章永年 趙東標(biāo) 陸永華 劉 凱

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

0 引言

在多坐標(biāo)加工中，由于受旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的影響，機(jī)床各軸線性插補(bǔ)的合成運(yùn)動會使實(shí)際刀位運(yùn)動偏離編程直線，該誤差稱為非線性加工誤差［1－2］。非線性誤差控制方法主要有刀觸點(diǎn)偏置法、線性加密法［3］、自 適 應(yīng) 線 性 化 法［1］和 RTCP（rotation tool center point）算法［4－5］。其中前三種方法都是在后置處理中對刀位數(shù)據(jù)進(jìn)行控制，當(dāng)?shù)毒吣p或刀具長度變化時必須重新通過后置處理生成數(shù)控程序，效率低下。而RTCP算法可保證插補(bǔ)點(diǎn)始終位于編程軌跡上，有效減小了非線性誤差。

RTCP算法使得編程坐標(biāo)直接針對刀具中心而不是坐標(biāo)的轉(zhuǎn)動中心（頭中心）。傳統(tǒng)算法要求機(jī)床的轉(zhuǎn)軸中心長度正好等于后置處理所考慮的數(shù)值，任何修改都要求重新生成程序。集成RTCP算法的數(shù)控系統(tǒng)可以直接編寫刀具中心軌跡程序，而不用考慮轉(zhuǎn)軸中心長度。國外的一些高檔數(shù)控系統(tǒng)如FANUC、SIEMENS、FIDIA和NUM數(shù)控系統(tǒng)中已具備了RTCP功能，但是其核心算法是保密的。

目前，國內(nèi)對RTCP算法的研究還處于起步階 段。 趙 薇 等［5］、Fan 等［6］設(shè) 計(jì) 了 一 種 集 成RTCP功能的插補(bǔ)算法，減小了非線性誤差，但刀軸矢量采用線性插補(bǔ)法：插補(bǔ)過程中刀軸矢量始終位于首末向量所決定的平面內(nèi)。由于刀軸矢量與旋轉(zhuǎn)軸角度成非線性關(guān)系，刀軸矢量線性插補(bǔ)法得到的頭中心旋轉(zhuǎn)軸角速度可能超限。耿聰?shù)龋?］提出的大圓弧插補(bǔ)法也有類似的不足。因此本文提出了基于旋轉(zhuǎn)軸線性插補(bǔ)的RTCP算法，保證了旋轉(zhuǎn)軸的角速度限制條件，然而在實(shí)際加工過程中會出現(xiàn)相鄰刀位點(diǎn)在無碰區(qū)域內(nèi)而插補(bǔ)時刀具發(fā)生干涉的現(xiàn)象。國內(nèi)外學(xué)者對多軸數(shù)控加工中的干涉檢測算法進(jìn)行了大量研究［8－11］，但多注重于給定刀具姿態(tài)下的干涉問題，對刀具運(yùn)動過程中，尤其是集成RTCP功能的全局干涉問題還尚未涉及。

鑒于此，本文詳細(xì)分析了基于旋轉(zhuǎn)軸線性插補(bǔ)的RTCP算法機(jī)理、RTCP算法插補(bǔ)過程中干涉現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，最后給出了具體的解決方案。

1 RTCP算法

對于五軸數(shù)控加工來說，從輸入加工模型到電機(jī)運(yùn)動，中間一般經(jīng)過刀觸點(diǎn)計(jì)算、刀軸矢量確定、后置處理和數(shù)控插補(bǔ)幾個步驟。其中，刀觸點(diǎn)計(jì)算模塊將輸入模型按照一定的精度要求離散成一系列的路徑點(diǎn)，刀軸矢量確定模塊獲取各刀觸點(diǎn)的無碰最優(yōu)刀軸矢量，后置處理模塊根據(jù)機(jī)床運(yùn)動關(guān)系生成由許多微線段構(gòu)成的數(shù)控程序，數(shù)控插補(bǔ)模塊調(diào)用線性插補(bǔ)算法輸出脈沖或其他信號控制電機(jī)運(yùn)動。刀觸點(diǎn)計(jì)算模塊和刀軸矢量確定模塊統(tǒng)稱為前置處理模塊，該模塊在計(jì)算刀位點(diǎn)時假定了相鄰刀位點(diǎn)之間的運(yùn)動軌跡為直線段這樣一個前提條件。后置處理生成的數(shù)控程序針對的是頭中心坐標(biāo)，圖1中的Ps、Pe為刀位點(diǎn)，Pos、Poe為頭中心。采用線性插補(bǔ)算法插補(bǔ)Pos、Poe時，頭中心的運(yùn)動軌跡為直線，由于旋轉(zhuǎn)軸的加入，相鄰刀位點(diǎn)之間的運(yùn)動軌跡不一定為直線，這樣就產(chǎn)生了非線性誤差，如圖1中的期望插補(bǔ)軌跡與實(shí)際插補(bǔ)軌跡不重合。

圖1 傳統(tǒng)算法示意圖

（1）后置處理。設(shè)前置處理模塊得到的刀位數(shù)據(jù)為（P，u），以AB雙擺頭機(jī)床為例，單位刀軸矢量u可通過工件坐標(biāo)系上z軸單位矢量k＝（0，0，1）T旋轉(zhuǎn)變換M ＝rot（Y，φ）·rot（X，θ）得到，即u（θ，φ）＝Mk，其中

這樣可以得到刀位點(diǎn)的五軸坐標(biāo)（P，θ，φ），其中旋轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)由下式確定：

（2）線性插補(bǔ)。通過后置處理得到刀位點(diǎn)坐標(biāo)后，需要將其轉(zhuǎn)換為數(shù)控程序送入數(shù)控系統(tǒng)中加工。設(shè)直線段起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)為（Ps，θs，φs）、（Pe，θe，φe），線性插補(bǔ)方程為

其中，系數(shù)t1∈ ［0，1］。

筆者基于重力異常反演研究的基礎(chǔ)上，對與概率成像技術(shù)進(jìn)行設(shè)置模型，給予MATLAB程序?qū)⑵鋵?shí)現(xiàn)，該成像算法具有方法簡單，位場分離后異常概率成像分辨率高，抗噪性能強(qiáng)等特點(diǎn)。主要總結(jié)一下四個方面。

（3）坐標(biāo)變換。線性插補(bǔ)得到粗插補(bǔ)刀具中心坐標(biāo)后，需要計(jì)算相應(yīng)的頭中心坐標(biāo)（Po，θo，φo）：

式中，Lo為刀具中心點(diǎn)到頭中心之間的距離。

（4）速度校核。集成RTCP功能后，刀具中心的進(jìn)給速率F等于編程速率f，而合成的頭中心進(jìn)給速率Fo可能會大于F。如果Fo太高，則控制系統(tǒng)需要限制它，使之不超出允許的最大進(jìn)給速率。

經(jīng)過以上步驟得到的刀位點(diǎn)運(yùn)動軌跡與期望運(yùn)動軌跡重合，非線性誤差減小了，如圖2所示。

圖2 RTCP算法示意圖

2 RTCP插補(bǔ)過程中的干涉現(xiàn)象

RTCP算法為五軸數(shù)控系統(tǒng)減小了非線性誤差，然而由于旋轉(zhuǎn)軸的存在，RTCP算法在插補(bǔ)過程中刀桿末端的運(yùn)動軌跡偏離了球面大圓，這樣有可能出現(xiàn)干涉現(xiàn)象。

圖3 RTCP線性插補(bǔ)過程中發(fā)生干涉

不失一般性，下面以直線段起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為（Ps，θs，φs）、（Pe，θe，φe）為例計(jì)算 RTCP線性插補(bǔ)過程中的刀桿偏差e。

2.1 刀桿偏差e的確定

其中，θ（t）、φ（t）為t 時刻 的 旋轉(zhuǎn) 坐 標(biāo)，由下式確定：

進(jìn)一步將相應(yīng)坐標(biāo)代入式（7），有

插補(bǔ)偏差為曲線PE（t）與PA（v）的最大法向差，對于只有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的情況即為圖3中的e，然而e的求取比較困難，可采用連接兩曲線中點(diǎn)的直線段長度來近似表示。即

將式 （1）、式 （5）、式 （6）、式 （8）代 入 式（10）可得

式中，η為刀桿偏差系數(shù)。

對于式（11），有

注意到e（θs，θe，Δφ）＝e（－θe，－θs，Δφ）＝e（θe，θs，Δφ）＝e（θs，θe，－Δφ），即函數(shù)e（θs，θe，Δφ）關(guān)于θs＝－θe、θs＝θe、Δφ＝0對稱。

2.2 RTCP無碰區(qū)域的計(jì)算

考慮到RTCP插補(bǔ)過程中，實(shí)際的插補(bǔ)曲線與刀桿末端最短曲線（測地線）偏移了一定的距離e，為了避免全局干涉，確定無碰區(qū)域時，將無碰區(qū)域邊界線C收縮ke（k為安全系數(shù)，k≥1）得到C′，以C′包圍的區(qū)域R′作為新的無干涉區(qū)域，并以此確定刀軸矢量，則在插補(bǔ)過程中將不會發(fā)生干涉現(xiàn)象，如圖3所示。

綜上所述，要想應(yīng)用RTCP算法，除了后置處理和數(shù)控插補(bǔ)與傳統(tǒng)算法有所不同外，在確定無碰刀軸矢量時也有一定差異。表1給出了RTCP算法與傳統(tǒng)算法的不同點(diǎn)。

表1 算法比較

3 仿真實(shí)例

為了驗(yàn)證算法的有效性，進(jìn)行了如下的仿真實(shí)驗(yàn)。

（1）RTCP插補(bǔ)實(shí)驗(yàn)。對表2中的相鄰刀位點(diǎn)坐標(biāo)分別采用傳統(tǒng)算法和RTCP算法進(jìn)行線性插補(bǔ)，仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。比較兩圖可以得出結(jié)論，RTCP算法保證了相鄰刀位點(diǎn)之間的運(yùn)動軌跡為直線段，減小了非線性誤差。

表2 刀位點(diǎn)坐標(biāo)

（2）插補(bǔ)偏差仿真實(shí)驗(yàn)。由式（11）繪制給定Δφ＝50°下的η－（θs，θe）函數(shù)關(guān)系曲線如圖6所示。從圖6可以看出，偏差系數(shù)η關(guān)于直線θs＝－θe和θs＝θe對稱，ηmax存在于θs或θe為最大／小值處。不同Δφ下的η－（θs，θe）關(guān)系圖與圖6類似，只是幅值有所不同，計(jì)算不同Δφ下的ηmax，繪制曲線如圖7所示。從圖7可以看出，ηmax隨著Δφ的增大而增大。

圖4 傳統(tǒng)算法插補(bǔ)圖

圖5 RTCP算法插補(bǔ)圖

圖6 η－（θs，θe）函數(shù)關(guān)系圖

圖7 ηmax－Δφ函數(shù)關(guān)系圖

（3）RTCP插補(bǔ)無碰刀軸矢量實(shí)驗(yàn)。待加工的整體葉輪如圖8所示，其中一刀位點(diǎn)的刀桿末端軌跡如圖9所示，通過計(jì)算得到的無碰區(qū)域?yàn)闊o碰邊界1包圍的區(qū)域，圖中A、B兩點(diǎn)為相鄰刀位點(diǎn)的刀桿末端位置，采用式（1）～ 式（4）進(jìn)行RTCP插補(bǔ)得到的插補(bǔ)曲線超過了無碰區(qū)域，發(fā)生了干涉。將無碰邊界1內(nèi)縮ke后得到RTCP算法的無碰邊界2，將B點(diǎn)移至無碰邊界2包圍的無碰區(qū)域內(nèi)重新插補(bǔ)則不會發(fā)生干涉現(xiàn)象。

圖8 整體葉輪

圖9 RTCP插補(bǔ)過程中干涉仿真圖

4 結(jié)語

為了減小非線性誤差，本文提出了基于旋轉(zhuǎn)軸線性插補(bǔ)的RTCP算法，并就該算法在插補(bǔ)過程中出現(xiàn)的干涉現(xiàn)象進(jìn)行了深入的理論分析，仿真實(shí)驗(yàn)表明Δφ很大時必須考慮插補(bǔ)過程中刀桿末端偏差。仿真結(jié)果證實(shí)了算法的可行性。

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