王輝豐

（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158）

構(gòu)造奇數(shù)階完美幻方和對(duì)稱完美幻方的兩步法

王輝豐

（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158）

分別給出構(gòu)造奇數(shù)n=2m+1（m為m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美幻方和對(duì)稱完美幻方的余函數(shù)·兩步法和對(duì)稱·兩步法及其證明.這些方法可分別得到(( n-1)!)2和2m(2m-1(( m-1)!))2個(gè)不同的n階完美幻方和對(duì)稱完美幻方.

完美幻方；對(duì)稱完美幻方；余函數(shù)；兩步法

文[1]、[2]討論了奇數(shù)階完美幻方和對(duì)稱完美幻方；文[3]首次定義了余函數(shù)，并采用余函數(shù)的方法構(gòu)造了奇數(shù)階對(duì)稱完美幻方；文[4]進(jìn)一步利用余函數(shù)法構(gòu)造奇數(shù)階完美幻方、對(duì)稱完美幻方；對(duì)奇數(shù)階幻方制作成一種易于操作的“幻方生成器”，取得了專(zhuān)利權(quán)[5].在此基礎(chǔ)上，我們改變余函數(shù)法中笫二步的順移方式，也可構(gòu)造出奇數(shù)階完美幻方和對(duì)稱完美幻方.這使余函數(shù)法成為一套較為完整的構(gòu)造方法.

首先，對(duì)文[3]的余函數(shù)

（n、t是自然數(shù)，t|n 表示t被n整除，other表示其他情況，R（t）表示t除以n的余數(shù)，顯然r（t）是周期函數(shù)）證明如下

預(yù)備定理 對(duì)n=2m+1（m為m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然數(shù)），當(dāng)i=1，2，…，n時(shí)，則 r(( m-1)·i),r(m ·i),r(( m+1)·i) 和r(( m+2 )·i) 都各自取遍1～n的自然數(shù).

證明 由文[4]預(yù)備定理的證明知，對(duì)n=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)），當(dāng)i=1，2，…，n時(shí)，r（m·i）和r（（m+1）·i）都取遍1～n的自然數(shù).顯然，對(duì)于奇數(shù)i=2k+1（k=0，1，…，m），有

r（（m-1）i）=r（m-（3k+1）），

r（（m+2）·i）=r（m+（3k+2））；

對(duì)于偶數(shù)i=2k（k=1，2，…，m），有r（（m-1）·i）=r（2m-（3k-1）），r（（m+2）·i）=r（3k）.

1）對(duì)n=2m+1=2（3t）+1=6t+1（t=1，2，…為自然數(shù)），當(dāng)i=2k+1（k=0，…，t-1）時(shí)，由余函數(shù)定義知：r（（m-1）i）=r（m-（3k+1））是一個(gè) 3t-1～2公差為-3的等差有限數(shù)列；

當(dāng)i=2k+1（k=t，…，3t-1）時(shí)，r（（m-1）i）=r（m-（3k+1））是一個(gè)6t～3公差為-3的等差有限數(shù)列；

當(dāng)i=2k+1，k=3t時(shí)，r（（m-1）i）=r（m-（3k+1））=r（0）=6t+1；

當(dāng)i=2k（k=1，2，…，2t）時(shí)，由余函數(shù)定義知：r（（m-1）·i）=r（2m-（3k-1））是一個(gè) 6t-2～1 公差為-3的等差有限數(shù)列；

當(dāng)i=2k（k=2t+1，…，3t）時(shí)，知r（（m-1）i）=r（2m-（3k-1））是一個(gè)6t-1～3t+2公差為-3的等差有限數(shù)列.

以上的1～6t-2，2～3t-1，3t+2～6t-1，3～6t都是公差為3的等差有限數(shù)列.以上數(shù)列合并起來(lái)，就是1～6t的自然數(shù)，后繼加上6t+1，即當(dāng)i=1，2，…，n時(shí)，r（（m-1）i）取遍 1～n的自然數(shù).

2）對(duì)n=2m+1=2（3t+2）+1=6t+5（t=0，1，2，…），當(dāng)i=2k+1（k=0，…，t）時(shí)，由余函數(shù)定義知r（（m+2）·i）=r（m+（3k+2））是一個(gè)3t+4～6t+4公差為3的等差有限數(shù)列；

當(dāng)i=2k+1（k=t+1，…，3t+2）時(shí)，r（（m+2）·i）=r（m+（3k+2））是一個(gè)2～6t+5公差為3的等差有限數(shù)列；

當(dāng)i=2k（k=1，…，2t+1）時(shí)，由余函數(shù)的定義知：r（（m+2）·i）=r（3k）是一個(gè)3～6t+3公差為3的等差有限數(shù)列；

當(dāng)i=2k（k=2t+2，…，3t+2）時(shí)，r（（m+2）·i）=r（3k）是一個(gè)3～3t+1公差為3的等差有限數(shù)列.

由以上得到的各有限數(shù)列知，1～3t+1，3t+4～6t+4，2～6t+5，3～6t+3都是公差為3的等差有限數(shù)列.將這些數(shù)列合并起來(lái)，就是1～6t+5的自然數(shù)，即當(dāng)i=1，2，…，n時(shí)，r（（m+2）·i）取遍1～n的自然數(shù).預(yù)備定理證畢.

我們分兩部分討論如下：

1 構(gòu)造奇數(shù)階完美幻方的兩步法

第一步 安裝基方陣.

對(duì)n=2m+1（m為m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然數(shù)），設(shè)n階基方陣[2]A位于第i行、第j列的元素為

a（i，j）（i，j=1，2，…，n），取定a（1，m+1）=mn+1，其余n-1個(gè)基數(shù)1，n+1，2n+1，…，（m-1）n+1，（m+1）n+1，…，（n-1）n+1可隨意安裝到如下n-1個(gè)位置

a（m+1-k，k+1））（k=0，1，2，…，m-1），

a（m+1+k，n-k+1））（k=1，2，…，m）.

基數(shù)安裝完畢后，得到基方陣A的全部基元（或站點(diǎn)）.安裝于第j列的基元記為ncj+1（j=1，2，…，n），在每一列站點(diǎn)ncj+1的下方（包括該站點(diǎn)），自上而下按ncj+dk（k=1，2，…，n，取定d1=1，其余dk取遍2～n的自然數(shù)）的順序安裝相繼的數(shù)至該列最下面的笫n行；接著，在該站點(diǎn)的上方，自上而下按該順序安裝后繼的數(shù)，安裝至全列滿為止.

由文[4]基方陣A位于第i行、第j列的元素為

a（i，j）=ncj+dr（m+（i+j））（i，j=1，2，…，n）.

第二步 對(duì)基方陣A施行雙移安裝到另一個(gè)（待安裝的）n階方陣B.

基數(shù)a（m+1-k，k+1））（k=0，1，2，…，m-1）所在行的元素向右順移r（k·m）（k=0，1，2，…，m-1）個(gè)位置；基數(shù)a（m+1+k，n-k+1））（k=1，2，…，m）所在行的元素向右順移r（n-k·m）（k=1，2，…，m）個(gè)位置.

設(shè)方陣B位于第i行、第j列元素為b（i，j），方陣A第m+1-k行的元素向右順移r（k·m）（k=0，1，2，…，m-1）個(gè)位置，所以

b（m+1-k，r（r（（m+1）·k）+h））=

a（m+1-k，r（k+h））=ncr（k+h）+dh（k=1，2，…，n）；方陣A第m+1+k（k=1，2，…，m）行的元素向右順移r（n-k·m）（k=1，2，…，m）個(gè)位置，所以

b（m+1+k，r（r（2n-（m+1）·k）+h））=a（m+1+k，r（n-k+h））=ncr（n-k+h）+dh（k=1，2，…，n）.

由上述行的表達(dá)式可得出方陣B位于第i行、第j列的元素為

當(dāng)各行都完成了這一程序之后，所得方陣B就是一個(gè)完美幻方（見(jiàn)下面的定理1）.為了下文敘述方便起見(jiàn)及區(qū)別于余函數(shù)法，這里把以上兩步安裝稱為余函數(shù)·兩步法.

由于基數(shù)安裝結(jié)構(gòu)可有(n -1)!種不同的選擇，各列數(shù)的安裝有(n -1)!種不同的選擇，所以，利用以上兩步法可構(gòu)造出(( n-1)!)2個(gè)不同的完美幻方.

定理1 用余函數(shù)·兩步法得到的n=2m+1（m為m≠3s+1，s=0，1，2，…為自然數(shù)）階方陣B是一個(gè)完美幻方.

證明 以上已得出方陣B位于第i行、第j列的元素為

由余函數(shù)的定義、預(yù)備定理得，第i行元素的和（求和過(guò)程中，m2+mi和（m+1）m+（m+1）i（i=1，2，…，n）都是固定的）為

即各行元素之和都等于幻方常數(shù).

第j列元素的和（在求和過(guò)程中，m2+j和（m+1）m+j（j=1，2，…，n）都是固定的）為

即各列元素之和都等于幻方常數(shù).

過(guò)b（h，1）（h=1，2，…，n）從左上角至右下角的對(duì)角線以及與其同方向的泛對(duì)角線上的元素b（i，j）而言，有r（i-j）=h-1（h=1，2，…，n），在求和過(guò)程中，m2-h+1和（m+1）m-h+1都是固定的，所以，其上各元素之和為

即從左上角至右下角的對(duì)角線以及每一條與其同方向的泛對(duì)角線上的元素之和都等于以上幻方常數(shù).

過(guò)b（h，n）（h=1，2，…，n）從左下角至右上角的對(duì)角線以及與其同方向的泛對(duì)角線上的元素b（i，j）而言，有r（i+j）=h（h=1，2，…，n），在求和過(guò)程中h-1和m+h-1都是固定的，所以，其上各元素之和為

即從左下角至右上角的對(duì)角線以及每一條與其同方向的泛對(duì)角線上的元素之和都等于幻方常數(shù).

由以上事實(shí)可見(jiàn)，方陣B是一個(gè)完美幻方.

顯然，由以上方法可得出(( n-1)!)2（n=2m+1，m為m≠3s+1，s=0，1，2，…為自然數(shù)）個(gè)不同的n階完美幻方.

例1 構(gòu)造11階完美幻方.

根據(jù)兩步法，取c6=5，c1=3，c2=6，c3=8，c4=4，c5=1，c7=0，c8=9，c9=10，c10=2，c11=7，d1=1，d2=5，d3=7，d4=10，d5=3，d6=8，d7=2，d8=9，d9=11，d10=4，d11=6.我們得到基方陣A（見(jiàn)圖1）和一個(gè)11階完美幻方（見(jiàn)圖2）.

圖111階基方陣AFig.1 11-order basic square matrix A

圖211階完美幻方Fig.211-order perfect magic square

2 構(gòu)造奇數(shù)階對(duì)稱完美幻方的兩步法

第一步 安裝基方陣.

設(shè)n=2m+1（m為m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然數(shù)）階基方陣[2]A位于第i行、第j列的元素為a（i，j）（i，j=1，2，…，n），取定a（1，m+1）=mn+1，注意到基數(shù)列中處于中心對(duì)稱位置上的兩個(gè)數(shù)，其和都等于（n-1）n+2，我們共有m對(duì)這樣的基數(shù)，在每對(duì)基數(shù)中隨意選取一個(gè)基數(shù)，將這m個(gè)基數(shù)隨意安裝到如下m個(gè)位置：

a（m+1-k，k+1））（k=0，1，2，…，m-1），

令a（m+1-k，k+1））=nck+1+1（k=0，1，2，…，m-1）；余下的m個(gè)基數(shù)安裝到如下m個(gè)位置：

a（m+1+k，n-k+1））（k=1，2，…，m）.

令a（m+1+k，n-k+1））=ncn-k+1+1（k=1，2，…，m），但必須滿足條件ck+cn-k+1=n-1（k=1，2，…，m）.基數(shù)安裝完畢后，得到方陣A的全部基元（或站點(diǎn)）.

取定d1=1，dm+1=m+1，dn=n，注意到 1～n的自然數(shù)列中處于中心對(duì)稱位置上的兩個(gè)自然數(shù)，其和都等于n+1，除d1=1和dn=n外，我們共有m-1對(duì)這樣的自然數(shù)，在每對(duì)自然數(shù)中隨意選取一個(gè)自然數(shù)，將這m-1個(gè)自然數(shù)隨意排序依次記為dk（k=2，3，…，m）；余下的m-1個(gè)自然數(shù)記為dn-k+1（k=2，3，…，m），但必須滿足條件dk+dn-k+1=n+1（k=1，2，…，m）.

在第j列基元ncj+1的下方（包括該基元），自上而下按ncj+dk（k=1，2，…，n）的順序安裝相繼的數(shù)至該列最下面的笫n行；接著，在該站點(diǎn)的上方，自上而下按該順序安裝后繼的數(shù)，安裝至全列滿為止.由此得到基方陣A.

第二步 與構(gòu)造奇數(shù)階完美幻方的兩步法的第二步相同，所得方陣B就是一個(gè)n階對(duì)稱完美幻方（見(jiàn)下面的定理2）.

按以上兩步可構(gòu)造出2m(m !)·2m-1(( m-1)!)=2m(2m-1(( m-1)!))2個(gè)不同的n階對(duì)稱完美幻方（其中n=2m+1，m為m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然數(shù)）.

以上安裝方法與構(gòu)造奇數(shù)階完美幻方的兩步法的不同之處，在于對(duì)cj，dk的安裝增加了對(duì)稱的要求.我們不妨把以上方法稱為對(duì)稱·兩步法.

定理2 用對(duì)稱·兩步法得到的方陣B是一個(gè)n=2m+1（m為m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然數(shù)）階對(duì)稱完美幻方.

證明 由定理1知，方陣B是一個(gè)n=2m+1（m為m≠3s+1，s=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美幻方，我們只須證明方陣B是中心對(duì)稱，則定理2就已成立.

方陣B位于第i行、第j列的元素為

元素b（i，j）的在其中心對(duì)稱位置上的元素為

由于

r（（m2+mi+j）+（（m2+m+1）-（mi+j）））=

r（2m2+m+1）=r（mn+1）=1，

又由余函數(shù)的定義知，兩個(gè)余函數(shù)的和大于1而不超過(guò)2n，所以

即方陣B的元素是中心對(duì)稱的.由此可見(jiàn)，方陣B是一個(gè)對(duì)稱完美幻方.

例2 構(gòu)造一個(gè)13階對(duì)稱完美幻方.

根據(jù)對(duì)稱·余函數(shù)法，取c7=6，c1=5，c2=2，c3=9，c4=12，c5=1，c6=4，c13=7，c12=10，c11=3，c10=0，c9=11，c8=8.d7=7，d1=1，d13=13，d2=9，d3=6，d4=3，d5=12，d6=4，d8=10，d9=2，d10=11，d11=8，d12=5.我們得到基方陣（略）和一個(gè)13階對(duì)稱完美幻方（略）.

[1]王輝豐,詹森.關(guān)于構(gòu)造三類(lèi)奇數(shù)階幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,23(1):12-15.

[2]詹森,王輝豐.關(guān)于構(gòu)造高階幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,22(3):250-254.

[3]詹森,王輝豐.奇數(shù)階對(duì)稱完美幻方的構(gòu)造方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,22(4):396-402.

[4]詹森,王輝豐.構(gòu)造奇數(shù)階幻方,完美幻方和對(duì)稱完美幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,24(3):265-269.

[5]詹森,王輝豐.一種幻方生成器:中國(guó)，CN 201955957U[P/OL].（2011-08-31）[2011-09-19].http:www.sipo.gov.cn.

The Two-step Methods of Constructing Odd Order Perfect Magic Square and Symmetrical Perfect Magic Square

WANG Huifeng
（College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou571158，China）

The two-step methods of constructing oddnorder perfect magic square and symmetrical perfect magic square were given and proved.These methods may obtain(( n-1)!)2and2m(2m-1(( m-1)!))2differentnorder per?fect magic squares,symmetrical perfect magic square respectiwely.

perfect metrical magic square；symmetrical perfect magic；residual function；two-step method

O 157.6

A

1674-4942（2012）01-0028-04

2011-10-15

黃 瀾