趙英寶，黃麗敏

（1.河北科技大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北石家莊 050018；2.河北科技大學(xué)現(xiàn)代教育技術(shù)中心，河北石家莊 050018）

基于壓縮傳感的混沌自適應(yīng)控制

趙英寶1，黃麗敏2

（1.河北科技大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北石家莊 050018；2.河北科技大學(xué)現(xiàn)代教育技術(shù)中心，河北石家莊 050018）

提出了一種自適應(yīng)混沌控制方法，僅根據(jù)輸出時(shí)間序列，利用壓縮傳感辨識(shí)混沌系統(tǒng)的方程與參數(shù)，利用負(fù)反饋控制混沌系統(tǒng)到設(shè)定目標(biāo)上。以L(fǎng)orenz和R?ssler系統(tǒng)為例說(shuō)明時(shí)變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的方程及參數(shù)的辨識(shí)與控制，首先估計(jì)出Lorenz系統(tǒng)方程并將其控制到固定點(diǎn)或周期振蕩上，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)從Lorenz變化到R?ssler時(shí)可以快速辨識(shí)新結(jié)構(gòu)及其參數(shù)，系統(tǒng)重新回到控制目標(biāo)上。結(jié)果表明，與最小二乘法相比，該方法僅通過(guò)較少的數(shù)據(jù)即可實(shí)現(xiàn)模型結(jié)構(gòu)與參數(shù)的同時(shí)估計(jì)，并有很高的估計(jì)精度，利用估計(jì)得到的模型和參數(shù)，再利用負(fù)反饋可以將混沌系統(tǒng)快速控制到設(shè)定目標(biāo)上。

壓縮傳感；負(fù)反饋控制；模型估計(jì)；混沌控制；參數(shù)估計(jì)

動(dòng)力學(xué)研究的正問(wèn)題，即已知系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程和參數(shù)的情況下研究動(dòng)力系統(tǒng)的演化或控制，已提出很多研究成果。而在未知方程或參數(shù)情況下，由系統(tǒng)輸出時(shí)間序列辨識(shí)動(dòng)力學(xué)方程和參數(shù)，屬于動(dòng)力學(xué)研究的逆問(wèn)題，辨識(shí)系統(tǒng)方程和參數(shù)是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制的重要前提。對(duì)于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的混沌控制，EDWARD等提出了混沌控制的OGY方法，它是一種不需要知道動(dòng)力系統(tǒng)方程的控制方法［1］，之后提出了眾多有效的混沌控制方法，從系統(tǒng)方程和參數(shù)均已知［2－3］到系統(tǒng)方程已知參數(shù)未知［4－5］，均得到了良好的效果。對(duì)于未知方程的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，DITTO等首次將OGY方法應(yīng)用于未知系統(tǒng)方程的實(shí)際物理系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)控制［6］；ALSING等利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［7］、KOBRAVI等利用模糊邏輯方法逼近動(dòng)力學(xué)方程，再執(zhí)行混沌控制，是一種離線(xiàn)控制方法，其辨識(shí)的結(jié)果并非動(dòng)力學(xué)方程本身［8］；未知系統(tǒng)方程時(shí)，從完全未知的系統(tǒng)中估計(jì)方程存在困難，獲知系統(tǒng)方程的先驗(yàn)知識(shí)，即指定系統(tǒng)的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式，GOUESBET等提出自治多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)［9］，BEZRUCHKO等提出非自治微分方程結(jié)構(gòu)，然后利用最小二乘法估計(jì)方程和參數(shù)［10］，然而這種估計(jì)方法收斂速度慢且存在較大穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)的改變可能會(huì)產(chǎn)生邊界危機(jī)等不期望現(xiàn)象，為了解決由輸出時(shí)間序列估計(jì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程問(wèn)題，WANG等提出了一種基于壓縮傳感的動(dòng)力系統(tǒng)模型方程估計(jì)方法［11］。筆者基于該方法實(shí)現(xiàn)了未知系統(tǒng)方程的辨識(shí)及其混沌自適應(yīng)控制。

利用壓縮傳感估計(jì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，是基于可以將動(dòng)力學(xué)方程表示成多變量?jī)缂?jí)數(shù)展開(kāi)形式，且僅有少數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為非零這個(gè)基本假設(shè)，則模型系數(shù)可看成稀疏向量，動(dòng)力學(xué)方程的估計(jì)轉(zhuǎn)化為求解欠定線(xiàn)性系統(tǒng)。DONOHO和CANDèS提出的壓縮傳感方法為求解此類(lèi)欠定線(xiàn)性方程奠定了基礎(chǔ)［12－13］，并證明了可以利用部分傅里葉系數(shù)重建原始信號(hào)［14］。由于冪級(jí)數(shù)系數(shù)與結(jié)構(gòu)項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用壓縮傳感求解欠定線(xiàn)性系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)力學(xué)方程和參數(shù)的同時(shí)估計(jì)。壓縮傳感的優(yōu)點(diǎn)在于信號(hào)的投影測(cè)量數(shù)據(jù)量遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)的采樣方法，突破了香農(nóng)采樣定理的瓶頸［15］。利用壓縮傳感從含有少量觀測(cè)數(shù)據(jù)中重建源信號(hào)，近來(lái)在圖像處理［16］、數(shù)據(jù)通信［17］等領(lǐng)域得到了良好應(yīng)用。

自適應(yīng)控制都是已知系統(tǒng)方程而自適應(yīng)估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)。自適應(yīng)控制和系統(tǒng)辨識(shí)密不可分。筆者提出的基于壓縮傳感的混沌自適應(yīng)控制方法，首先利用壓縮傳感從觀測(cè)時(shí)間序列中辨識(shí)出未知系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程及其參數(shù)，再利用負(fù)反饋控制方法將其控制到目標(biāo)點(diǎn)或周期振蕩上。以L(fǎng)orenz和R?ssler系統(tǒng)為例說(shuō)明時(shí)變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的辨識(shí)和控制，該方法實(shí)現(xiàn)了Lorenz系統(tǒng)方程和參數(shù)的快速辨識(shí)并進(jìn)行混沌控制，當(dāng)系統(tǒng)在某時(shí)刻由Lorenz系統(tǒng)跳變到R?ssler系統(tǒng)時(shí)，可以快速辨識(shí)出系統(tǒng)新的動(dòng)力學(xué)方程和參數(shù)，實(shí)現(xiàn)控制混沌系統(tǒng)重新回到設(shè)定目標(biāo)上。本控制策略對(duì)于實(shí)現(xiàn)時(shí)變結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性系統(tǒng)的混沌自適應(yīng)控制非常有意義。

1 壓縮傳感原理

壓縮傳感是一種求解欠定線(xiàn)性系統(tǒng)稀疏解的方法，由于欠定線(xiàn)性系統(tǒng)中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)，所以通常會(huì)有無(wú)窮多個(gè)解，但是如果系統(tǒng)有唯一的稀疏解，則人們可以通過(guò)壓縮傳感方法，利用較少的觀測(cè)量便能重建稀疏解。

壓縮傳感過(guò)程可分為信號(hào)的稀疏化、構(gòu)建穩(wěn)態(tài)測(cè)量矩陣和利用重建算法恢復(fù)源信號(hào)3部分。壓縮傳感描述如下：已知某傳感矩陣φ∈RM×N，且N?M，稀疏向量x∈RN×1在矩陣φ下的輸出為y∈RM×1，即y＝φx，壓縮傳感的目的就是根據(jù)y重建x。當(dāng)處理圖像或高維數(shù)據(jù)時(shí)應(yīng)將其多維向量轉(zhuǎn)換為一維長(zhǎng)向量。若x的時(shí)域信號(hào)是非稀疏的，可將其進(jìn)行某種變換使其可以稀疏表示，常用的變換有傅里葉變換、小波變換和冗余字典等。為了重建源稀疏信號(hào)，觀測(cè)數(shù)據(jù)量必須滿(mǎn)足O（KlnN），其中K為源稀疏信號(hào)非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)，且矩陣φ必須滿(mǎn)足約束等距條件［18］。對(duì)于源信號(hào)的恢復(fù)重建已有多種算法，文獻(xiàn)［14］已證明，利用測(cè)量值通過(guò)求解最優(yōu)l1－范數(shù)可重構(gòu)x：

這是一個(gè)凸最優(yōu)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題求解，即基追蹤。其他重建算法還有匹配追蹤算法、最小全變分法等。

2 壓縮傳感估計(jì)方法

考慮如下n維動(dòng)力系統(tǒng)：

其中x＝（x1，x2，…，xn）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量，p為系統(tǒng)參數(shù)。

當(dāng)系統(tǒng)在某參數(shù)p下演化時(shí)，獲得第i個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)變量μ個(gè)測(cè)量值（xi（t1），xi（t2），…，xi（tμ）），并根據(jù)測(cè)量值求得），…，同時(shí)求得矩陣φ的μ個(gè)行向量?φ（t1），φ（t2），…，φ（tμ），由此獲得如下等式：

其中Ai為由系數(shù)（ai）j1，j2，…，jn組成的列向量，利用壓縮傳感便可以估計(jì)出Ai的值，由于Ai與系統(tǒng)各項(xiàng)存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，便可估計(jì)出系統(tǒng)的方程。為了滿(mǎn)足約束等距性，將矩陣φ的每個(gè)元素除以該元素所在列的2－范數(shù)。

3 模型辨識(shí)

Lorenz系統(tǒng)和R?ssler系統(tǒng)為研究非線(xiàn)性系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的常用方法，是用于驗(yàn)證混沌控制方法的常用對(duì)象，2個(gè)系統(tǒng)描述如下。

Lorenz系統(tǒng)：

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a＝10，b＝28，c＝8／3時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

R?ssler系統(tǒng)：

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)d＝0.2，e＝0.2，f＝5.7時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

對(duì)于確定性系統(tǒng)而言，選取的冪指數(shù)越大意味著求取的向量越稀疏。以L(fǎng)orenz系統(tǒng)取冪指數(shù)d＝3為例，在ti時(shí)刻，

共64項(xiàng)，由式（5）可見(jiàn)，對(duì)而言只有x（ti）1y（ti）0z（ti）0，x（ti）0y（ti）1z（ti）0這2項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的系數(shù)為非零，其余項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的系數(shù)皆為零；同理只有x（ti）1y（ti）0z（ti）0，x（ti）0y（ti）1z（ti）0，x（ti）1y（ti）0z（ti）1這3項(xiàng)為非零只有x（ti）1y（ti）1z（ti）0，x（ti）0y（ti）0z（ti）1這2項(xiàng)為非零。φ（ti）的系數(shù)向量為一稀疏向量，根據(jù)壓縮傳感原理，通過(guò)μ個(gè)的值和φ（t1），φ（t2），…，φ（tμ），可以估計(jì)出φ（ti）所對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量Ai非零系數(shù)向量同理可得。

由于未知系統(tǒng)方程形式，定義絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差存在困難，利用估計(jì)值在某個(gè)滑動(dòng)窗內(nèi)波動(dòng)范圍小于某一小的正實(shí)數(shù)ε來(lái)確定估計(jì)是否完成，即第i個(gè)系數(shù)在某時(shí)刻τ滿(mǎn)足

其中，j＞N且j∈｛τ－N＋1，τ－N＋2，…，τ｝，ε為估計(jì)精度。

4 負(fù)反饋混沌控制

根據(jù)測(cè)得的時(shí)間序列，按前述方法估計(jì)出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，將估計(jì)得到的動(dòng)力學(xué)方程按照文獻(xiàn)［3］的控制策略將混沌系統(tǒng)控制到設(shè)定目標(biāo)上。

為了使2個(gè)系統(tǒng)都穩(wěn)定在x＝p1，y＝p2點(diǎn)上，

Lorenz控制輸入取為

R?ssler控制輸入取為

根據(jù)穩(wěn)定性條件＝0，參數(shù)d1，d2，d3，d4分別為

為了將系統(tǒng)控制到任意周期軌道上，用一個(gè)外部振蕩器產(chǎn)生正弦信號(hào)x＝p1＝rsin（ωt），y＝p2＝cos（ωt），代入式（9）、式（10）得到相應(yīng)控制參數(shù)，將式（9）、式（10）代入式（7）、式（8）得到控制輸入。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

Lorenz系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)辨識(shí)，取最大冪指數(shù)d＝3，共有64個(gè)系數(shù)，步長(zhǎng)為0.01時(shí)，系數(shù)估計(jì)值隨時(shí)間序列向量個(gè)數(shù)的關(guān)系如圖1—圖3所示，可以看出，非零項(xiàng)快速收斂到其真實(shí)值，零項(xiàng)收斂到零。而利用遞推最小二乘法估計(jì)的結(jié)果收斂速度很慢且有較大的穩(wěn)態(tài)誤差，如圖4－圖6所示。根據(jù)非零系數(shù)與非零項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，便估計(jì)出了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。

取初始值不同，完成辨識(shí)的速度也不同。對(duì)Lorenz系統(tǒng)而言，當(dāng)步長(zhǎng)取0.01，初始值選擇為x（0）＝2.5，y（0）＝－1.8，z（0）＝0.5時(shí)，按式（6）條件需要304個(gè)點(diǎn)才能完成估計(jì)，相同步長(zhǎng)下初始值選擇為x（0）＝0.01，y（0）＝0.03，z（0）＝0.05時(shí)，只需207個(gè)點(diǎn)就可以完成估計(jì)。如果將估計(jì)參數(shù)按式（6）中ε精度舍入，則估計(jì)得到的方程就是Lorenz系統(tǒng)的實(shí)際方程。

當(dāng)取p1＝2.5，p2＝－1時(shí)，第20s時(shí)施加控制，施加控制后系統(tǒng)變量很快被控制到了固定點(diǎn)上，而當(dāng)?shù)?0s時(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，由Lorenz系統(tǒng)變?yōu)镽?ssler系統(tǒng)，重新啟動(dòng)系統(tǒng)辨識(shí)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后得到了時(shí)間序列新的動(dòng)力學(xué)方程。在第60s時(shí)再一次施加控制，經(jīng)過(guò)短暫幾秒系統(tǒng)重新回到目標(biāo)點(diǎn)（x，y）＝（p1，p2）上，如圖7所示。將系統(tǒng)控制到產(chǎn)生周期振蕩上，取r＝5，ω＝3，如圖8所示，也得到了良好的效果。

對(duì)于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的辨識(shí)其實(shí)收斂速度非?？?，圖8中從約第19s開(kāi)始辨識(shí)，到第20s時(shí)已達(dá)辨識(shí)精度要求。辨識(shí)完成后開(kāi)始實(shí)施控制，第60s只是施加控制的時(shí)間，只需不到2s便可辨識(shí)出新系統(tǒng)，而并非經(jīng)過(guò)20s才能將系統(tǒng)辨識(shí)出來(lái)，圖8只是為了顯示更直觀一些。

當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不變而參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，如定點(diǎn)控制中，Lorenz系統(tǒng)參數(shù)b由28變成100時(shí)，控制系統(tǒng)會(huì)收斂到另一點(diǎn)上，由于不滿(mǎn)足約束等距性，這時(shí)利用壓縮傳感不能估計(jì)出系統(tǒng)方程。解決辦法是零控制輸入為零，讓系統(tǒng)回到混沌狀態(tài)，重新辨識(shí)參數(shù)后再施加控制。

6 結(jié) 論

主要研究了在未知混沌系統(tǒng)方程下僅通過(guò)時(shí)間序列控制混沌的方法，將系統(tǒng)方程辨識(shí)方法應(yīng)用于混沌自適應(yīng)控制的辨識(shí)過(guò)程中。相比于利用離線(xiàn)逼近方法控制混沌，本方法是一種在線(xiàn)的辨識(shí)；相比于無(wú)模型混沌控制，本方法是一種“已知”系統(tǒng)模型的混沌控制，可以實(shí)現(xiàn)輸出預(yù)測(cè)，避免邊界危機(jī)；相比于最小二乘法估計(jì)系統(tǒng)方程和結(jié)構(gòu)，本方法收斂速度很快且?guī)缀鯖](méi)有穩(wěn)態(tài)誤差。提出的基于壓縮傳感的混沌自適應(yīng)控制方法實(shí)現(xiàn)了在未知混沌系統(tǒng)方程情況下，首先利用輸出時(shí)間序列估計(jì)出了Lorenz和R?ssler系統(tǒng)的方程和參數(shù)，并使用負(fù)反饋控制將混沌系統(tǒng)成功控制在某一固定點(diǎn)或周期振蕩上，系統(tǒng)方程辨識(shí)過(guò)程和混沌控制過(guò)程均有很快的收斂速度。該控制方法在保密通信、生物工程、控制工程等領(lǐng)域有潛在的應(yīng)用，為混沌控制提供了一個(gè)新的思路。

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Adaptive control of chaos based on compressive sensing

ZHAO Ying－bao1，HUANG Li－min2
（1.College of Electrical Engineering，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China；2.Modern Education Technology Center，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China）

An adaptive chaos control method is proposed，using compressed sensing to identify equations and parameters of chaotic systems based only on the output time series，and using negative feedback control of chaotic system to set goals.Lorenz and the R?ssler system is used to illustrate the identfication and control of equations and parameters of the time－varying structure system.First the Lorenz system is controlled to a fixed point or periodic oscillations.When the structure changes to R?ssler，the new structure and its parameters is recognized，and the system retruns to the control objectives again.The results show that，compared to least－squares method，the method can be realized with less data，while the model structure and parameters are estimated with high accuracy.Then negative feedback can be used to control rapidly the system to the set goals.

compression sensing；negative feedback control；model estimation；chaos control；parameter estimation

TP273＋.2

A

1008－1542（2012）03－0248－05

2011－12－24；責(zé)任編輯：陳書(shū)欣

趙英寶（1972－），男，河北張家口人，講師，主要從事電力電子、模糊控制方面的研究。