熊 行

(湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南長沙410082)

基于遺傳算法的電動助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的μ魯棒控制*

熊 行

(湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南長沙410082)

電動助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)是一個(gè)多輸入輸出非線性系統(tǒng)。本文首先對控制系統(tǒng)做動力學(xué)分析，建立動力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上對系統(tǒng)設(shè)計(jì)一種基于遺傳算法的μ綜合方法，借用μ綜合問題的常用D－K交替迭代算法，將定標(biāo)矩陣D和控制器K作為遺傳算法的解空間，以最大奇異值作為目標(biāo)函數(shù)來獲得最優(yōu)控制器K，從而獲得μ值判定設(shè)計(jì)控制器對系統(tǒng)有好的性能以及穩(wěn)定性。

電動助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng);遺傳算法;μ綜合設(shè)計(jì);魯棒控制

汽車作為全球最主要的交通工具，汽車工業(yè)不斷的發(fā)展，且必將長期繁榮發(fā)展。目前汽車電子已成為汽車技術(shù)的重要組成部分，并且實(shí)現(xiàn)了許多部件的汽車電子化。汽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)在經(jīng)歷機(jī)械轉(zhuǎn)向和液壓轉(zhuǎn)向兩個(gè)發(fā)展階段后，也將被電動助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)所取代。

另一方面，由于汽車、安全上的要求十分嚴(yán)格，所以電動助力轉(zhuǎn)向的穩(wěn)定性和可靠 性是產(chǎn)業(yè)化發(fā)展的關(guān)鍵因素。控制系統(tǒng)是電動助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的核心組成部分，本文在控制層面尋求新的控制方法，改善控制方法，通過綜合遺傳算法和μ綜合控制的方法來設(shè)計(jì)EPS的控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)基于遺傳算法的EPS的μ綜合魯棒控制方法。

通過matlab/simulink對電動助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)進(jìn)行仿真，并且通過比較分析上述控制方法獲得的仿真結(jié)果。

一、電動助力轉(zhuǎn)向模型的建立

對轉(zhuǎn)向盤和轉(zhuǎn)向柱進(jìn)行受力分析［1］，得到運(yùn)動方程:

對齒輪齒條進(jìn)行受力分析，得到齒輪齒條模型:

系統(tǒng)采用永磁式直流電動機(jī)，有如下關(guān)系:

電動機(jī)產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩:

減速系統(tǒng)機(jī)機(jī)械部分受力分析，可得到:

分析電動助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模型，遵循建立數(shù)學(xué)模型的基本原則，適當(dāng)簡化控制系統(tǒng)，使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)盡可能清晰，系統(tǒng)內(nèi)互相耦合盡可能少，并考慮部分可能影響系統(tǒng)的誤差因素并且建立數(shù)學(xué)模型。如圖1所示，簡化后的系統(tǒng)包括:轉(zhuǎn)向盤，轉(zhuǎn)向柱，助力電機(jī)，減速系統(tǒng)，齒輪齒條五個(gè)主要部分。根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)建立各個(gè)部分的運(yùn)動微分方程，從而選取合理的輸入輸出項(xiàng)，建立整個(gè)系統(tǒng)的模型。

公式中參數(shù)如下所示:

Td為轉(zhuǎn)向盤的輸入扭矩;Tm為電動機(jī)理論輸出扭矩;θc為轉(zhuǎn)向柱轉(zhuǎn)角;θm為助力電機(jī)轉(zhuǎn)角;Xr為齒條位移;Jc為轉(zhuǎn)向柱的轉(zhuǎn)動慣量;Kc為轉(zhuǎn)向柱的剛度;Bc為轉(zhuǎn)向柱的阻尼;M為齒條質(zhì)量;Br為齒條阻尼;Kr為齒條當(dāng)量剛度;Km為電動機(jī)扭轉(zhuǎn)剛度;Jm為電動機(jī)轉(zhuǎn)動慣量;Bm為電動機(jī)阻尼系數(shù);G為電動機(jī)到轉(zhuǎn)向柱的減速比;rp為轉(zhuǎn)向小齒輪節(jié)圓半徑;Bc為轉(zhuǎn)向柱粘性阻尼系數(shù);fc(θc，˙θc)為轉(zhuǎn)向柱及連接副的摩擦力矩;Mr為齒條等效質(zhì)量;Kt為齒條當(dāng)量剛度;fr(xr，)為齒條上非線性摩擦力;Fr為路況變化對系統(tǒng)的干擾力;Ka為電動機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù);U為電動機(jī)的電壓;L為電感;R為電樞電阻;Kb為反電動勢常數(shù);I為電流;t為時(shí)間。

圖1

二、狀態(tài)方程的建立

由上述(1)－(5)建立系統(tǒng)狀態(tài)方程模塊，其中狀態(tài)變量為:

輸入量為:U= [TU F]T，

系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程式為:

為了減少系統(tǒng)建模的保守型，在進(jìn)行傳感器測量時(shí)，系統(tǒng)性能不可避免的會受到傳感器噪聲的影響，為此設(shè)定權(quán)函數(shù):WTc=Wθc=W˙θm=0.01。并且分離系統(tǒng)高頻未建模攝動。

三、基于遺傳算法的μ綜合控制

對于μ綜合問題的描述一般如圖2所示。

圖2

其中G為被控制對象，K為控制器，M=Fl(G，K)。μ綜合問題即為尋找一個(gè)控制器K*，使得M*滿足這樣就可以通過對μ的計(jì)算來解決μ綜合問題。

定義:對于任意矩陣 A∈ Cm×n，可以表達(dá)為:A =U∑V*。其中U∈Cm×n，V∈Cm×n是單模矩陣，即有 UU*=I，VV*=I，∑∈Rm×n的非對角元素為0，對角元素σi非零且有p=min(m，n) 個(gè)，假定為 σ1≥ σ2≥ … ≥ σp，則 σ1，σ2，…，σp稱為矩陣的奇異值，其中σ1為最大奇異值。對于實(shí)數(shù)矩陣A∈Rm×n，U和 V是實(shí)正交矩陣。矩陣 A的最大奇異值有:

定義如下兩個(gè)Cm×n的子集的集合。

利用μ的定義很難對μ進(jìn)行求解，目前最常見的方法是通過一組上下界函數(shù)來逼近μ值。

定理1:對于任意D∈D和U∈U，有:μ(MU)=μ(UM)=μ(M)=μ(DMD－1)成立。由定理一可得一個(gè)關(guān)于μ(M)的一個(gè)比較接近的上下界，即μ 上界為最大奇異值。

定理2:最大奇異值最小化問題是凸優(yōu)化問題。

定理2提供一種利用μ的上界近似求解μ的思路。所以μ 的計(jì)算一般指上界函數(shù)

簡單描述D－K交替迭代算法的具體步驟:首先選擇一個(gè)定標(biāo)矩陣D(s)，使D(s)和D(s)－1穩(wěn)定，并且最小化廣義系統(tǒng)，然后使用H∞設(shè)計(jì)方法，尋找一個(gè)控制器K。對于控制器K(s)，在每個(gè)頻率點(diǎn)上求解最優(yōu)的D(s)，用穩(wěn)定、最小相位，可逆的傳遞函數(shù)擬合D(s)陣。反復(fù)迭代，直到μ［Fl(G，K)］滿足一定要求為止。

在D－K交替迭代算法中，用定標(biāo)矩陣D和控制器K反復(fù)迭代，兩步都是凸優(yōu)化問題，但是D－K交替迭代尋優(yōu)不具備聯(lián)合凸性［2］。所以這種算法不能保證最終獲得的控制器是最優(yōu)控制器。而在μ－K迭代中，用μ替代D－K迭代中的D，同樣不存在全局最優(yōu)性，而且需要較大的計(jì)算量。

遺傳算法是一種有效的全局優(yōu)化搜索算法［3］，特別適于處理傳統(tǒng)尋優(yōu)方法難以解決的復(fù)雜非線性尋優(yōu)問題［4］。通過選擇多個(gè)滿足D子集的定標(biāo)矩陣D，然后利用H∞設(shè)計(jì)方法尋找相應(yīng)的滿足最小化廣義系統(tǒng)的H∞范數(shù)的控制器K，最后通過對定標(biāo)矩陣D和控制器K進(jìn)行遺傳操作得到控制器K*。

遺傳算法的處理:編碼:將定標(biāo)矩陣D主對角線各項(xiàng)和控制器 K 中 的 各 項(xiàng) 直 接 編 碼，組 成 個(gè) 體 P。P:設(shè)定初始群體:選擇多個(gè)滿足Dj(j=1，2，…，N)，然后利用H∞設(shè)計(jì)方法尋找相應(yīng)的控制器Kj(j=1，2，…，N)，這樣就得到 N 個(gè)個(gè)體 Pj(j=1，2，…，N)，將這 N 個(gè)個(gè)體組成初始群體。

定義適應(yīng)度函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)為:φ =σmax［DFl(G，K)D－1］，定義適應(yīng)度函數(shù)為為交叉概率為變異概率。其中M為較大正數(shù)保證適應(yīng)度值總是正的。

設(shè)計(jì)遺傳操作:(1)選擇:排序選擇+最佳個(gè)體保存法;(2)非一致交叉，個(gè)體P由定標(biāo)矩陣D和控制器K兩部分組成，因此需要對兩部分分別進(jìn)行非一致交叉。設(shè)進(jìn)行交叉的兩父代個(gè)體為:X1D，X1K，X2D，X2K:

其中:rD，rK∈［0，1］，每次交叉時(shí)的取值都不同。

(3)變步長變異:分別對個(gè)體P的兩部分進(jìn)行變步長變異。變異步長為:

其中:XD，XK和X'D，X'K分別為變異前和變異后的個(gè)體。

(4)遺傳算法的迭代終止條件:設(shè)置最大進(jìn)化代數(shù)G作為迭代終止的另一個(gè)條件。

(5)設(shè)計(jì)方法如圖3所示。

圖3

四、仿真結(jié)果及分析

設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)有:群體規(guī)模N=12;最大進(jìn)化代數(shù)G1=100;定常系數(shù) α 為0.02;β 為0.3;定常系數(shù) k1為0.85;k2為0.01;Jc=0.0012kg.m2;Kc=90Nm/rad;Bc=0.261N.m.s/rad;M=32kg;Br=650.5N.m.s/rad;Km=125Nm/rad;Jm=0.00047kg.m2;rp=0.0078m;Bm=0.00334N.m.s/rad;G=16.5;Kt=91061N/m;L=0.0015H;R=0.1Ω;Kw=0.02v.s/rad;Ke=0.02v.s/rad。

通過全局尋優(yōu)的μ綜合的遺傳算法，利用Matlab工具箱進(jìn)行仿真，得到μ=0.7560。結(jié)構(gòu)奇異值 μ的曲線如圖4所示。

圖4

由上訴仿真結(jié)果可以表明，基于遺傳算法的μ綜合問題與傳統(tǒng)的交替迭代算法相比，具有簡便性，并且能達(dá)到全局最優(yōu)解。由圖可知μmax＜1，所以可知系統(tǒng)在高低頻段可以具備良好的魯棒性。

如圖5所示，為目標(biāo)轉(zhuǎn)矩對助力轉(zhuǎn)矩階躍響應(yīng)曲線圖，比較之后我們可以看出基于遺傳算法的μ魯棒控制，具有超調(diào)量小，反應(yīng)速度快，并且能夠迅速穩(wěn)定的特點(diǎn)，從而使得系統(tǒng)具有更好的動態(tài)性能和穩(wěn)定性能。

圖5

圖6是扭桿轉(zhuǎn)矩對助力電機(jī)電壓擾動階躍響應(yīng)，從圖中可以看出，基于遺傳算法的μ魯棒控制具備響應(yīng)速度快，超調(diào)量小，且干擾小的優(yōu)點(diǎn)。

圖6

五、結(jié)論

在本文中，建立了電動助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，并對其設(shè)計(jì)了基于遺傳算法的μ魯棒控制的方法，系統(tǒng)仿真結(jié)果表明，基于遺傳算法的μ魯棒控制具備良好的魯棒性能。通過基于遺傳算法的μ魯棒控制與Hinf魯棒控制的比較，可以看出μ魯棒控制具備超調(diào)量小，干擾小，響應(yīng)速度快的優(yōu)點(diǎn)。

［1］余志生.汽車?yán)碚?第3版)［M］.北京:機(jī)械正業(yè)出版社，2000.

［2］Mu －Analysis and Synthesis Toolbox.The Mathworks，Inc.

［3］潘偉.基于遺傳算法的魯棒控制問題研究［D］.沈陽:東北大學(xué)，2006.

［4］王小平，曹立明.遺傳算法——理論、應(yīng)用與軟件實(shí)現(xiàn)［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，2000.

2012－03－02

熊行(1985－)，男，湖南長沙人，碩士研究生。