陳 波 晁 侃 吳健康

華中科技大學(xué)，武漢，430074

0 引言

電滲流是微機(jī)電系統(tǒng)中最重要的流體驅(qū)動(dòng)技術(shù)之一。利用電滲流機(jī)理形成的電滲流泵具有易于加工和控制、無(wú)需移動(dòng)部件、較高的可重復(fù)性和可靠性等優(yōu)點(diǎn)。1998年，Ramos等［1］在實(shí)驗(yàn)研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了交流電滲流現(xiàn)象，提出了交流電滲流的概念。利用交流電滲流驅(qū)動(dòng)技術(shù)的低電壓和交變信號(hào)，可在實(shí)現(xiàn)溶液混合的同時(shí)，極大地抑制電解反應(yīng)的發(fā)生［2－7］?？梢?jiàn)，研究交流電滲流微泵具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值［8－11］。傳統(tǒng)的交流電滲流采用非對(duì)稱(chēng)電極進(jìn)行流體驅(qū)動(dòng)，在實(shí)際應(yīng)用中存在流量偏小的問(wèn)題。最近的研究表明，在微通道壁面一系列離散電極上施加等相位差的交變行波電場(chǎng)，也能產(chǎn)生定向電滲流量［12－16］，一般稱(chēng)之為行波電場(chǎng)電滲流。相對(duì)于傳統(tǒng)的非對(duì)稱(chēng)電極，在不增大交變電場(chǎng)強(qiáng)度的條件下，行波電滲流微泵可以明顯提高微泵的流量［17］，而且電極高度對(duì)行波電滲流流量有重要的影響［18］。由于求解完整理論解析解非常困難，在行波電滲流的研究中，一般采用了簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型，即忽略雙電層的厚度影響，在電極的壁面上采用滑移速度邊界條件，將電場(chǎng)和流場(chǎng)解耦后進(jìn)行計(jì)算［15－18］。這種方法一般只在雙電層厚度相對(duì)于微通道特征尺度（如深度或?qū)挾龋┍戎禈O小，以及行波驅(qū)動(dòng)電壓小于雙電層特征電壓（25mV）時(shí)才近似成立［18］。但采用該種方法進(jìn)行研究時(shí)，需要求解耦合的Poisson－Nernst－Planck（PNP）方程，計(jì)算難度大，國(guó)內(nèi)外鮮見(jiàn)相關(guān)報(bào)道。Pribyl等［19］和 Hrdlicka等［20］成功地將該方法應(yīng)用于交流電滲流的研究，但他們?cè)趯?duì)行波電滲流進(jìn)行研究時(shí)，只考察了行波波長(zhǎng)對(duì)電滲流流量的影響，而沒(méi)有考慮通道深度對(duì)流量的影響。此外，Hrdlicka等［20］在研究行波電滲流時(shí)，用行波波長(zhǎng)作為衡量雙電層厚度相對(duì)大小的尺度并不準(zhǔn)確，如當(dāng)行波波長(zhǎng)相對(duì)于通道深度較大時(shí)，仍然采用行波波長(zhǎng)作為衡量尺度明顯和實(shí)際情況不符。本文采用通道深度作為衡量雙電層厚度相對(duì)大小的尺度，詳細(xì)分析了驅(qū)動(dòng)電壓大小、行波波長(zhǎng)以及雙電層厚度和通道深度對(duì)電滲流微泵流量的影響。研究結(jié)果為行波電滲流微泵的研制提供了理論分析基礎(chǔ)和數(shù)值模擬手段。

1 行波電滲流微泵的計(jì)算模型

1.1 行波電滲流微泵的結(jié)構(gòu)

行波電滲流微泵由絕緣的基底材料（硅或玻璃）構(gòu)成電滲流微通道，微通道的截面寬度遠(yuǎn)大于通道深度（y方向），其行波電滲流可簡(jiǎn)化為長(zhǎng)度和深度（x－y）的二維流動(dòng)模型。通過(guò)微加工技術(shù)在微通道內(nèi)壁面粘貼一系列與電解質(zhì)絕緣的離散微電極，每個(gè)電極施加振幅和頻率相同，但存在相位差的交變電壓，相鄰電極的相位差角相等，形成行波電場(chǎng)。行波電滲流微泵的結(jié)構(gòu)如圖1所示。行波電場(chǎng)驅(qū)動(dòng)通道內(nèi)的溶液流動(dòng)時(shí)，壁面電位允許近似采用連續(xù)的行波電場(chǎng)表示，即

式中，A為行波電場(chǎng)幅值；ω為圓頻率（物理頻率為f＝ω／（2π））；k為波數(shù)，k＝2π／L；L為行波波長(zhǎng)。

由于行波電場(chǎng)電滲流在微通道方向具有周期性，故只需截取一個(gè)行波波長(zhǎng)L的微通道單元進(jìn)行數(shù)值分析，各單元之間由重復(fù)的周期性邊界條件連接。

圖1 行波電滲流微泵的結(jié)構(gòu)

1.2 控制方程和邊界條件

通道壁面采用無(wú)滑移邊界條件，通道進(jìn)出口采用周期性邊界條件。微通道中充滿(mǎn)電解質(zhì)溶液，在行波信號(hào)的驅(qū)動(dòng)下產(chǎn)生電滲流流動(dòng)。不可壓縮流體的連續(xù)方程和Navier－Stokes（NS）方程為

式中，i、j為x和y方向的單位矢量；ρe2ψ為作用于流體的行波電場(chǎng)力；V（u，v）為流體速度矢量；ρ為溶液密度；μ為流體黏度；p為壓強(qiáng)；ρe為流體電荷體積密度；ψ為行波電場(chǎng)感應(yīng)的電位勢(shì)。

感應(yīng)電位勢(shì)ψ滿(mǎn)足如下Poisson方程［21］：

式中，c＋、c－為溶液正負(fù)離子摩爾濃度；ε為溶液介電常數(shù)；F為法拉第常數(shù)。

電極表面的行波電位勢(shì)為

微通道上壁面為絕緣邊界條件，n·2ψ＝0，其中，n為壁面法向矢量。

離子輸運(yùn)的Nernst－Planck方程為

式中，D為離子擴(kuò)散系數(shù)；R為摩爾氣體常數(shù)；T為絕對(duì)溫度。

忽略法拉第電流的影響，壁面邊界條件為n·Jj＝0。

2 邊界滑移近似

行波電壓很小時(shí)，可忽略雙電層的厚度影響，用簡(jiǎn)化的邊界滑移模型求解行波電場(chǎng)電滲流［9-11］。由等效電路模型原理可知，若把雙電層內(nèi)被極化的流體區(qū)域當(dāng)作電容，則雙電層之外呈現(xiàn)電中性部分的流體則被視作電阻；電極表面采用電滲流Helmholtz－Smoluchowski速度為邊界滑移速度，直接計(jì)算微通道內(nèi)部電滲流。這等價(jià)于把雙電層影響近似為壁面滑移速度，避開(kāi)了雙電層電場(chǎng)計(jì)算，其數(shù)值解得到大大簡(jiǎn)化。我們將上述的數(shù)值解稱(chēng)之為滑移邊界近似解。對(duì)于圖1所示的物理模型，電極上所施加的電位勢(shì)在泵腔內(nèi)的分布滿(mǎn)足Laplace方程［11］：

若把電極表面雙電層內(nèi)的擴(kuò)散層看成一個(gè)電容，則相應(yīng)的電位勢(shì)邊界條件［11］為

式中，Cd為雙電層電容；σ為溶液電導(dǎo)率。

電極上的行波電位勢(shì)為

壁面絕緣層滿(mǎn)足絕緣邊界條件，通道進(jìn)出口為周期性邊界條件。

不可壓縮Navier－Storks方程可簡(jiǎn)化為

微通道進(jìn)出口為周期性條件，壁面絕緣層為無(wú)滑移速度邊界條件。電極表面采用速度滑移邊界條件：

式中，t為電極表面切矢量。

3 計(jì)算結(jié)果分析

圖2 泵流平均流速與行波頻率關(guān)系≈1≈0.01）

圖3 泵流平均流速與行波頻率關(guān)系≈10≈0.01）

圖4 泵流平均流速與行波頻率關(guān)系≈1≈0.1）

圖5 泵流平均流速與行波頻率關(guān)系≈10≈0.1）

將行波電滲流微泵的尺寸參數(shù)等比例縮小至原參數(shù)的1／10（H＝1μm＝λ／H＝0.1），平均流速與行波頻率的關(guān)系如圖4、圖5所示。由于通道深度變小，邊界滑移解往往會(huì)大于電滲流平均流速。在某些條件下，邊界滑移解的平均流速甚至?xí)笥谛胁úㄋ伲?0］，表明邊界滑移解明顯有誤。對(duì)較淺的微通道（較小的值），必須采用耦合PNP方程和NS方程求解。在壁面高電位≈10）、淺通道≈0.1）的情況下，邊界滑移解誤差會(huì)更大（圖5）。

圖6所示為泵流平均流速最大值與雙電層厚度的關(guān)系，圖6結(jié)果表明，由于忽略了雙電層厚度的影響，邊界滑移解的電滲流平均流速被高估。雙電層厚度相對(duì)于通道深度比值越大，誤差越明顯。當(dāng)雙電層厚度比通道深度小很多時(shí)，邊界滑移解與PNP解一致。

圖6 泵流平均流速最大值與雙電層厚度關(guān)系≈1）

為了研究行波波長(zhǎng)對(duì)電滲流平均流速的影響，保持微泵深度不變（H＝10μm），波長(zhǎng)深度比L／H 分別為2、4、6、10，電滲流平均流速與行波頻率的關(guān)系如圖7所示，圖中≈0.01（相對(duì)深通道），溶液摩爾濃度c0＝10mol／dm3）。由圖7可以看出，電滲流速度隨波長(zhǎng)增加而降低，速度峰值頻率隨著波長(zhǎng)的增加而向低頻轉(zhuǎn)移。

圖7 泵流平均流速與行波頻率關(guān)系≈1≈0.01）

在圖8所示的泵流平均流速與行波頻率關(guān)系中，令溶液摩爾濃度c0＝0.1mol／dm3，由Debye長(zhǎng)度的定義可知≈0.1（相對(duì)淺微通道，λ ＝1μm）。由圖8可以看出，電滲流速度隨著波長(zhǎng)的增加而降低，速度峰值頻率亦隨著波長(zhǎng)的增加而向低頻轉(zhuǎn)移。

圖8 泵流平均流速與行波頻率關(guān)系≈1≈0.1）

4 結(jié)束語(yǔ)

采用滑移邊界近似解，允許將電場(chǎng)和流場(chǎng)分開(kāi)求解，雖可以簡(jiǎn)化數(shù)值解，但只能在雙電層厚度相對(duì)于微通道深度和壁面極化電壓都很小的條件下近似成立；對(duì)極化電壓較高或雙電層厚度相對(duì)于通道深度比值較大時(shí)，邊界滑移解的實(shí)際電滲流速度會(huì)被高估。此前提下，耦合的PNP方程和NS方程是包含電滲流雙電層的精確描述，能更加準(zhǔn)確地對(duì)行波電滲流微泵進(jìn)行研究。研究表明，當(dāng)行波電場(chǎng)周期接近微通道雙電層充電時(shí)間時(shí)，電滲流平均速度達(dá)到最大值。增大行波電場(chǎng)幅值，可以提高電滲流平均流速。當(dāng)雙電層厚度相對(duì)于通道深度比值和行波波長(zhǎng)增大時(shí)，電滲流平均流速減小。

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