黃麗麗，楊秀良

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

對(duì)稱逆半群的奇異部分的自同態(tài)

黃麗麗，楊秀良

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

通過(guò)對(duì)同態(tài)核的討論和研究，刻畫了有限對(duì)稱逆半群的奇異部分的所有自同態(tài)，從而對(duì)有限對(duì)稱逆半群的理論進(jìn)行有效補(bǔ)充.

對(duì)稱；奇異；半群；自同態(tài)；同余

0 引 言

集合X上的所有部分單變換構(gòu)成的集合稱作X的對(duì)稱逆半群，記作.集合X上的所有置換構(gòu)成的集合稱作X的置換群，記作.若g，t均為變換，則定義變換got如下：對(duì)任意的x∈X，都有g(shù)ot（x）＝g（t（x））.易見，當(dāng)且僅當(dāng)g（t（x））有意義時(shí)，got（x）有意義.為簡(jiǎn)化記法，可將got記作gt.對(duì)稱逆半群是半群理論中很重要的一部分，它的許多性質(zhì)已經(jīng)被前人所研究.特別的，Schreier［1］證得的所有自同構(gòu)均為內(nèi)自同構(gòu)（即對(duì)的任意一個(gè)自同構(gòu)α，存在唯一確定的g∈，使得對(duì)任意的t∈，都有α（t）＝gtg－1）.在此基礎(chǔ)上，Schein等［2］討論了的所有自同態(tài).

以下介紹一些符號(hào)和名詞.將t∈＼Sn的定義域記作dom（t），值域記作im（t）.特別的，im（st）?im（s）.稱im（t）的基數(shù)為t的秩，即rank（t）＝｜im（t）｜.對(duì)任意的x∈X，ax＝｛（x，x）｝.即ax∈X×X，且只含有一對(duì)有序數(shù)對(duì)（x，x）.對(duì)任意的Y?X，記ΔY＝｛（x，x）：x∈Y｝.定義0∈＼如下：

即dom（0）＝φ.稱0為＼的空變換.

1 主要結(jié)果

2 定理證明

y∈X.則αδ（x）＝α（y）＝z≠y＝δ（x）.故αδ≠δ.

綜上所述，引理得證.

綜上所述，定理得證.

［1］Schreier J.über abbildungen einer abstrakten menge aufihre teilmengen［J］.Fund Math，1936，28：261－264.

［2］Schein B M，Teclezghi B.Endomorphisms of finite symmetric inverse semigroups［J］.Journal of Algebra，1997，198（1）：300－310.

［3］Ganyushkin O，Mazorchuk V.Classical finite transformation semigroups：an introduction［M］.London：Springer ＆Verlag，2009.

The Endomorphisms of the Singular Parts in Symmetric Inverse Semigroup

HUANG Li－li，YANG Xiu－liang

（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

This paper discussed and studied the homomorphic kernel，described all the endomorphisms of the singular parts in finite symmetric inverse semigroup，and supplemented the theory of finite symmetric inverse semigroup.

symmetric；singular；semigroup；endomorphism；congruence

O152.7 MSC2010：43A22

A

1674－232X（2012）06－0524－04

10.3969/j.issn.1674－232X.2012.06.010

2011－12－01

楊秀良（1963—），男，教授，主要從事半群代數(shù)研究.E－mail：yxl＠hznu.edu.cn