何波祿，周 紅，杜王群，張慧增

（1.杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036；2.杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，浙江杭州 310036）

城市表層土壤重金屬污染的數(shù)學(xué)模型

何波祿1，周 紅1，杜王群2，張慧增1

（1.杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036；2.杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，浙江杭州 310036）

在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析基礎(chǔ)上對(duì)城市表層土壤重金屬污染進(jìn)行建模分析.針對(duì)污染程度，建立了模糊綜合評(píng)判模型和基于集對(duì)分析與三角模糊數(shù)耦合的綜合評(píng)價(jià)模型，經(jīng)比較驗(yàn)證，后者更符合實(shí)際.同時(shí)建立了基于流體力學(xué)的污染物對(duì)流傳播模型和基于多目標(biāo)線性規(guī)劃的污染源坐標(biāo)模型，用于確定污染源位置，分析結(jié)果表明后者更優(yōu).

集對(duì)分析；模糊數(shù)學(xué)綜合評(píng)價(jià)模型；對(duì)流傳播；多目標(biāo)線性規(guī)劃

隨著城市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動(dòng)對(duì)城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出.對(duì)城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應(yīng)用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開(kāi)展城市環(huán)境質(zhì)量評(píng)價(jià)，研究人類活動(dòng)影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關(guān)注的焦點(diǎn).大量研究者致力于為城市生態(tài)環(huán)境調(diào)控和人類的可持續(xù)發(fā)展提供合理、科學(xué)、可行性強(qiáng)的決策依據(jù).如彭再德、李德豪等人使用模糊數(shù)學(xué)方法確定污染程度［1－4］；王海東等［5］使用聚類分析和主成分分析法確定污染源的位置；賈邦宇［6］構(gòu)建了重金屬污染物在土壤環(huán)境中的運(yùn)移模型用于尋找污染源.但上述方法往往需要收集大量數(shù)據(jù)，計(jì)算量大，分析過(guò)程與解題方法也較為復(fù)雜.

本選題為2011年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題，擬根據(jù)某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并求解確定該區(qū)域5個(gè)功能區(qū)（生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、交通區(qū)和公園綠地）重金屬的污染程度和污染源位置.

1 土壤重金屬污染程度模型與求解

1.1 數(shù)據(jù)的圖形展示

利用MATLAB軟件，根據(jù)原始數(shù)據(jù)繪制出該城市5個(gè)功能區(qū)在等高線地圖上的分布情況，如圖1.

從圖1中可以明顯看出該城市是一個(gè)沿海城市，數(shù)據(jù)采集樣點(diǎn)比較均勻.為能觀察各金屬在城區(qū)的空間分布，暫不考慮海拔的影響，在二維坐標(biāo)平面上畫(huà)出8種重金屬的等濃度空間分布圖，以Hg為例，見(jiàn)圖2.

金屬的濃度從暖色調(diào)到冷色調(diào)呈遞減趨勢(shì)，即越紅表示該金屬的濃度越高，越藍(lán)則表示該金屬的濃度越低，顯然在點(diǎn)（16 000，9 500）、（13 500，2 000）、（2 500，2 100）附近金屬Hg的含量很高，可以推測(cè)附近有污染源，并且對(duì)比圖1，可以確定某種金屬污染物密集于哪個(gè)功能區(qū)域，如高濃度Hg所在的功能區(qū)域?yàn)榻煌▍^(qū).

1.2 模糊綜合評(píng)判模型

從圖形中可以定性地了解8種金屬在各區(qū)域的空間分布情況，為得到不同區(qū)域中重金屬污染程度，需要進(jìn)行定量分析求解，本文首先建立模糊綜合評(píng)判數(shù)學(xué)模型.

對(duì)某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進(jìn)行調(diào)查，獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，選取砷（As）、鎘（Cd）、鉻（Cr）、銅（Cu）、汞（Hg）、鎳（Ni）、鉛（Pb）、鋅（Zn）8種重金屬為評(píng)價(jià)因素.在環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)手冊(cè)［7］上查找出該8種土壤重金屬污染的等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，如表1.

《環(huán)境土壤學(xué)》［8］中為眾多重金屬對(duì)生物的毒性進(jìn)行排序，依次為Cd＞Zn＞As＞Cr＞Hg＞Cu＞Pb＞Ni.在該模型中筆者根據(jù)金屬對(duì)生物的毒性從大到小順序賦予此8種金屬特定的值（1到8），利用層次分析法計(jì)算各重金屬的權(quán)重，結(jié)果如下：

表1 土壤重金屬污染等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)Tab.1 The level standard of heavy metal comtamination in soils

記生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、交通區(qū)和公園綠地區(qū)分別為區(qū)域1、區(qū)域2、區(qū)域3、區(qū)域4和區(qū)域5.對(duì)各城區(qū)重金屬濃度采用統(tǒng)計(jì)分析法，得到每個(gè)城區(qū)各重金屬的評(píng)價(jià)權(quán)重，根據(jù)隸屬度的定義［9］，計(jì)算得到區(qū)域1（生活區(qū)）的評(píng)價(jià)矩陣：

結(jié)合權(quán)重矩陣得區(qū)域1的重金屬污染程度模糊綜合矩陣

由以上數(shù)據(jù)分析，可以得出各功能區(qū)的重金屬污染程度：山區(qū)＜公園綠地區(qū)＜生活區(qū)＜交通區(qū)＜工業(yè)區(qū).

根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果可知各區(qū)域差別不是很大，工業(yè)區(qū)重金屬污染程度屬二級(jí)尚清潔，其他區(qū)域?qū)儆谝患?jí)清潔.各區(qū)域污染程度與實(shí)際情況比較符合，但是在一般情況下工業(yè)區(qū)重金屬污染會(huì)比生活區(qū)嚴(yán)重，而該模型結(jié)果顯示兩者之間的差距不大，未能區(qū)分出相鄰等級(jí)之間的差異.

1.3 基于集對(duì)分析與三角模糊數(shù)耦合的綜合評(píng)價(jià)模型

鑒于上述模型數(shù)據(jù)之間的差異模糊性，不能很好地反映事實(shí)，因此需要改進(jìn)模型，建立一個(gè)基于集對(duì)分析與三角模糊數(shù)耦合的綜合評(píng)價(jià)模型.其原理是首先將土壤中各種污染因子指標(biāo)的實(shí)際值與背景值構(gòu)成一集對(duì)，就這一集對(duì)做同異反決策分析，利用三角模糊數(shù)構(gòu)造其差異度系數(shù)，然后依據(jù)三角模糊數(shù)確定聯(lián)系數(shù)，并結(jié)合評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重來(lái)綜合評(píng)價(jià)土壤重金屬污染程度［10］.

建立多元聯(lián)系數(shù)表達(dá)式：

其中a，b1，b2，b3，c∈［0，1］為聯(lián)系分量，且a＋b1＋b2＋b3＋c＝1；i1，i2，i3分別表示偏同、中、偏反差異度系數(shù).根據(jù)集對(duì)分析理論，可將模糊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)模型上的“清潔”這一標(biāo)準(zhǔn)定義為同一度a，相應(yīng)的同一度系數(shù)看作是1，“嚴(yán)重污染”對(duì)應(yīng)于對(duì)立度c，j＝－1.得到基于三角模糊數(shù)的聯(lián)系數(shù)：

參照表1土壤重金屬污染等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，運(yùn)用MATLAB軟件得到5個(gè)區(qū)域的評(píng)價(jià)等級(jí)值，分別為1.628 3，1.871 1，1.231 6，1.703 9，1.478 4.即重金屬污染程度：山區(qū)＜公園綠地區(qū)＜生活區(qū)＜交通區(qū)＜工業(yè)區(qū).

根據(jù)該模型的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，［1，1.5］為Ⅰ級(jí)，［1.5，2］為Ⅱ級(jí)，從而確定山區(qū)和公園綠地區(qū)為Ⅰ級(jí)清潔，生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、交通區(qū)屬于Ⅱ級(jí)（表2）.該方法評(píng)價(jià)結(jié)果與前一模型相似，各區(qū)域重金屬污染程度排序一致，但是Ⅱ級(jí)污染區(qū)就不止工業(yè)區(qū)一個(gè)，還包括有交通區(qū)和生活區(qū)，這比模糊綜合評(píng)價(jià)法中的等級(jí)劃分更符合實(shí)際，更為合理.

表2 兩個(gè)綜合評(píng)價(jià)模型對(duì)土壤重金屬污染的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果Tab.2 The comprehensive evaluation results of two comprehensive evaluation models for soil heavy metal

由表2可見(jiàn)，集對(duì)分析與三角模糊數(shù)耦合的綜合評(píng)價(jià)法相對(duì)模糊綜合評(píng)價(jià)法更具有合理性，將集對(duì)分析和三角模糊數(shù)耦合評(píng)價(jià)應(yīng)用于土壤重金屬污染評(píng)價(jià)，更能真實(shí)地反應(yīng)出土壤受重金屬污染的程度，且給出的評(píng)價(jià)等級(jí)更加準(zhǔn)確.

2 污染源確定模型與求解

2.1 基于流體力學(xué)的污染物對(duì)流傳播模型

重金屬污染物在土壤中很難降解也不易被土壤微生物分解，是持久性滯留物，其在土壤中的運(yùn)移過(guò)程主要受對(duì)流、擴(kuò)散、彌散和吸附作用等因素的影響.在重金屬污染物進(jìn)入土壤的早期主要受對(duì)流作用的影響，但是隨著時(shí)間的推移，對(duì)流作用的影響逐漸減弱，而擴(kuò)散和彌留在后期起著主要作用.經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間后，重金屬污染物在一定范圍內(nèi)的濃度趨于均勻［6］.由于競(jìng)賽選題未提供時(shí)間段推移的數(shù)據(jù)，故只能研究對(duì)流情況，不考慮擴(kuò)散和彌留作用.

另一方面，土壤中的重金屬流動(dòng)不像水流、空氣中那樣完全按照濃度梯度傳播，還受地勢(shì)的影響。隨著時(shí)間的推移，重金屬必然會(huì)從高海拔向低海拔地區(qū)傳播，無(wú)論低海拔地區(qū)的濃度是否高于高海拔地區(qū).

基于以上金屬污染物在土壤中的傳播特點(diǎn)，本文建立一個(gè)基于流體力學(xué)的污染物對(duì)流傳播模型.假設(shè)重金屬在土壤中的濃度f(wàn)（x，t）是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，其中x＝（x1，x2）中x1，x2分別表示坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，h（x）為高度場(chǎng).

可以把土壤中重金屬污染物的對(duì)流看成是一種流體運(yùn)動(dòng)，得到連續(xù)方程：

其中k（f）表示濃度為f的污染物在傳播中的系數(shù)，它是關(guān)于f的一個(gè)函數(shù).因此連續(xù)方程可以變成

為了尋找污染源，先確定一個(gè)濃度閾值f＊，對(duì)任意t0（0≤t0≤T），記

為該重金屬在土壤中的污染源.

然而本選題只有某個(gè)時(shí)刻重金屬污染物的濃度分布，無(wú)法使用上述模型尋找污染源.因此筆者建立了下面與時(shí)間無(wú)關(guān)的模型來(lái)尋找污染源.

2.2 基于多目標(biāo)線性規(guī)劃的污染源位置坐標(biāo)模型

土壤的結(jié)構(gòu)和金屬的特征決定了金屬在土壤中較穩(wěn)定，短期內(nèi)不會(huì)發(fā)生大幅度變化，外在因素如大氣中的金屬含量、水域中的重金屬污染對(duì)土壤重金屬污染的影響可以忽略，因此可以假設(shè)污染源中心濃度最高，等可能向周圍擴(kuò)散，且濃度大的地區(qū)離污染源近，濃度小的地區(qū)離污染源遠(yuǎn).重金屬在土壤中的傳播特征又表明，海拔對(duì)污染物傳播的影響最大，只要存在高度差污染物就會(huì)從海拔高的向海拔低的地方傳播且不管濃度高低，即符合類似水流地勢(shì)流動(dòng)規(guī)律.下面所建模型即以海拔為最重要影響因素、平面坐標(biāo)系中的距離為次要因素來(lái)探尋每一種重金屬在該城區(qū)中的一個(gè)污染源.

基于以上分析，本文在目標(biāo)規(guī)劃中需把海拔絕對(duì)高度差之和最小化作為最高目標(biāo)，視之為第一級(jí)目標(biāo)，其次再考慮平面坐標(biāo)系中采集得到的污染點(diǎn)與污染源點(diǎn)的歐式距離，將這個(gè)歐式距離最小化作為第二目標(biāo).用（xij，yij，hij，pj）表示第i種重金屬元素在空間點(diǎn)（xij，yij，hij）的濃度pj，假設(shè)污染源坐標(biāo)為（Xi，Yi，Hi）.濃度高的點(diǎn)必然靠近污染源，濃度低的點(diǎn)遠(yuǎn)離污染源，因此可以把污染濃度作為數(shù)據(jù)采集點(diǎn)與污染源點(diǎn)之間距離的權(quán)重.對(duì)各金屬濃度歸一化，將權(quán)值?。词艿轿廴驹从绊懞苄。┑狞c(diǎn)刪去，剩余點(diǎn)作為測(cè)量點(diǎn)用于多目標(biāo)規(guī)劃模型以期求得污染源的空間位置.

多目標(biāo)線性規(guī)劃模型為：

s.t.0≤Xi≤28 654，0≤Yi≤18 449，0≤Hi≤308，0≤Pi≤1（其中Pi為根據(jù)所在位置的濃度歸一化后的權(quán)值），Q1＞Q2＞0.

借助LINGO軟件求得8種重金屬可能的污染源位置坐標(biāo)為As（6 869，7 286，18），Cd（3 518.13，3 773.67，20.47），Cr（4 046.14，4 946.67，6.14），Cu（2 383，3 692，7），Hg（5 672.89，3 841.56，18.02），Ni（5 443.54，6 860.33，10.05），Pb（3 222.39，3 892.15，13.08），Zn（9 520.40，5 095.87，21.34），再通過(guò)MATLAB軟件畫(huà)出其空間位置，如圖3.

依據(jù)圖3結(jié)果，Cd和Pb，Ni和Cr之間距離接近，由此猜測(cè)Cd和Pb，Ni和Cr分別有共同的污染源.因此對(duì)8種重金屬做相關(guān)性分析來(lái)驗(yàn)證猜想是否正確，結(jié)果列于表3.

圖3 污染源空間散點(diǎn)圖Fig.3 The space scatter plot of the pollution sources

表3 8種重金屬的相關(guān)性關(guān)系Tab.3 The correlation relationships of eight heavy metals

從表3中可以看出Cd和Pb，Ni和Cr的相關(guān)性很高，分別為0.66，0.716，其他各金屬相關(guān)性較低，這與圖3所得結(jié)論一致，因此可以認(rèn)為Cd和Pb有相同的污染源，Ni和Cr也有相同的污染源.如此可以把重金屬污染源減少為6處：As（6 869，7 286，18），Cd和Pb（3 370.26，3 832.91，16.78），Cr和Ni（4 744.84，5 903.50，8.10），Cu（2 383，3 692，7），Hg（5 672.89，3 841.56，18.02），Zn（9 520.40，5 095.87，21.34）.由此可見(jiàn)，該模型能夠很好地確定出重金屬污染的位置.

3 模型評(píng)價(jià)

對(duì)于污染程度評(píng)價(jià)問(wèn)題，本文首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，采用模糊綜合評(píng)判模型對(duì)各地區(qū)的污染程度進(jìn)行了評(píng)價(jià)分析，但區(qū)分度不高，未能區(qū)分出相鄰等級(jí)之間的差異，于是將模型進(jìn)行改進(jìn)，建立一個(gè)基于集對(duì)分析與三角模糊數(shù)耦合的綜合評(píng)價(jià)模型.結(jié)果顯示該模型與模糊綜合評(píng)價(jià)模型相比較更具有合理性，更能真實(shí)地反應(yīng)出土壤本身受重金屬污染的程度，且給出的評(píng)價(jià)等級(jí)更加準(zhǔn)確.

對(duì)于污染源的位置確定問(wèn)題，本文假設(shè)重金屬在土壤中的濃度是一個(gè)關(guān)于空間和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，把土壤中的重金屬污染物的對(duì)流看成是一種流體運(yùn)動(dòng)，建立了基于流體力學(xué)的污染物對(duì)流傳播模型.但本文中所用的數(shù)據(jù)只有某個(gè)時(shí)刻的重金屬污染物的濃度分布，無(wú)法使用該模型尋找污染源.于是建立了基于多目標(biāo)線性規(guī)劃的污染源位置坐標(biāo)模型，該模型與時(shí)間無(wú)關(guān)并能夠較好地確定污染源的位置.

注：本文為全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽一等獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)撐?

［1］彭再德.模糊綜合評(píng)判法在區(qū)域土壤環(huán)境重金屬污染評(píng)價(jià)中的應(yīng)用［J］.化工環(huán)保，1993，13（4）：235－238.

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The Mathematical Model of Heavy Metal Pollution in Urban Topsoil

HE Bo－lu1，ZHOU Hong1，DU Wang－qun2，ZHANG Hui－zeng1

（1.College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China；
2.College of Information Science and Engineering，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

This paper made a modeling analysis on the heavy metal pollution in urban topsoil based on data statistics analysis.Aiming at the pollution degree，a fuzzy comprehensive evaluation model and a comprehensive evaluation model based on the set pair analysis and triangular fuzzy number coupling were built，and the test showed the latter one was accordance with the actual case.Moreover，apollutants convection diffusion model based on fluid mechanics and a pollution source coordinate model based on multi－objective linear programming were also built to determine the place of pollution source，and the test showed that the latter one was better.

set pair analysis；fuzzy mathematical comprehensive evaluation model；convective diffusion；multi－objective linear programming

O29 MSC2010：65K05

A

1674－232X（2012）06－0537－07

10.3969/j.issn.1674－232X.2012.06.013

2012－04－19

張慧增（1976—）男，副教授，博士，主要從事概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究.E－mail：zhanghz789＠163.com