xué)過的經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系。涂漆的經(jīng)驗(yàn)幫助他思考問題并成功地解決了問題，同時(shí)為他表達(dá)解題思路提供了便利。
　　第二，利用幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。
　　孩子在關(guān)注變化的同時(shí)，緊緊捕捉住不變的東西，那就是他發(fā)現(xiàn)了“要求的八個(gè)小正方體的表面積比原來的大正方體的表面積多，且要求的八個(gè)正方體的表面積等于原大正方體的表面積再加上新增的表面積”。對(duì)“變化中的不變”的把握，他是通過涂漆的方法直觀實(shí)現(xiàn)的。而且這種思路較常規(guī)思路更為簡明、形象。這與《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂版中提出的幾何直觀概念非常一致。
　?。ㄘ?zé)編　黃春