任 燦， 宋曉秋

(中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

雙連續(xù)α次積分C-半群的概率逼近問題

任 燦， 宋曉秋

(中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

基于局部凸拓?fù)洇拥腂anach空間X上雙連續(xù)α次積分C半群性質(zhì)的研究，用概率論的方法，將算子半群理論和逼近論相結(jié)合，利用n次積分C半群收斂速度的概率型估計式、Riemann-Stieltjes積分、算子值數(shù)學(xué)期望、連續(xù)修正模的概念及雙連續(xù)C半群的概率逼近，給出了雙連續(xù)α次積分C半群的概率型逼近式及收斂速度的估計式。

雙連續(xù)α次積分C半群;概率型逼近;逼近定理

0 引言

雙連續(xù)α次積分C半群是近年來提出的一類算子半群。文獻(xiàn)［1］在Banach空間上附加了一個比范數(shù)拓?fù)浯值木植客雇負(fù)?，使半群在局部凸拓?fù)湎聫?qiáng)連續(xù)，從而提出了雙連續(xù)α次積分C半群的概念。

在半群與概率論發(fā)生聯(lián)系以后，概率論的術(shù)語被廣泛應(yīng)用于對算子半群表示定理的描述。概率論的運(yùn)用很大程度上簡化并擴(kuò)充了絕大部分的估計問題，文獻(xiàn)［2-9］在該領(lǐng)域取得了一系列的成果，給出了C半群的概率表示式，并提供了這些公式收斂速度的精確估計。筆者將概率論的方法引入到雙連續(xù)α次積分C半群理論，給出了雙連續(xù)α次積分C半群的概率型逼近式及收斂速度的估計式。

1 基本概念和性質(zhì)

設(shè)X是Banach空間，X'是它的共軛空間，τ是X上的一個局部凸拓?fù)洳⑶揖哂幸韵滦再|(zhì):

(i)空間(X，τ)是在‖·‖有界集上序列完備，即每個‖·‖有界的τ柯西列在(X，τ)中收斂;

(ii)τ拓?fù)浔取ぁ負(fù)浯智?τ是 Hausdorff拓?fù)?

(iii)(X，‖·‖)中的范數(shù)可以由空間(X，τ)'定義，即對每個x∈X，

為方便起見，記 Φ ={φ∈(X，τ)'，‖φ‖(X，‖·‖)'}，pτ是X上的局部凸拓?fù)洇铀鶎?yīng)的半范數(shù)族。不妨認(rèn)為p(x)≤‖x‖，對所有的x∈X，p∈p［1］τ。

定義1 設(shè)C∈L(Χ)，且為單射，算子族{S(t):t≥0}?L(X)稱為雙連續(xù)α次積分C-半群，如果

(4){S(t):t≥0}強(qiáng) τ連續(xù)，即?x∈X，映射 t→S(t)x τ- 連續(xù);

(5){S(t):t≥0}局部等度雙連續(xù)。

定義2 算子族{S(t):t≥0}?L(X)稱為指數(shù)有界的，如果?M≥0，ω∈ ，滿足‖S(t)‖≤Meωt。

如雙連續(xù)α次積分C-半群指數(shù)有界，則稱{S(t):t≥0}為指數(shù)有界的雙連續(xù)α次積分C-半群，記為 G(α，M，ω，C)，Λω={λ∈ ，Re λ ＞ ω}。

設(shè)X為Banach空間，L(X)為X中一切有界線性算子全體，A為X中的線性算子，D(A)，Im(A)，ρ(A)及R(λ，A)表示定義域、值域、預(yù)解集及預(yù)解式。設(shè)C∈L(X)且為單射，ρc(A)={λ:λ-A為單射且Im C?Im(λ-A)}稱為A的C-預(yù)解集，Rc(λ，A)=(λ-A)-1C稱為A的C-預(yù)解式。

定義 3［10］設(shè) C∈L(Χ)，稱函數(shù) R(·):D(R)→L(X)為 C-偽預(yù)解式，如果 R(λ)C=CR(λ)，且(λ -μ)R(λ)R(μ)=R(μ)C-R(λ)C，λ，μ∈D(R)。

定義 4 設(shè){S(t):t≥0}∈G(α，M，ω，C)，?λ∈Λω，記

D(A)·C-1［Im R(λ)］={x∈X，Cx∈Im［R(λ)］}，其中線性算子 A:D(A)?X→X為 Ax=［λ-(λ) ］x，x∈D(A)，算子 A 稱為{S(t):t≥0}的生成元。

性質(zhì)1 設(shè){S(t):t≥0}∈G(α，M，ω，C)，A 為{S(t):t≥0}的生成元，則以下結(jié)論成立:

2 主要結(jié)論

設(shè)A為X重稠定閉的線性算子［10］，C為單射有界算子。類似文獻(xiàn)［11］中定義，若存在常數(shù)M≥1，ω∈ 及強(qiáng)連續(xù)且強(qiáng)τ-連續(xù)的有界線性算子族{S(t):t≥0}，使得

那么，稱A為雙連續(xù)α次積分C-半群的生成元，而{S(t):t≥0}為雙連續(xù)α次積分C-半群。

定理1 設(shè)A生成一個指數(shù)有界的雙連續(xù)α次積分C半群{S(t):t≥0}，則

證明 對式(1)進(jìn)行連續(xù)分布積分k次，在利用指數(shù)有界性及性質(zhì)1(5)即可得證。

定理2 設(shè)A是一個閉算子，{S(t):t≥0}是由A所生成的雙連續(xù)α次積分C半群，且存在，M'≥0，ω'∈ ，使得‖S(［α］)(t)‖≤M'eω't，那么對任意x∈D(A［α］)和 t＞0，有

且上述極限在t的任何有限區(qū)間上的收斂是一致的。

證明 由式(2)可得，對于任意 x∈D(A［α］)，Re λ≥ω，有

將該式兩端關(guān)于λ求m-1次導(dǎo)數(shù)，并令s=vt，λ=m/t，可得

令μ→λ，右端利用可導(dǎo)定義，可得R'(λ，A)Cx=-R2(λ，A)Cx，由歸納法得

且上述極限在t的任何有限區(qū)間上的收斂是一致的。

定義 5［12］設(shè) b ＞0，x∈R(C)，{T(t)}t≥0為雙連續(xù)C半群，記

該式稱之為雙連續(xù) C半群{T(t):t≥0}在［0，b］上的連續(xù)修正模，其中a＞0。

引理2［13］設(shè)U，V是相互獨(dú)立的非負(fù)實值隨機(jī)變量，E(etU)，E(etV)在t=η處是有限的，那么對雙連續(xù) C 半群{T(t):t≥0}，期望 E［T(U)］，E［T(V)］，E［T(U+V)］在 B(X)中存在，且有

引理3［13］設(shè){T(t):t≥0}為雙連續(xù)C半群，U為非負(fù)實值隨機(jī)變量，E(U)，var(U)=σ2存在，則?ε＞0，當(dāng)0≤E(U)≤b-ε(b＞0)時，有估計式

定理3 設(shè)A是一個閉算子，{S(t):t≥0}是由A所生成雙連續(xù)α次積分C半群，且存在M'≥0，ω'∈ 使得‖S(［α］)(t)‖≤M'eω't，x∈D(A［α］)。U是非負(fù)實值隨機(jī)變量，使得

}是由算子AY所生成的指數(shù)有界的雙連續(xù)C半群，其中AY是指A在Y中的部分，即

故(b)得證。

推論1 設(shè)A是一個閉算子，{S(t):t≥0}是由A所生成的雙連續(xù)α次積分C半群，且存在，M'≥0，ω'∈ ，使得‖S(［α］)(t)‖≤M'eω't，x∈D(A［α］)。U是服從指數(shù)分布的非負(fù)實值隨機(jī)變量

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Probabilistic approximations for bi-continuousα-times integrated C-semigroups

REN Can，SONG Xiaoqiu
(College of Sciences，China University of Mining＆ Technology，Xuzhou 221116，China)

Based on the properties of the bi-continuous α-times integrated C-semigroups on Banach space X endowed with an additional locally convex topology τ，this paper features some brief probabilistic approximations and convergent rates by using the probability method，combining the theory of semigroups of linear operators with approximation theory，and depending on the probabilistic estimation of convergence rate for n-times integrated C-semigroups，Riemann-Stieltjes integral，operator-valued mathematical expect and continuous modified modulus and the probabilistic approximations of bi-continuous α-times integrated C-semigroups.

bi-continuous α-times integrated C-semigroups;probabilistic approximations;approximation theorem

O177

A

1671-0118(2012)01-0102-05

2012-01-10

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金項目(LKO104)

任 燦(1987-)，女，安徽省宿州人，碩士，研究方向:應(yīng)用泛函分析，E-mail:rencan0502@163.com。

(編輯 晁曉筠)