李鐘慎，傅桂元，楊凱

（華僑大學(xué) 機(jī)電及自動化學(xué)院，福建 廈門 361021）

不確定性超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)魯棒反同步

李鐘慎，傅桂元，楊凱

（華僑大學(xué) 機(jī)電及自動化學(xué)院，福建 廈門 361021）

針對一類具有外部不確定性的反同步問題，提出一種自適應(yīng)魯棒控制方法.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)控制，設(shè)計自適應(yīng)魯棒控制器和參數(shù)的自適應(yīng)更新律；通過在輸入控制量中引入一補(bǔ)償項以消除不確定性的影響，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)魯棒反同步，將系統(tǒng)的反同步誤差控制在任意小的范圍內(nèi).最后，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證所提出控制方法的有效性.

超混沌系統(tǒng)；反同步；自適應(yīng)；魯棒控制；不確定性

同步是指具有相近或相同性質(zhì)的兩個或多個動力系統(tǒng)，通過系統(tǒng)間的相互作用，使得在不同的初始條件下各自演化的動力系統(tǒng)其狀態(tài)逐步接近，最后達(dá)到全同的狀態(tài)，它是自然界的一種常見的現(xiàn)象［1］.自Pecora和Corroll關(guān)于混沌同步的開創(chuàng)性工作［2］以來，混沌同步得到了廣泛而深入的研究 .在諸多混沌同步中，反同步也是一個值得關(guān)注的現(xiàn)象.所謂反同步就是兩個混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量的絕對值相同但符號相反，即狀態(tài)變量的和為0的同步現(xiàn)象［3］.超混沌系統(tǒng)一般為具有一個以上正的Lyapunov指數(shù)的混沌系統(tǒng)，具有比低維混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜的動力學(xué)特性，使得實(shí)現(xiàn)超混沌的控制、同步（反同步）問題成為一項更具有挑戰(zhàn)性的研究工作［4］.文獻(xiàn)［5］提出了一種基于主動控制和自適應(yīng)控制相結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)對在參數(shù)已知和參數(shù)未知兩種情況下的兩超混沌系統(tǒng)的反同步控制.文獻(xiàn)［6］基于非線性控制實(shí)現(xiàn)兩不同結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的反同步.但是，至今含有不確定性的超混沌系統(tǒng)的反同步問題的研究較少，而現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中不可避免要受到各種外部不確定性的影響 .因此，研究一類不確定性超混沌系統(tǒng)的反同步問題具有重要的意義.本文設(shè)計一種自適應(yīng)魯棒反同步控制器，實(shí)現(xiàn)一類具有外部擾動不確定性異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的反同步.

1 問題描述

考慮驅(qū)動混沌系統(tǒng)具有的形式為

式（1）中：系統(tǒng)狀態(tài)變量x∈Rn；x0為初始值；未知參數(shù)α∈Rm；f（x）為n×1矩陣；F（x）為n×m 矩陣，且Fi，j（x）∈L∞；不確定性項Δ＝［Δ1，Δ2，…，Δn］T為n×1矩陣.假定不確定性項有界，且滿足‖Δi‖≤ρi（i＝1，2，…，n ），ρi為已知常數(shù)，則記ρ＝［ρ1，ρ2，…，ρn］T.

考慮響應(yīng)混沌系統(tǒng)的形式為

式（2）中：系統(tǒng)狀態(tài)變量y∈Rn；y0為初始值，且x0≠y0；未知系統(tǒng)參數(shù)β∈Rq；g（y）為n×1矩陣；G（y）為n×q矩陣；且Gi，j（y）∈L∞；u∈Rn為系統(tǒng)的控制輸入.

定義反同步誤差e＝y(tǒng)＋x，設(shè)計控制器u的控制目標(biāo)是使反同步誤差e滿足

2 反同步控制器設(shè)計

將式（1）與式（2）相加，可得系統(tǒng)的反同步動態(tài)誤差方程為

將式（5）沿動態(tài)誤差系統(tǒng)（4）對時間求導(dǎo)，則可得

當(dāng)選取控制器u為

系統(tǒng)參數(shù)的自適應(yīng)律為

則式（6）可寫成如下形式，即

根據(jù)Young不等式

則式（10）可改寫為

令Γ＝eTe，則?！?.由于ε和k為任意正數(shù)，則總是存在ε和k，使得其滿足：對?Γ＞0，有此時˙V＜0.因此，系統(tǒng)（4）將漸近穩(wěn)定于狀態(tài)空間原點(diǎn)，系統(tǒng)的誤差將處在以為半徑的圓內(nèi)，可以通過選取適當(dāng)?shù)摩?，k值，使誤差趨近于無窮小.此時，有

因此，對于被控動態(tài)誤差系統(tǒng)（4），當(dāng)采用式（7），（8）所示的控制器及式（9）所示的參數(shù)自適應(yīng)律，則系統(tǒng)將漸近趨于零平衡點(diǎn)，即響應(yīng)系統(tǒng)（2）將漸近反同步于驅(qū)動系統(tǒng)（1）.

3 仿真實(shí)例

以超混沌Chen系統(tǒng)［7］和超混沌Lü系統(tǒng)［8］為例，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證該控制方法的有效性.

3.1 系統(tǒng)描述

假定超混沌Chen系統(tǒng)為驅(qū)動系統(tǒng)，寫成式（1）的形式，則可描述為

式（13）中：Δ＝［Δ1，Δ2，Δ3，Δ4］T為系統(tǒng)的外部擾動不確定性項，且Δi界限為已知，假定其值為Δ＝［0.25sin（0.25πt），0.8cos（0.5πt），0.9sin（0.6πt），2cos（3πt）］T，則可得其界限ρ＝［0.25，0.8，0.9，2］T.

選取超混沌Lü系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng)，寫成式（2）的形式，即

式（14）中：u＝［u1，u2，u3，u4］T為系統(tǒng)的控制輸入.當(dāng)選取系統(tǒng)參數(shù)a1＝35，b1＝3，c1＝12，d1＝7，r1＝0.5時，系統(tǒng)（13）表現(xiàn)為超混沌系統(tǒng)特性；而當(dāng)選取系統(tǒng)參數(shù)a2＝36，b2＝3，c2＝20，r2＝1時，系統(tǒng)（14）在未施加控制u 的表現(xiàn)為超混沌系統(tǒng).系統(tǒng)參數(shù)的估計值＾α＝［＾a1，＾b1，＾c1，＾d1，＾r(nóng)1］T，＾β＝［＾a2，＾b2，＾c2，＾r(nóng)2］T.

定義系統(tǒng)的反同步誤差定義誤差為

由式（13）和式（14）可得反同步誤差動態(tài)系統(tǒng)為

根據(jù)式（7），（8），（9）可得自適應(yīng)魯棒控制器為

式（16）中：ki＝k（i＝1，2，3，4），ε均為任意大于零的常數(shù).系統(tǒng)參數(shù)的自適應(yīng)律為

3.2 仿真結(jié)果

選取超混沌Chen系統(tǒng)各狀態(tài)變量初值x1（0）＝－2，x2（0）＝－3，x3（0）＝8，x4（0）＝10；超混沌Lü系統(tǒng)各狀態(tài)變量的初值y1（0）＝5，y2（0）＝8，y3（0）＝－1，y4（0）＝－3，則反同步動態(tài)誤差變量的初值為e1（0）＝3，e2（0）＝5，e3（0）＝7，e4（0）＝7，參數(shù)估計初值＾α（0）＝［4，6，8，10，3］T，＾β（0）＝［5，7，9，11］T；系統(tǒng)的設(shè)計參數(shù)k＝5，ε＝0.001.

超混沌Chen系統(tǒng)（13）、超混沌Lü系統(tǒng)（14）的反同步各狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線、反同步誤差曲線及各參數(shù)的估計值，分別如圖1，2，3所示 .從圖2中可以看出：在控制器（16）的作用下，系統(tǒng)的反同步誤差信號快速趨近于零.從圖3可知：隨著時間t的推移，系統(tǒng)的未知參數(shù)也逐漸收斂于穩(wěn)定值.

圖1 超混沌系統(tǒng)各狀態(tài)變量的時間響應(yīng)曲線Fig.1 Curve about time response of each state of the hyperchaotic systems

圖2 超混沌系統(tǒng)的反同步誤差曲線Fig.2 Curve of the anti－synchronization error of the hyperchaotic systems

圖3 超混沌系統(tǒng)各參數(shù)的估計值Fig.3 Estimated value of the parameters of the hyperchaotic systems

4 結(jié)束語

研究一類具有外部擾動不確定性的不同結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)反同步問題.基于穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)控制，設(shè)計一種改進(jìn)的魯棒自適應(yīng)控制器，通過加入補(bǔ)償器，消除了不確定性的影響，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的反同步及系統(tǒng)未知參數(shù)的辨識.通過選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)計參數(shù)ε，k，使系統(tǒng)反同步誤差趨于無窮小.以超混沌Chen系統(tǒng)和超混沌Lü系統(tǒng)為例，數(shù)值仿真結(jié)果證明了所提出的控制策略的有效性及具有較強(qiáng)的魯棒性.該控制方法應(yīng)用范圍廣泛，響應(yīng)速度較快.

［1］傅桂元，李鐘慎.無源控制的超混沌Chen系統(tǒng)的自適應(yīng)同步［J］.華僑大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，31（4）：378－382.

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［3］朱少平.不確定超混沌系統(tǒng)的反同步研究［J］.計算機(jī)工程與應(yīng)用，2011，47（10）：145－145，175.

［4］劉福才，李俊義，臧秀鳳.基于自適應(yīng)主動及滑?？刂频姆?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)反同步［J］.物理學(xué)報，2011，60（3）：030504（1－9）.

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Self－Adaptive Robust Anti－Synchronization of Hyperchaotic Systems with Unicertainties

LI Zhong－shen，F(xiàn)U Gui－yuan，YANG Kai

（College of Mechanical Engineering and Automation，Huaqiao University，Xiamen 361021，China）

A novel self－adaptive robust control method is proposed to anti－synchronize a kind of hyperchaotic systems with different structures and external uncertainties.Based on Lyapunov stability theory and adaptive control，a self－adaptive robust controller is designed and the updating laws of unknown parameters are given as well.The self－adaptive antisynchronization is achieved by adding a compensator into the input to eliminate the influence of uncertainties，and the anti-synchronization error of a system is bounded within an arbitrarily small value.Numerical simulations are provided to demonstrate the effectiveness of the presented control scheme.

hyperchaotic system；anti－synchronization；self－adaption；robust control；uncertainty

O 19；TP 13

A

1000－5013（2012）02－0129－05

2011－08－11

李鐘慎（1971－），男，教授，主要從事先進(jìn)控制理論與控制工程的研究.E－mail：lzscyw＠hqu.edu.cn.

福建省自然科學(xué)基金計劃資助項目（2011J01350）；華僑大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項基金資助項目（JBZR1107）

（責(zé)任編輯：黃曉楠 英文審校：鄭亞青）