夏 霖

（1.浙江大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310027；2.杭州第十四中學(xué)，浙江杭州 310006）

復(fù)射影空間中凱勒子流形的逐點(diǎn)拼擠問題

夏 霖1，2

（1.浙江大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310027；2.杭州第十四中學(xué)，浙江杭州 310006）

研究了復(fù)射影空間中的完備凱勒子流形，利用活動(dòng)標(biāo)架法得到了和Ogiue的猜想相關(guān)的復(fù)射影空間中全測地子流形的部分拼擠結(jié)果.

復(fù)射影空間；子流形；拼擠問題；Ogiue猜想

0 引 言

設(shè)CPn＋p為具有常全純截面曲率1的n＋p維復(fù)射影空間，Mn為CPn＋p中的n維完備凱勒子流形.Ogiue［1］曾有過以下猜想：

2）如果K＞0且p＜n（n＋1）/2，那么Mn為CPn＋p中的全測地子流形.

3）如果S＞（n/2）g，那么Mn為CPn＋p中的全測地子流形.

4）如果ρ＞n2，那么Mn為CPn＋p中的全測地子流形.

這里H，K，S，ρ，g分別表示Mn的全純截曲率、截曲率、Ricci曲率、數(shù)量曲率和CPn＋p在M上自然誘導(dǎo)的凱勒度量.

對猜想1），當(dāng)p＝1時(shí)，Ogiue在［1］中給出了證明.對一般的情形，Ros［2］已成功證明.

對猜想3），Ogiue在［1］中也給出了完整的證明.

對猜想2），Ogiue在［1］中給出了部分結(jié)果：

定理A 設(shè)Mn為浸入到CPn＋1中的完備凱勒超曲面，如果n≥4，K＞0，那么Mn為全測地子流形.

1976年，Ogiue在［3］中給出了進(jìn)一步的結(jié)果：

Ros和Verstraelen在［4］中將定理C的結(jié)果改進(jìn)到：

之后，盛為民［5］把定理A的條件改進(jìn)到n≥2，得到同樣的結(jié)論.

沈一兵［6］得到了如下結(jié)果：

定理E 設(shè)Mn為浸入到CPn＋p中的n維（n≥2）緊致凱勒子流形，如果K＞0，p＜n，那么Mn為全測地子流形.

筆者運(yùn)用了類似于［1］中的方法得到了以下結(jié)果：

定理1 設(shè)Mn（n≥4）為CPn＋p中具平坦法叢的n維緊致凱勒子流形，如果K＞0，p＜n（n＋1）/2，那么Mn為全測地子流形.

進(jìn)一步，得到：

定理2 設(shè)Mn（n＞4）為CPn＋p中具平坦法叢的n維緊致凱勒子流形，如果K＞0，那么Mn為全測地子流形.

對猜想4），在［1］中有如下定理：

定理F 設(shè)Mn為浸入到CPn＋p中的n維緊致凱勒子流形，如果ρ＞n（n＋1）－（n＋2）/3，那么Mn為全測地子流形.

注意到取n＝1的情形，就是猜想4）在Mn為緊致條件下的結(jié)論.

杜柏楊等［7］對上述定理作了推廣，得到：

定理G 設(shè)Mn為浸入到CPn＋p中的n維完備凱勒子流形，如果ρ＞n（n＋1）－（n＋2）/3，那么Mn為全測地子流形.

此外當(dāng)Mn的全純截曲率和數(shù)量曲率滿足一定條件時(shí)，筆者得到如下結(jié)果：

定理3 設(shè)Mn為浸入到CPn＋1中的完備凱勒超曲面，如果H≥δ＞（1－n）/2，ρ＞n2－4δ＋2，那么Mn為全測地超曲面.

1 基本公式與符號

設(shè)CPn＋p為具有常全純截面曲率1的n＋p維復(fù)射影空間，Mn為CPn＋p中的n維Kaehler子流形，分別表示CPn＋p的復(fù)結(jié)構(gòu)和凱勒度量表示CPn＋p關(guān)于的協(xié)變微分，以J，g，▽分別表示CPn＋p在Mn上自然誘導(dǎo)的復(fù)結(jié)構(gòu)、Kaehler度量和協(xié)變微分，則Mn到CPn＋p的浸入的第二基本形式σ由下式給出：

且滿足

在CPn＋p上選取局部正交標(biāo)架場

使得限制在Mn上，e1，…，en，e1＊，…，en＊切于Mn.對指標(biāo)作如下約定：

設(shè)g（AλX，Y）＝~g（σ（X，Y），eλ），或者σ（X，Y）＝∑g（AλX，Y）eλ，則A~1，…，A~p，A~1＊，…，A~p＊都是對稱線性變換.由（1）易得

于是

即Mn是CPn＋p的極小子流形.

設(shè)｛ωI｝為其對偶標(biāo)架場，限制在Mn上，有

這里

其中Is是s階單位矩陣.Mn的數(shù)量曲率為

Mn的截面曲率

其中X，Y是正交向量.

Mn的全純截面曲率為

其中X是單位向量.

2 主要結(jié)果及其證明

對于定理1，2，3的證明，首先引進(jìn)如下：

引理1［1］設(shè)Mn為浸入到CPn＋1中的完備凱勒超曲面，如果對某些常數(shù)δ，H≥δ＞（1－n）/2，則Mn緊致.

引理2［1］設(shè)Mn為浸入到CPn＋p中的n維完備凱勒子流形，則

其中Δ表示Laplacian，▽′表示協(xié)變微分.

引理3［1］條件同引理2，有

引理4［1］設(shè)Mn為浸入到CPn＋p中的完備凱勒子流形，如果

1）K＞0，

2）ρ為常數(shù)，

3）p＜n（n＋1）/2，

那么Mn為全測地子流形.

定理1的證明 因?yàn)镸n具有平坦法叢，所以在Mn的每一點(diǎn)x處，可以選擇Tx（M）的一組正交基e1，…，en，Je1，…，Jen使得矩陣A2α具有以下形式：

導(dǎo)師許洪偉教授對本文的寫作予以了悉心指導(dǎo)，謹(jǐn)致謝意！

［1］Ogiue K.Differential geometry of Kaehler submanifolds［J］.Advance in Math，1974，13：73－114.

［2］Ros A.Positively curved Kaehler submanifolds［J］.Proc Amer Math Soc，1985，93：329－331.

［3］Ogiue K.Positively curved complex submanifolds immersed in a complex projective space［J］.J Differential Geomtry，1976，11：613－615.

［4］Ros A，Verstraelen L.On a conjecture of K.Ogiue［J］.J Differential Geometry，1984，19：561－566.

［5］Sheng Weimin.Kaehler hypersurfaces with positive sectional curvature in a complex projective space［J］.Chinese Ann Math，1994，15B：69－74.

［6］Shen Yibing.On compact Kaehler submanifolds inCPn＋pwith nonegative sectional curvature［J］.Proc Amer Math Soc，1995，123：3507－3512.

［7］杜柏楊，龔永洪.CPn＋p（1）中的完備Kaehler子流形［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001：24（1）：12－14.

Pointwise Pinching Problems of Kaehler Submanifold in Complex Projective Space

XIA Lin1，2

（1.College of Science，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China；2.Hangzhou No.14Middle School，Hangzhou 310006，China）

This paper studied the complete Kaehler submanifold in complex projective space，and obtained some pinching results related to Ogiue's conjectures about the totally geodesic submanifold in complex projective space by the moving frame method.

complex projective space；submanifold；pinching problem；Ogiue's conjectures

O186.16 MSC2010：53C20

A

1674－232X（2012）06－0528－06

10.3969/j.issn.1674－232X.2012.06.011

2012－05－20

夏 霖（1982—），女，碩士，主要從事微分幾何研究.E－mail：55871088＠qq.com