趙永濤，胡云安，耿寶亮，戴衛(wèi)祥

（1.海軍航空工程學(xué)院 控制工程系，山東 煙臺(tái)264001；2.92060部隊(duì) 軍械教研室，遼寧 大連116000）

艦空導(dǎo)彈的飛行末端一般采用比例導(dǎo)引律，但當(dāng)目標(biāo)做大機(jī)動(dòng)飛行時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的脫靶量.而修正比例導(dǎo)引律、最優(yōu)導(dǎo)引律和微分對(duì)策導(dǎo)引律為達(dá)到盡可能小的脫靶量，需要引入各種準(zhǔn)確的測(cè)量信息，尤其需要的是目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度、導(dǎo)彈剩余飛行時(shí)間等信息，這大大增加了導(dǎo)引律在工程實(shí)現(xiàn)上的復(fù)雜性[1～4].

鑒于變結(jié)構(gòu)控制對(duì)外界干擾和參數(shù)攝動(dòng)的強(qiáng)魯棒性，很多文獻(xiàn)都對(duì)變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律進(jìn)行了研究，且選取彈目視線角速度或彈目相對(duì)距離作為滑模面[5～8].考慮到視線角速度隨相對(duì)距離的減小會(huì)急劇變化，并且采用視線角速度或相對(duì)距離作為零化目標(biāo)的導(dǎo)引算法不能適用于任意初始導(dǎo)彈和目標(biāo)方位角，為此，文獻(xiàn)[9～11]針對(duì)平面攔截情況，在平面內(nèi)選擇導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)速度偏角作為零化目標(biāo)，設(shè)計(jì)了基于零化相對(duì)速度偏角的二維末制導(dǎo)律，但未對(duì)基于零化相對(duì)速度偏角的空間制導(dǎo)律進(jìn)行研究.本文針對(duì)艦空導(dǎo)彈空間攔截掠海大機(jī)動(dòng)目標(biāo)問(wèn)題，在建立三維空間導(dǎo)彈攔截目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，對(duì)空間攔截情況下的相對(duì)速度偏角進(jìn)行了定義，并選取空間相對(duì)速度偏角作為滑模面，設(shè)計(jì)了一種基于零化相對(duì)速度偏角的空間三維變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律，并給出了導(dǎo)引指令信息解算模型，仿真結(jié)果驗(yàn)證了在對(duì)抗目標(biāo)大機(jī)動(dòng)和低空目標(biāo)視線角速度量測(cè)噪聲等方面，所設(shè)計(jì)導(dǎo)引律比傳統(tǒng)的空間末制導(dǎo)律具有更強(qiáng)的魯棒性.

1 三維空間導(dǎo)彈攔截目標(biāo)模型的建立

三維空間中導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示.

圖1 三維攔截幾何圖

圖1中，MXcYcZc為參考坐標(biāo)系（簡(jiǎn)稱c系），MXmYmZm為導(dǎo)彈彈道坐標(biāo)系（簡(jiǎn)稱 m系），TXtYtZt為目標(biāo)彈道坐標(biāo)系（簡(jiǎn)稱t系），MXLYLZL為視線坐標(biāo)系（簡(jiǎn)稱L系）.（εL，βL）是參考坐標(biāo)系到視線坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的歐拉角，即視線高低角和視線方位角；（εm，βm）是視線坐標(biāo)系到導(dǎo)彈彈道坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的歐拉角；（εt，βt）是視線坐標(biāo)系到目標(biāo)彈道坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的歐拉角；M和T分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo)，R為導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對(duì)距離.

假定導(dǎo)彈和目標(biāo)均作質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，vm和vt分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的速度（用vm，vt分別表示其數(shù)值大?。?；am，at分別為導(dǎo)彈與目標(biāo)的加速度.

由圖1，建立導(dǎo)彈和目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的空間矢量方程：

式中：i，j，k為坐標(biāo)系各軸對(duì)應(yīng)的單位矢量；ω為視線角速度矢量，L/c表示L系相對(duì)c系旋轉(zhuǎn)，上標(biāo)L表示在L系的投影；ayt，azt分別為目標(biāo)加速度at在t系jt軸和kt軸的投影；aym，azm分別為導(dǎo)彈加速度am在m系jm軸和km軸的投影.

對(duì)式（1）的矢量方程進(jìn)行變換和推導(dǎo)后[2]，可以得到三維空間導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：

2 基于零化相對(duì)速度偏角的三維變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 空間攔截相對(duì)速度偏角定義

設(shè)導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)速度用vr表示，定義為vr＝vt－vm.建立相對(duì)速度坐標(biāo)系MXrYrZr（簡(jiǎn)稱r系）：原點(diǎn)為導(dǎo)彈質(zhì)心；MXr軸指向相對(duì)速度的正向；MYr軸在包含MXr軸的鉛垂面內(nèi)，垂直于MXr軸，向上為正；MZr軸垂直于MXrYr平面，其方向按右手定則確定.相對(duì)速度坐標(biāo)系與視線坐標(biāo)系的關(guān)系如圖2所示.

圖2中，εr稱為相對(duì)速度偏角高低角，定義為相對(duì)速度vr與其在視線坐標(biāo)系MXLYL的投影之間的夾角，若相對(duì)速度在MXLYL面之上，則εr為正，反之為負(fù).βr為相對(duì)速度偏角方位角，定義為相對(duì)速度vr在視線坐標(biāo)系MXLYL的投影與視線坐標(biāo)系MXL軸之間的夾角.由MXL軸逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)至相對(duì)速度在視線坐標(biāo)系MXLYL的投影線時(shí)，βr為正，反之為負(fù).

圖2 相對(duì)速度坐標(biāo)系和視線坐標(biāo)系

視線坐標(biāo)系到相對(duì)速度坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣CrL為

2.2 導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

假設(shè)導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)加速度為ar，由相對(duì)速度的定義，相對(duì)加速度空間矢量方程為

由圖2，得：

將式（11）和式（12）代入到式（10），并令ar＝（arxaryarz）T，可得：

由式（10），有

式中，

式（13）～式（15）即為相對(duì)速度偏角角速度與導(dǎo)彈和目標(biāo)加速度之間的關(guān)系表達(dá)式.

選取滑模面：

選取趨近律為

式中，k1＞0，ζ1＞0，k2＞0，ζ2＞0.

對(duì)式（16）求導(dǎo)，并由式（13）和式（15），結(jié)合式（18），得：

式中，

對(duì)式 （17）求導(dǎo)，由 式 （14）、式 （15），并結(jié)合式（19），得：

式中，

由式（20）和式（22），并將目標(biāo)加速度和方位信息視為干擾量，解得導(dǎo)彈俯仰通道指令aym和偏航通道指令azm分別為

2.3 指令信息解算模型

由2.2節(jié)的導(dǎo)引指令式（24）和式（25）可見(jiàn)，實(shí)現(xiàn)基于零化相對(duì)速度偏角的三維制導(dǎo)律需要（，，，εm，βm，vr，εr，βr）信 息.其 中 ，（，，）由 末制導(dǎo)雷達(dá)導(dǎo)引頭提供，而（εm，βm，vr，εr，βr）需要通過(guò)解算獲得.下面給出（εm，βm，vr，εr，βr）信息的解算模型.

選取參考坐標(biāo)系為地面坐標(biāo)系OXdYdZd（簡(jiǎn)稱d系）.其定義為：與地球固聯(lián)，原點(diǎn)取飛行器質(zhì)心在水平面上的投影，OXd軸在水平面內(nèi)，指向目標(biāo)為正；OYd軸與地面垂直，向上為正；OZd軸按右手定則確定.εL，βL由末制導(dǎo)雷達(dá)導(dǎo)引頭提供；θm，ψvm分別為導(dǎo)彈彈道傾角與彈道偏角，由彈載慣性測(cè)量裝置提供.導(dǎo)彈速度視線坐標(biāo)系的投影為

式中，

εm和βm的解算如下：

設(shè)相對(duì)速度矢量vr在視線坐標(biāo)系的投影為（vrxLvryLvrzL）T，由相對(duì)速度的定義得：

由式（29），可得相對(duì)速度：

相對(duì)速度偏角高低角：

相對(duì)速度偏角方位角

3 仿真分析

設(shè)定仿真參數(shù)為：導(dǎo)彈初始位置（xm，ym，zm）為（0，3 000，0）（單位：m），初始彈道傾角θm1＝－10°，初始彈道偏角ψvm＝－4°；目標(biāo)初始位置（xt，yt，zt）為（20 000，5，1 000）（單位：m），以600m/s的速度勻速平飛，側(cè)向加速度azt＝100cos（0.5t）m/s2.

將導(dǎo)彈視為一階延遲環(huán)節(jié)，速度變化規(guī)律為vm＝1 500cos（0.03t）m/s，依據(jù)導(dǎo)引指令信息解算模型，對(duì)設(shè)計(jì)的基于零化相對(duì)速度偏角的三維變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律（VVSG）與增廣比例導(dǎo)引律（APNG）進(jìn)行仿真，其中，增廣比例導(dǎo)引律的指令見(jiàn)文獻(xiàn)[2].仿真結(jié)果如圖3～圖7所示.

圖3為導(dǎo)彈與目標(biāo)空間相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡，目標(biāo)在側(cè)向平面內(nèi)作幅值為800m，周期為7 000m的蛇行機(jī)動(dòng)；圖4和圖5為滑模面S1和S2隨時(shí)間變化的曲線；圖6為導(dǎo)彈在彈道坐標(biāo)系的縱向過(guò)載ny隨時(shí)間變化的曲線；圖7為導(dǎo)彈在彈道坐標(biāo)系的側(cè)向過(guò)載nz隨時(shí)間變化的曲線.

圖3 導(dǎo)彈－目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)

圖4 滑模面S1變化曲線

圖5 滑模面S2變化曲線

圖6 導(dǎo)彈縱向過(guò)載ny變化曲線

圖7 導(dǎo)彈側(cè)向過(guò)載nz變化曲線

由圖3可見(jiàn)，導(dǎo)彈彈道平滑，精確命中目標(biāo).由圖4和圖5可見(jiàn)滑模面S1和S2在制導(dǎo)初始時(shí)刻迅速趨于零，隨著目標(biāo)的機(jī)動(dòng)，滑模面一直在零附近來(lái)回趨近，使得導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)速度一直指向目標(biāo)，確保精確命中目標(biāo).由圖6和圖7可見(jiàn)，采用所設(shè)計(jì)的基于零化相對(duì)速度偏角的空間變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律，在減小末端需用過(guò)載方面優(yōu)于增廣比例導(dǎo)引律.

選取不同的視線角速度測(cè)量噪聲均值，比較采用基于零化相對(duì)速度偏角的變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律和增廣比例導(dǎo)引律2種導(dǎo)引規(guī)律時(shí)導(dǎo)彈的飛行時(shí)間與脫靶量.仿真結(jié)果見(jiàn)表1，表中，E為噪聲均值，t為導(dǎo)彈飛行時(shí)間，D為脫靶量.

表1 視線角速度量測(cè)噪聲對(duì)導(dǎo)彈飛行時(shí)間與脫靶量的影響結(jié)果

由表1的仿真結(jié)果可見(jiàn)，所設(shè)計(jì)基于零化相對(duì)速度偏角的變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律對(duì)視線角速度測(cè)量噪聲較增廣比例導(dǎo)引律具有更強(qiáng)的魯棒性.

綜上，圖3至圖7和表1的仿真結(jié)果不僅表明了所設(shè)計(jì)基于零化相對(duì)速度偏角的三維末制導(dǎo)律和指令信息解算模型的正確性，還驗(yàn)證了此末制導(dǎo)律對(duì)目標(biāo)大機(jī)動(dòng)和視線角速度測(cè)量噪聲具有的強(qiáng)魯棒性.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)艦空導(dǎo)彈末端攔截掠海飛行目標(biāo)問(wèn)題，在空間選取導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)速度偏角作為零化目標(biāo)，設(shè)計(jì)了一種基于零化相對(duì)速度偏角的三維變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律，仿真結(jié)果驗(yàn)證了在對(duì)抗目標(biāo)大機(jī)動(dòng)和低空目標(biāo)視線角速度量測(cè)噪聲等方面，所設(shè)計(jì)導(dǎo)引律比傳統(tǒng)的空間末制導(dǎo)律具有更強(qiáng)的魯棒性，對(duì)基于零化相對(duì)速度偏角的導(dǎo)引算法設(shè)計(jì)思想在空間的推廣具有一定的理論和借鑒價(jià)值.

[1]周荻.尋的導(dǎo)彈新型導(dǎo)引規(guī)律[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2002.ZHOU Di.Novel guidance law for homing missile[M].Beijing：National Defense Industry Press，2002.（in Chinese）

[2]張友安，胡云安.導(dǎo)彈控制和制導(dǎo)的非線性設(shè)計(jì)方法[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2003：154－162.ZHANG You－an，HU Yun－an.Nonlinear design approaches for missile control and guidance[M].Beijing：National Defense Industry Press，2003：154－162.（in Chinese）

[3]BYUNG S K，JANG G L，HYUNG S H.Biased PNG law for impact with angular constraint[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1998，34（1）：277－288.

[4]TAL S.Optimal cooperative pursuit and evasion strategies against a homing missile[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2011，34（2）：414－425.

[5]宋建梅，張?zhí)鞓?帶末端落角約束的變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律[J].彈道學(xué)報(bào)，2001，13（1）：16－20.SONG Jian－mei，ZHANG Tian－qiao.The passive homing missile’s variable structure proportional navigation with terminal impact angular constraint[J].Journal of Ballistics，2001，13（1）：16－20.（in Chinese）

[6]YU Xing－h(huán)uo，MAN Zhi－h(huán)ong.Fast terminal sliding mode control design for nonlinear dynamical systems[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I：Fundamental Theory and Applications，2004，49（2）：261－265.

[7]TAL S，MOSHE I，ODED M G.Sliding mode control for integrated missile autopilot－guidance[C].AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit.Providence，Rhode Island：AIAA，2004：1－18.

[8]JONGKI M，KISEOK K，YOUDAN K.Design of missile guidance law via variable structure control[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2001，24（4）：659－664.

[9]張友安，胡云安，蘇身榜.一種基于變結(jié)構(gòu)控制的魯棒制導(dǎo)算法設(shè)計(jì)[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2001，23（4）：61－63.ZHANG You－an，HU Yun－an，SU Shen－bang.A robust guidance algorithm design using variable structure control[J].Systems Engineering and Electronics，2001，23（4）：61－63.（in Chinese）

[10]郭鴻武，林維菘，劉明俊.基于相對(duì)速度偏角的變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律[J].宇航學(xué)報(bào)，2001，22（3）：33－37.GUO Hong－wu，LIN Wei－song，LIU Ming－jun.A variable structure guidance law based on relative velocity deflection angle[J].Journal of Astronautics，2001，22（3）：33－37.（in Chinese）

[11]林嘉新，趙永濤，胡云安.一種基于零化相對(duì)速度偏角的變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[J].海軍航空工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，24（6）：646－650.LIN Jia－xin，ZHAO yong－tao，HU Yun－an.Design of a variable structure terminal guidance law based on relative velocity deflection angle[J].Journal of Naval Aeronautical and Astronautical University，2009，24（6）：646－650.（in Chinese）