林 峰 張正紅 陳 勝

1.衢州學(xué)院，衢州，324000 2.浙江永力達(dá)數(shù)控機(jī)床有限公司，衢州，324000

0 引言

NURBS為初等解析曲線／曲面和自由曲線／曲面提供了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，以NURBS為表達(dá)形式的數(shù)控代碼以其良好的輪廓表征精度和精簡的代碼量，已得到越來越多數(shù)控系統(tǒng)的支持。對于現(xiàn)代智能化的CNC控制器而言，一個可靠高效的NURBS刀路插補(bǔ)控制器至關(guān)重要［1］。與基于NURBS表達(dá)的造型技術(shù)相比，基于NURBS的插補(bǔ)技術(shù)相對滯后，當(dāng)前NURBS插補(bǔ)算法缺乏對曲線線形良好的自適應(yīng)性。

Huang等［2］設(shè)計(jì)了恒定進(jìn)給速度的插補(bǔ)控制方法，該方法采用一階泰勒展開來計(jì)算指令步長下NURBS曲線上的插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)。為提高計(jì)算精度，Yang等［3］提出采用二階泰勒展開近似求解，以減小進(jìn)給速度的波動。Nam等［4］提出了一種在參數(shù)曲線的始末點(diǎn)進(jìn)行速度光滑處理，在插補(bǔ)曲線的中間區(qū)域保持恒定進(jìn)給速度的規(guī)劃方法。Altintas等［5］采用五次樣條實(shí)現(xiàn)了有加加速度限制的插補(bǔ)，但該方法只在插補(bǔ)始末段應(yīng)用，中間過程未考慮插補(bǔ)精度問題。Yeh等［6］實(shí)現(xiàn)了一種進(jìn)給速率自適應(yīng)的NURBS插補(bǔ)器，該方法根據(jù)弓高誤差獲得最大允許進(jìn)給速度值。但該方法沒有提供合適的加減速方案，在步長減小的低速區(qū)域附近，可能出現(xiàn)速度突變。Yong等［7］提出了離線尋找危險點(diǎn)的的插補(bǔ)算法，并對速度變化區(qū)域進(jìn)行加減速控制。Shen等［8］基于進(jìn)給軸伺服驅(qū)動能力角度，提出了基于軸向加速度、加加速度限制的異步插補(bǔ)算法。

本文提出一種基于進(jìn)給速度曲線敏感點(diǎn)識別的NURBS插補(bǔ)算法。敏感點(diǎn)根據(jù)弓高誤差在離線處理階段確定，此后的進(jìn)給速度規(guī)劃即基于此已識別的敏感點(diǎn)。相鄰敏感點(diǎn)之間的加減速則根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離進(jìn)行自適應(yīng)控制。進(jìn)而，整個插補(bǔ)進(jìn)給速度曲線可通過連接所有敏感點(diǎn)區(qū)域速度段來完成。

1 進(jìn)給速度敏感點(diǎn)識別

眾所周知，加工自由曲線時保持恒定的加工速度將無法限制弓高誤差。對于給定的加工軌跡，弓高誤差取決于速度曲線，本文將進(jìn)給速度指令值vF下弓高誤差超過給定值的點(diǎn)稱為敏感點(diǎn)。因此，首先需要正確地計(jì)算弓高誤差，然后進(jìn)行速度曲線的正確規(guī)劃。

傳統(tǒng)方法計(jì)算弓高誤差Ei時，采用局部區(qū)域的圓弧近似方法，表達(dá)式如下：

式中，Li為插補(bǔ)周期步長；v（ui）為C（ui）點(diǎn)的進(jìn)給速度；T為恒定的插補(bǔ)周期；ρi為曲線在u＝ui處的曲率半徑。

為了識別整個NURBS曲線上的敏感點(diǎn)，有必要在插補(bǔ)開始之前對整個0到1的參數(shù)空間進(jìn)行離散。參數(shù)步長Δui越大，越有利于提高計(jì)算效率，但為了提高敏感點(diǎn)識別的精度，步長值越小越好。為了在計(jì)算效率和識別精度之間獲得平衡，通過以下法則來確定參數(shù)步長Δui：

（1）初始參數(shù)步長Δui預(yù)設(shè)為Δui＝2Δui－1；

（2）如果下式滿足：

式中，la為以a為起點(diǎn)，參數(shù)中點(diǎn)為終點(diǎn)的弦長；lb為以參數(shù)中點(diǎn)為起點(diǎn)，b為終點(diǎn)的弦長；lab為以a為起點(diǎn)，b為終點(diǎn)的弦長；ξ為逼近誤差率。

他本來會撲到熊身上，把它殺了的?？墒撬男膮s開始了那種警告性的猛跳。接著又向上猛頂，迅速跳動，頭像給鐵箍箍緊了似的，腦子里漸漸感到一陣昏迷。

則接受Δui的值，否則執(zhí)行第（3）步；

在式（2）中，我們選擇ξ＝1%。整個處理過程將在獲得合適的參數(shù)增量Δui之后結(jié)束，并以C（ui）點(diǎn)離散整個NURBS曲線。

如果設(shè)定弓高誤差的公差為Et，則當(dāng)Ei＞Et時，C（ui）為敏感點(diǎn)；當(dāng)Ei≤Et時，C（ui）不為敏感點(diǎn)。

若C（ui）是敏感點(diǎn)，則該點(diǎn)的最大允許進(jìn)給速度vs可用下式定義：

整個敏感點(diǎn)識別的過程不僅僅是獲得一系列的敏感點(diǎn)信息，同時任意兩個離散計(jì)算點(diǎn)之間的距離信息也被存儲，用于后續(xù)插補(bǔ)規(guī)劃。

2 敏感點(diǎn)之間的進(jìn)給速度規(guī)劃算法

如果敏感點(diǎn)存在，則進(jìn)給速度不能在整個加工過程中保持恒定的vF。因此，需要在敏感點(diǎn)附近區(qū)域進(jìn)行加減速。然而，NURBS曲線上相鄰兩個敏感點(diǎn)之間的距離是不同的，所以加減速方案需要根據(jù)不同的情況進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。

假設(shè)兩點(diǎn)之間的距離足夠保證進(jìn)給速度由vs1加速到vF以及由vF減速到vs2進(jìn)行平滑加減速所需的長度，我們有必要獲得完成這兩個過程所需的距離。如圖1所示，在加速階段，存在ta1、ta2、ta3三個 時間階段，分別實(shí) 現(xiàn) 了 Δva1、Δva2、Δva3的速度變化量。在ta1、ta3階段，進(jìn)行速度增加的同時，加速度也在變化。為保證過程的平滑性，加速度以恒定的加加速度j＝j(luò)max進(jìn)行變化。在ta2階段，加速度保持為恒定的amax。

圖1 加減速階段劃分（Ss＝Sa＋Sd）

首先，必須獲得ta1、ta3階段的加速時間：

式中，ta1為加速度從0變化到amax所需的時間；ta3為從amax變化到0所需的時間。

從圖1可知：

同理，對于降速階段速度曲線，進(jìn)給速度需要從vF平滑過渡到下個敏感點(diǎn)所需速度vs2。降速時間td1、td3的表示式為

圖2 帶恒定速度區(qū)域v＝vF的進(jìn)給速度曲線（Ss＞Sa＋Sd）

否則，若Ss＜Sa＋Sd，則表示速度無法達(dá)到vF。此時，需要調(diào)整兩敏感點(diǎn)之間最大速度值，vmax←vmaxη，其中，參數(shù)η設(shè)置為0.618。

重復(fù)式（4）～式（12）的計(jì)算，并校驗(yàn)是否滿足式（12）。若不滿足，則需要按上述方式進(jìn)行調(diào)整。當(dāng)滿足式（12），保持恒定速度的時間由以下法則確定：

vmax≠vF時的S′a、S′d與vmax＝vF時的Sa、Sd不同，有 S′a＜ Sa，S′d＜ Sd。 從 式 （13）可 知，若vmax≠vF，并且Ss－S′a－S′d≠0，則存在一個恒速度為（vmax＋vs2）／2的安全緩沖區(qū)域（security buffer），如圖3所示。如果vmax≠vF，且Ss－S′a－S′d＝0，則不存在該安全緩沖區(qū)，如圖4所示。

圖3 帶安全緩沖區(qū)域速度曲線（Ss＜Sa＋Sd）

圖4 不帶安全緩沖區(qū)速度曲線（Ss＜Sa＋Sd）

在曲線插補(bǔ)的開始階段，也必須具有加速階段，盡管第1個插補(bǔ)點(diǎn)不必是敏感點(diǎn)。對于曲線末尾階段情況也一樣。但在本算法中，在曲線始末端通過設(shè)置vs＝0的方法來實(shí)現(xiàn)加減速控制。也即是說將始末兩點(diǎn)視為敏感點(diǎn)，這樣就無需設(shè)計(jì)專門的算法解決始末端的加減速問題。

3 仿真和分析

采用三次NURBS曲線來驗(yàn)證本插補(bǔ)算法的有效性。曲線控制參數(shù)如表1所示。

表1 NURBS曲線參數(shù)

示例NURBS曲線的形貌如圖5所示，可以看到三個較明顯的高曲率區(qū)域。事實(shí)上，在弓高誤差允許值Et＝0.5μm時，這些點(diǎn)即為敏感點(diǎn)。

圖5 NURBS曲線形貌

仿 真 實(shí) 驗(yàn) 在 vF為 80mm／s、100mm／s、140mm／s三個不同的進(jìn)給速度指令值下實(shí)施。仿真使用的加工參數(shù)如表2所示。

表2 加工參數(shù)

圖6～圖8所示為不同進(jìn)給速度指令值vF條件下的插補(bǔ)速度vf曲線，從中可以看出，敏感點(diǎn)的存在與否（或者其位置）在不同的進(jìn)給速度指令值條件下可能發(fā)生變化，特別地，在vf＝80mm／s以下時，該NURBS曲線不存在敏感點(diǎn)。

圖6 vF＝80mm／s時的插補(bǔ)速度曲線

圖9～圖11所示為不同進(jìn)給速度指令值vF條件下的輪廓誤差?？梢钥闯?，弓高誤差被嚴(yán)格限制在0.5μm以內(nèi)。盡管在敏感點(diǎn)處，弓高誤差和速度的預(yù)設(shè)值是通過式（3）確定的，但由于插補(bǔ)計(jì)算時，兩點(diǎn)之間的距離不是嚴(yán)格的精確值，當(dāng)插補(bǔ)計(jì)算到達(dá)敏感點(diǎn)時，實(shí)際速度已經(jīng)與式（3）的預(yù)設(shè)值產(chǎn)生了差異。

圖7 vF＝100mm／s時的插補(bǔ)速度曲線

圖8 vF＝140mm／s時的插補(bǔ)速度曲線

圖9 vF＝80mm／s時的輪廓誤差

圖10 vF＝100mm／s時的輪廓誤差

圖11 vF＝140mm／s時的輪廓誤差

4 結(jié)語

本文提出的基于進(jìn)給速度曲線敏感點(diǎn)識別的插補(bǔ)方法，可以有效地確定高曲率區(qū)域的速度敏感點(diǎn)。在兼顧計(jì)算效率和識別準(zhǔn)確性的問題上，本文設(shè)計(jì)了可靠的法則以確定參數(shù)步長增量。同時，設(shè)計(jì)了一套在兩個相鄰的速度敏感點(diǎn)之間進(jìn)行自適應(yīng)速度規(guī)劃的算法，提出采用安全緩沖區(qū)的方法進(jìn)行距離自適應(yīng)。算法不僅考慮了插補(bǔ)加工的平滑性和安全性，同時兼顧加工精度和效率。NURBS插補(bǔ)仿真結(jié)果顯示，本算法能夠有效處理敏感點(diǎn)距離與進(jìn)給速度之間存在復(fù)雜關(guān)系的不同情況。

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