王躍鋼，蔚 躍，雷堰龍，陳蘇邑

（解放軍第二炮兵工程大學(xué)自動(dòng)化系，陜西 西安 710025）

0 引言

初始對(duì)準(zhǔn)對(duì)于慣導(dǎo)系統(tǒng)的精度與啟動(dòng)準(zhǔn)備時(shí)間有著直接的關(guān)系，所以一直被看作慣性導(dǎo)航技術(shù)領(lǐng)域的重要問題之一［1］。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)（strap－down inertial navigation system，SINS）初始對(duì)準(zhǔn)的實(shí)質(zhì)就是確定載體坐標(biāo)系到真實(shí)導(dǎo)航坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。由于初始對(duì)準(zhǔn)誤差將嚴(yán)重影響系統(tǒng)的整體誤差，因此要求初始對(duì)準(zhǔn)的對(duì)準(zhǔn)精度要高，對(duì)準(zhǔn)時(shí)間要短。采用卡爾曼濾波是實(shí)現(xiàn)慣導(dǎo)系統(tǒng)自對(duì)準(zhǔn)的有效途徑之一，但卡爾曼濾波使用的條件是只能用于線性系統(tǒng)，對(duì)于非線性系統(tǒng)常用的方法是采用擴(kuò)展卡爾曼濾波（extended kalman filter，EKF），而在大方位失準(zhǔn)角情況下，這種近似線性化的方法舍棄了非線性函數(shù)的高階項(xiàng)，引入了誤差，使濾波結(jié)果為次優(yōu)，甚至導(dǎo)致濾波發(fā)散［2］。Julier［3］等人從非線性均值和方差傳播的角度提出平淡卡爾曼濾波（unscented kalman filter，UKF），這種方法直接利用非線性模型進(jìn)行遞推估計(jì)，避免了線性化誤差的引入且遞推估計(jì)過程不需計(jì)算矩陣，但隨著狀態(tài)空間維數(shù)的增加，計(jì)算量也會(huì)急劇增大，加重系統(tǒng)計(jì)算負(fù)擔(dān)，同時(shí)無(wú)法保證在濾波更新階段生成的狀態(tài)協(xié)方差陣非負(fù)定［4］，從而直接影響采樣點(diǎn)生成時(shí)進(jìn)行的Cholesky分解。為此，本文提出超球體平方根平淡卡爾曼濾波方法，解決上述問題。

文章第一、二章為基礎(chǔ)鋪墊，第三章將超球體采樣及平方根濾波結(jié)合提出一種新的濾波方法，并應(yīng)用到捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)大失準(zhǔn)角下的非線性誤差模型中，第四章通過matlab數(shù)值仿真，分別與EKF和UKF進(jìn)行了對(duì)比，說明了新方法的可行性。

1 捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)非線性誤差方程

1.1 速度誤差方程

式中，W為量測(cè)噪聲，B為噪聲驅(qū)動(dòng)陣。

大失準(zhǔn)角下的速度誤差方程為［5］：

令歐拉失準(zhǔn)角φx，φy，φz的轉(zhuǎn)動(dòng)順序?yàn)棣誾、φx、φy。則可求得C由式（2）確定：

1.2 姿態(tài)誤差方程

大失準(zhǔn)角下姿態(tài)誤差方程為［5］：

1.3 非線性對(duì)準(zhǔn)濾波模型

假設(shè)陀螺和加速度計(jì)誤差僅由常值漂移εb＝［εbxεbyεbz］T，▽b＝ ［▽bx▽by▽bz］T和觀測(cè)噪聲εg＝ ［εgxεgyεgz］T，▽r＝ ［▽rx▽ry▽rz］T組成，忽略其他因素的影響，可以表示為：

選取狀態(tài)變量為：

式（1）、式（3）、式（5）組成了大失準(zhǔn)角下SINS誤差狀態(tài)方程。

取速度誤差為觀測(cè)量得到SINS觀測(cè)方程為：

式（8）中，ζ為觀測(cè)噪聲。

式（6）、式（8）構(gòu)成了非線性對(duì)準(zhǔn)的濾波模型。

2 超球體采樣及平方根濾波

2.1 超球體分布采樣點(diǎn)變換方法

Julier等人［3］從非線性均值和方差傳播的角度提出UKF，這種方法直接利用非線性模型進(jìn)行遞推估計(jì)，避免了線性化誤差的引入，且遞推估計(jì)過程不需計(jì)算矩陣，比EKF更為簡(jiǎn)單，后來又提出了超球體分 布 采 樣 點(diǎn) 變 換 （spherical simplex unscented transformation，SSUT）方法［6］，減少采樣點(diǎn)的求取，將采樣點(diǎn)數(shù)目由2n＋1減小到n＋2，當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)很大時(shí)可以極大地降低計(jì)算量［7］。同時(shí)SSUT中采樣點(diǎn)具有與狀態(tài)相同的前二階矩。SSUT采樣點(diǎn)的選取步驟如下：

1）選擇第0個(gè)權(quán)值W0，并且0≤W0≤1

2）計(jì)算其他權(quán)值

3）初始化一維化狀態(tài)序列

4）空間維數(shù)j＝2，3，…，n時(shí)，遞推公式為：

2.2 平方根平淡卡爾曼濾波算法

由于在標(biāo)準(zhǔn)UKF濾波狀態(tài)更新階段，P陣很容易失去正定性［8］。造成協(xié)方差陣P 無(wú)法進(jìn)行Cholesky分解，不能生成采樣點(diǎn)。采用平方根平淡卡爾曼濾波解決此問題，該方法在UKF濾波的時(shí)間更新和量測(cè)更新階段采用平方根濾波將狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差陣的Cholesky因子形式Sa直接傳遞，避免了在采樣點(diǎn)計(jì)算時(shí)對(duì)狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差陣的Cholesky分解，從而解決了UKF數(shù)值不穩(wěn)定性的問題，減小了計(jì)算量。

3 超球體平方根平淡卡爾曼濾波算法

改進(jìn)的平淡卡爾曼濾波算法是SSUT方法與平方根UKF結(jié)合的方法，這里稱之為超球體平方根平淡卡爾曼濾波算法，取超球體采樣的首字母以及平方根的第二個(gè)字母，該算法英文縮寫為SRUKF（spherical root unscented kalman filter）。

不妨設(shè)非線性系統(tǒng)的模型如式（13）：

式中，過程噪聲wk是均值為0，方差為Q的高斯白噪聲。同樣，量測(cè)噪聲vk為均值為0，方差為R的高斯白噪聲。

1）初始化

2）計(jì)算采樣點(diǎn)

3）時(shí)間更新

4）量測(cè)更新

4 仿真分析

仿真初值按照如下選?。簴|向、北向、天向失準(zhǔn)角分別取2°，2°，15°；陀螺常值漂移取0.02 （°）／h，隨 機(jī) 漂 移 為 0.01 （°）／h；加 速 度 計(jì) 常 值 漂 移 為1×10－4g，緯度取45°，當(dāng)?shù)馗叨?50m，仿真時(shí)間400s，SINS采樣周期取0.05s。

按照以上仿真條件分別進(jìn)行EKF，SRUKF，UKF濾波，仿真結(jié)果如表1和圖1—圖3所示。

表1 捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始對(duì)準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)均值Tab.1 Steady state mean of SINS initial alignment

其中，表1穩(wěn)態(tài)均值是250～350s仿真結(jié)果取絕對(duì)值后的均值。這段時(shí)間內(nèi)，濾波進(jìn)入穩(wěn)態(tài)沒有了符號(hào)的變化，為了比較穩(wěn)態(tài)值偏移0的距離，因此都取絕對(duì)值，100s時(shí)間段內(nèi)求均值的目的是為了有效地克服單個(gè)奇異點(diǎn)帶來的影響，不會(huì)對(duì)仿真結(jié)果造成影響。

圖1 東向誤差角估計(jì)值Fig.1 Error estimation of east angle

圖2 北向誤差角估計(jì)值Fig.2 Error estimation of north angle

圖3 天向誤差角估計(jì)值Fig.3 Error estimation of attitude angld

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)在該初始條件下水平（東向與北向）誤差角的理論穩(wěn)態(tài)誤差值為18.73″，天向理論穩(wěn)態(tài)誤差值為4.46′。仿真結(jié)果表明：水平誤差角仿真結(jié)果與理論分析的效果相符，三種濾波方法水平失準(zhǔn)角誤差很小，收斂時(shí)間也很快，這是因?yàn)樗绞?zhǔn)角是小角度。其次，對(duì)于初始對(duì)準(zhǔn)的核心部分方位角的對(duì)準(zhǔn)精度而言，表1指出SRUKF與UKF的濾波結(jié)果相對(duì)于EKF來講與理論值更為接近，這從圖3也可以直接看出，這是因?yàn)镾RUKF和UKF在處理非線性系統(tǒng)的精度能達(dá)到二階，而EKF在處理非線性問題上是按照泰勒級(jí)數(shù)展開取一階的線性化方法，其精度只能達(dá)到一階，要想達(dá)到更高精度就必須得求復(fù)雜的雅克比矩陣。因此，雅克比矩陣的求取是限制EKF精度的主要因素。最后，圖3中SRUKF的收斂時(shí)間要比UKF快，原因是采樣點(diǎn)數(shù)目由2n＋1減小到n＋2，系統(tǒng)維數(shù)較大時(shí)可以減小計(jì)算量。綜上可知，SRUKF相對(duì)于EKF提高了濾波精度，相對(duì)于UKF縮短了對(duì)準(zhǔn)時(shí)間，這種改進(jìn)的方法提高了對(duì)準(zhǔn)效率。

5 結(jié)論

提出了超球體平方根平淡卡爾曼方法，該方法是通過SSUT與平方根濾波結(jié)合，解決了UKF數(shù)值不穩(wěn)定性的問題，同時(shí)當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)較大時(shí)降低了計(jì)算量。將超球體平方根平淡卡爾曼濾波方法應(yīng)用到SINS大失準(zhǔn)角下的初始對(duì)準(zhǔn)當(dāng)中，仿真結(jié)果表明：SRUKF對(duì)于EKF能有效提高方位失準(zhǔn)角對(duì)準(zhǔn)精度，由18.75′提高到了3.85′；相對(duì)于 UKF雖然精度差不多，但是減少了采樣點(diǎn)，減小了計(jì)算量，提高了計(jì)算效率，是一種理想的濾波方法。

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