楊小會，霍鵬飛，王 超

（機電動態(tài)控制重點實驗室，陜西 西安 710065）

0 引言

全球定位系統(tǒng)（Global Positioning System，簡稱GPS）具有全天候、高精度、快速實時定位的優(yōu)點，在國外被廣泛應(yīng)用于射程修正引信中［1］。隨著我國北斗二代衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)的建成，這種基于衛(wèi)星定位的彈道修正引信的實現(xiàn)將成為可能。

目前我國只能利用GPS中的粗測距碼（C／A碼）進行定位，GPS測量值存在較大隨機誤差。傳統(tǒng)上利用慣性導航系統(tǒng)（Inertial Navigation System，簡稱INS）與GPS優(yōu)勢互補的特點，將兩者組合成GPS／INS組合導航系統(tǒng)［2］，以提高整個系統(tǒng)的導航精度及性能；或者采用最小二乘估計［3］，降低GPS測量隨機誤差。

由于彈道修正引信工作環(huán)境惡劣，引信空間有限以及要求成本低等原因，在彈道修正引信中使用GPS／INS組合導航系統(tǒng)不太可能，而最小二乘濾波僅考慮了量測值，沒有考慮系統(tǒng)動態(tài)模型，在系統(tǒng)表現(xiàn)為強非線性時，估計精度很差，甚至濾波發(fā)散，完全不可用［4］。為此提出了一種基于卡爾曼濾波的GPS測量誤差消除方法。

1 卡爾曼濾波

在非線性領(lǐng)域，卡爾曼濾波將非線性狀態(tài)方程和測量方程在狀態(tài)估計時刻進行泰勒展開，忽略二階及二階以上的高階項，將得到的一階近似項作為原狀態(tài)方程和測量方程的近似表述形式。濾波公式［3］如下。

初始化方程：

時間更新方程：

量測更新方程：

2 卡爾曼濾波誤差消除方法

卡爾曼濾波誤差消除方法首先利用彈道動態(tài)模型對彈丸狀態(tài)進行預(yù)估，再利用GPS量測值對狀態(tài)預(yù)估值進行校正，最終估計出誤差最小的運動狀態(tài)。圖1為卡爾曼濾波誤差消除原理圖。

圖1 卡爾曼濾波誤差消除原理Fig.1 Principles of eliminating errors based on kalman filter

圖1中，卡爾曼濾波算法見式（1）—式（9），狀態(tài)方程見2.1節(jié)中彈道方程，量測方程見2.2節(jié)中量測模型。

由圖1和卡爾曼濾波式（1）—式（9）可以看出，卡爾曼濾波有兩個明顯的信息更新過程：時間更新過程和量測更新過程。時間更新過程完成狀態(tài)預(yù)估，量測更新過程用來計算對時間更新值的修正量。

時間更新過程由式（3）、式（4）完成，式（3）完成了利用彈道動態(tài)模型對彈丸狀態(tài)進行預(yù)估，式（4）定量地描述了這種預(yù)估的質(zhì)量優(yōu)劣。

量測更新過程由濾波算法其余公式完成，量測更新過程用來計算對時間更新值的修正量，該修正量由濾波增益 （Kk）、量測與狀態(tài)的關(guān)系（Hk）以及具體的量測值（Zk）所確定。濾波增益（Kk）是使估計的均方誤差陣達到最小的最佳增益陣，它通過時間更新的質(zhì)量優(yōu)劣（Pk｜k－1）與量測信息的質(zhì)量優(yōu)劣（Rk）自動確定對量測值和狀態(tài)預(yù)估值的利用比例，以達到估計誤差最小的運動狀態(tài)的目的。

2.1 狀態(tài)模型

考慮到射程修正引信彈載控制器DSP的解算實時性及彈道辨識精度，采用質(zhì)點彈道模型作為狀態(tài)模型［5］。狀態(tài)方程如下：

式中，θ表示彈道傾角，v表示彈丸速度，x表示地面坐標系中的射程，y表示地面坐標系中的射向，c表示彈道系數(shù)，g表示重力加速度。

氣壓函數(shù)：

式中，R1為空氣常數(shù)，p0n表示標準氣象條件的地面大氣壓強。

空氣阻力函數(shù)：

cx0n（Ma）采用43年阻力定律，Ma表示馬赫數(shù)。Ma表示聲速，k＝1.404，τ表示虛溫函數(shù)，vr表示彈丸相對于空氣的運動速度。vr＝表示標準氣象條件的地面虛溫，wx表示彈道縱風，可測量得到。

2.2 GPS量測模型

GPS測量采用的坐標系是以地球質(zhì)心為原點的大地坐標系［6］，即經(jīng)度λ、緯度φ和大地高h，則量測模型如下：

式中，x，y，z分別為地面坐標系中的射程、射向和橫偏。vE為東向速度，vN為北向速度，vU為天向速度；α為射向，以真北為零，順時針為正；λ0、φ0和h0為發(fā)射點位置。

在WGS－84坐標系中，地球橢圓長軸半徑為Re＝6 378 137m，地球橢圓短軸半徑為Rp＝6 356 752m。

記量測方程為z＝ h （x）＋R，假設(shè)量測噪聲為相互獨立的不相關(guān)零均值白高斯噪聲R～ （0 ，q）。

3 試驗驗證

以某型底凹榴彈為試驗平臺，采用彈載GPS進行彈道測量，跟蹤雷達全彈道跟蹤彈道，遙測裝置實時保存GPS測量值。采用上述基于擴展卡爾曼濾波的GPS測量值誤差消除方法對其中一發(fā)遙測到的GPS測量值進行濾波估計。

3.1 直接彈道測量精度評估法

以跟蹤雷達外測值為基準，分別計算GPS濾波估計值和GPS測量值的誤差，并在全彈道（彈丸出炮口后第7～48s）對彈丸射程和射高誤差值進行了統(tǒng)計，結(jié)果見表1。

表1 GPS測量誤差統(tǒng)計值Tab.1 Statistic of GPS measurement errors

由表1可以看出：經(jīng)過擴展卡爾曼濾波誤差消除后的GPS測量精度比未經(jīng)誤差消除的GPS測量精度可以提高近一倍。

3.2 間接彈道測量精度評估法

同一發(fā)彈丸的GPS實測數(shù)據(jù)，對經(jīng)擴展卡爾曼濾波消除誤差后的GPS測量值和未經(jīng)誤差消除的GPS測量值分別采用相同的算法進行落點預(yù)測，并將各自預(yù)測到的落點與彈丸實測落點進行對比，以評估預(yù)測精度，進而評價擴展卡爾曼濾波誤差消除方法的有效性。

對誤差消除后的GPS測量值及未經(jīng)誤差消除的GPS測量值，分別選取彈丸出炮口后第30～37s時段的數(shù)據(jù)進行二次曲線擬合。采用不同時刻的擬合值作為彈道初始諸元解算質(zhì)點彈道，預(yù)測落點，采用彈丸實測落點評估預(yù)測精度。預(yù)測誤差見表2。

表2 預(yù)測誤差Tab.2 Errors of prediction

由表2可以看出經(jīng)擴展卡爾曼濾波誤差消除后的預(yù)測誤差相對于未經(jīng)誤差消除的預(yù)測誤差可以提高50%以上的射程預(yù)測精度。

4 結(jié)論

本文提出一種GPS測量誤差消除方法，該方法采用擴展卡爾曼濾波結(jié)合外彈道模型對GPS測量值進行濾波估計，以達到消除GPS測量誤差的目的。實測數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明：結(jié)合彈道模型，采用卡爾曼濾波進行最優(yōu)估計可有效消除GPS測量誤差；經(jīng)擴展卡爾曼濾波誤差消除后的預(yù)測誤差相對于未經(jīng)誤差消除的預(yù)測誤差可以提高50%以上的射程預(yù)測精度。

［1］洪元軍，雷亞茹.國外彈道修正引信發(fā)展研究［J］.探測與控制學報，2001，23（4）：1－5.HONG Yuanjun，LEI Yaru.The current development of foreign trajectory correction fuze［J］.Journal of Detection and Control，2001，23（4）：1－5.

［2］周坤芳，孔鍵.INS輔助GPS接收機及抗干擾能力分析［J］.航空電子技術(shù)，2009，40（2）：1－3.ZHOU Kunfang，KONG Jian.INS－assisted gps receiver and analysis of its influence on anti－jamming capability［J］.Avionics Technology，2009，40（2）：1－3.

［3］申強，葛靦，張冀興，等.一種GPS彈道辨識方法的精度仿真分析［J］.北京理工大學學報，2009，29（2）：100－102.SHEN Qiang，GE Mian，ZHANG Jixing，et al.Analysis on the precision of a gps－based trajectory identification method by simulation［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2009，29（2）：100－102.

［4］秦永元，張洪鉞，汪叔華.卡爾曼濾波與組合導航原理［M］.西安：西北工業(yè)大學出版社，1998.

［5］韓子鵬.彈箭外彈道學［M］.北京：北京理工大學出版社，2008.

［6］董緒榮，張守信，華仲春.GPS／INS組合導航定位及其應(yīng)用［M］.長沙：國防科技大學出版社，1998.