張 群，汪永超，黃娟娟，王小兵

(四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065）

0 引言

齒輪傳動是機(jī)械傳動中應(yīng)用最廣泛的動力和運(yùn)動傳遞轉(zhuǎn)置［1］，由于齒輪的制造成本較高，所以提高齒輪的壽命成為了一個很重要的研究課題。

齒輪的主要失效形式為輪齒的彎曲折斷和齒面點(diǎn)蝕［2］，由計(jì)算模型知齒輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)是齒輪失效的主要影響因數(shù)。目前尚沒有使用靈敏度分析法對影響疲勞強(qiáng)度的齒輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析的文獻(xiàn)。本文首次將靈敏度分析方法用于齒輪疲勞強(qiáng)度的研究中，以工程中一實(shí)用齒輪為例，采用Latin超立方采樣作為輸入，依據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型用五點(diǎn)插值數(shù)值微分法對齒輪的疲勞強(qiáng)度進(jìn)行了靈敏度分析。分析結(jié)果揭示了齒輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)對疲勞強(qiáng)度的影響規(guī)律和敏感程度，為齒輪結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了重要的理論依據(jù)。

1 漸開線直齒圓柱齒輪疲勞強(qiáng)度計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

本文以漸開線直齒圓柱齒輪為研究對象，一般地，齒輪傳動的失效主要是輪齒的失效:對于閉式齒輪傳動，其主要失效形式為齒面點(diǎn)蝕和輪齒的彎曲折斷，需要進(jìn)行齒根彎曲疲勞強(qiáng)度和齒面接觸疲勞強(qiáng)度計(jì)算;對于開式(半開式）齒輪傳動，其主要失效形式為齒面磨粒磨損和輪齒的彎曲折斷，由于目前尚無完善的磨損計(jì)算方法，因此通常只對其進(jìn)行彎曲疲勞強(qiáng)度計(jì)算，并用適當(dāng)加大模數(shù)的辦法來補(bǔ)償磨損的影響［2］。

根據(jù)文獻(xiàn)［2］可知齒根危險(xiǎn)截面的彎曲疲勞強(qiáng)度(彎曲應(yīng)力）為:

齒面的接觸疲勞強(qiáng)度(接觸應(yīng)力）為:

式中:K為載荷系數(shù);T1為小齒輪傳遞的轉(zhuǎn)矩;b為齒寬;m為模數(shù);z1為小齒輪齒數(shù);YFa為齒形系數(shù);YSa為應(yīng)力校正系數(shù);u為傳動比;ZH為區(qū)域系數(shù);ZE為彈性影響系數(shù)。

根據(jù)式(1）、式(2）知齒輪的疲勞強(qiáng)度與齒輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)齒寬b、模數(shù)m、小齒輪齒數(shù)z1有關(guān)。

2 靈敏度分析方法

齒輪的疲勞強(qiáng)度對齒輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度定義為齒輪的疲勞強(qiáng)度應(yīng)力值對柔輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化率，其幾何意義是各結(jié)構(gòu)參數(shù)對疲勞強(qiáng)度的敏感程度，絕對值越大表示越敏感。在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通過靈敏度分析，可以確定調(diào)整何種設(shè)計(jì)參數(shù)最有效，從而選取盡量少的優(yōu)化變量，降低優(yōu)化設(shè)計(jì)的時(shí)間和工作量［3］。

若設(shè)影響齒輪疲勞強(qiáng)度的齒輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)X為:X=(x1，x2，…xk）T，齒輪疲勞強(qiáng)度應(yīng)力值 σ 為:σ =f(X），則齒輪的疲勞強(qiáng)度靈敏度s為:

式中:si(i=1，2，…，k）表示齒輪疲勞強(qiáng)度對齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度。

確定因素xi的靈敏度的過程如下［4-5］:令其他影響因素 x1，x2，…，xi－1，xi+1，…，xk不變，因素 xi在其值附近進(jìn)行擾動(一般擾動范圍為 ±10%），在因素xi的擾動范圍內(nèi)進(jìn)行N次采樣，并計(jì)算出各采樣點(diǎn)的疲勞強(qiáng)度應(yīng)力值fj(j=1，2，…，N），然后用五點(diǎn)插值數(shù)值微分法求出影響因素xi的靈敏度值，并擬合成靈敏度曲線，以此來反映影響因素xi對疲勞強(qiáng)度的敏感程度。

在計(jì)算疲勞強(qiáng)度應(yīng)力值的過程中使用Latin超立方采樣作為輸入。Latin超立方采樣產(chǎn)生受約束樣本點(diǎn)的方法如下［6-7］:假設(shè)存在一個確定性的分析模型y=f(x），其中x= ＜ x1，x2，…，xn＞T代表輸入變量向量，每個輸入變量xi(i=1，2，…，n）由概率分布函數(shù)Fxi(x）描述。將每個輸入變量xi的概率分布函數(shù)Fxi(x）的范圍分割成N個不重疊的區(qū)間Sij(j=1，2，…，N），每個區(qū)間由概率表征:

并且有:

在抽樣過程中，區(qū)間Sij由代表性參數(shù)代表，代表性參數(shù)有兩種選擇方法:一是在區(qū)間中隨機(jī)選取，一是在區(qū)間中心處選取。

在區(qū)間中隨機(jī)選取時(shí)，首先在(0，1）區(qū)間內(nèi)生成N個隨機(jī)數(shù)Qj，然后將其變換成第j個區(qū)間中的隨機(jī)數(shù)Wj:

由式(6）可推得(j－1）/N ＜Wj＜j/N，其中(j－1）/N和j/N分別是第j個區(qū)間的下界和上界，因此每個區(qū)間上僅生成一個隨機(jī)數(shù)Wj，求得約束隨機(jī)數(shù)Wj后即可求得相應(yīng)的隨機(jī)變量為:

在區(qū)間中心處選取時(shí)，第j個區(qū)間的代表性參數(shù)可以由式(8）確定:

其中，Pij表示第i個輸入變量xi的第j個模擬的區(qū)間秩數(shù)。

由采樣過程知，在進(jìn)行N次模擬以后，每個輸入變量xi的N個觀測值與一個隨機(jī)排列的整數(shù)序列(整數(shù)1，2，…，N的隨機(jī)排列）相聯(lián)系，將n個變量的N次模擬的隨機(jī)排列的矩陣記為R，R有N行n列。

上述抽樣過程中矩陣R是隨機(jī)產(chǎn)生的，各列間不可避免的會引入一定的統(tǒng)計(jì)相關(guān)，進(jìn)而影響到靈敏度估計(jì)值的偏度和方差。Florian提出了一個減小統(tǒng)計(jì)相關(guān)的方法，用矩陣T來描述矩陣R各列間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)，矩陣T中的元素Tuv(u，v=1，2，…，n）是R的第u和第v列間的Spearman系數(shù)，它定義為:

其中，dj是兩樣本的序差，N是樣本數(shù)。顯然矩陣T是對稱的，且在各列不相關(guān)的情況下等于單位矩陣I?？紤]到R的實(shí)現(xiàn)過程，T是正定矩陣，所以可以對T進(jìn)行Chloesky分解:

其中，Q是一個下三角矩陣，QT是Q的轉(zhuǎn)置，令S=Q－1，采用式(11）轉(zhuǎn)換公式得到一個新的矩陣RB。

其中，RB各列間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)由相關(guān)矩陣TB表示。由文獻(xiàn)［8］的證明知TB比T更接近于單位陣，于是用矩陣RB代替矩陣R，可使隨機(jī)排列表各列間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)減小。于是將矩陣RB各列中的值通過式(6）、式(7）、式(8）的計(jì)算，可得輸入樣本{x}n。對此樣本利用確定性的分析模型y=f(x）可計(jì)算輸出變量的相應(yīng)值。

將上述計(jì)算出的輸出變量的相應(yīng)值用五點(diǎn)插值數(shù)值微分法做數(shù)值微分，最后將求得的數(shù)值微分值擬合成曲線，以觀察各參數(shù)的靈敏度。

3 實(shí)例分析

以一帶式輸送機(jī)減速器的高速級齒輪傳動為例，對其齒輪的疲勞強(qiáng)度進(jìn)行靈敏度分析。該減速器的基本參數(shù)如下:大小齒輪的材料均為45鋼(調(diào)質(zhì)），小齒輪齒面平均硬度為250HBS，大齒輪齒面平均硬度為210HBS，小齒輪傳遞的額定功率為P=9.2kW，小齒輪轉(zhuǎn)速為n1=970r/min，小齒輪齒數(shù)z1=31，齒寬b1=84mm，大齒輪齒數(shù)z2=125，齒寬b2=78mm，模數(shù)m=2.5，中心距a=195mm。該減速器由電動機(jī)驅(qū)動，預(yù)計(jì)工作壽命為6年，每日工作16小時(shí)，帶式輸送機(jī)工作平穩(wěn)，轉(zhuǎn)向不變。

依據(jù)1中建立的數(shù)學(xué)模型，帶入相應(yīng)系數(shù)值，得疲勞強(qiáng)度與齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)間的關(guān)系式為:

通過編程計(jì)算可得出各結(jié)構(gòu)參數(shù)在其變化范圍內(nèi)的各采樣點(diǎn)處的疲勞強(qiáng)度應(yīng)力值，再對其進(jìn)行五點(diǎn)插值數(shù)值微分計(jì)算，可得靈敏度值。為了直觀的看到各結(jié)構(gòu)參數(shù)在其變化范圍內(nèi)的靈敏度值和變化趨勢，此處用靈敏度曲線來描述各結(jié)構(gòu)參數(shù)對疲勞強(qiáng)度的影響程度，如圖1～圖6所示。

圖1 齒輪齒寬靈敏度曲線

圖2 齒輪模數(shù)靈敏度曲線

圖3 齒輪齒數(shù)靈敏度曲線

圖4 齒輪齒寬靈敏度曲線

圖5 齒輪模數(shù)靈敏度曲線

圖6 齒輪齒數(shù)靈敏度曲線

從圖1～圖6可以看出:靈敏度值均為負(fù)值，且其絕對值隨著齒輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)的增加而減小。由此得出齒輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)對疲勞強(qiáng)度的影響規(guī)律:隨著齒輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)值的增加，彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力均減小，且減小速度在減慢，即齒輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)對疲勞強(qiáng)度的影響在減小。從圖1～圖6的縱坐標(biāo)顯示的靈敏度值的大小中還可以看出:無論是彎曲應(yīng)力還是接觸應(yīng)力，模數(shù)對疲勞強(qiáng)度的靈敏度值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他兩個參數(shù)對疲勞強(qiáng)度的靈敏度值，由此說明模數(shù)對疲勞強(qiáng)度的影響最顯著即敏感程度最高，其次是齒輪齒數(shù)，敏感程度最低的是齒寬。

4 結(jié)束語

本文以漸開線直齒圓柱齒輪為研究對象，根據(jù)其疲勞強(qiáng)度計(jì)算的數(shù)學(xué)模型，首次采用靈敏度分析方法分析齒輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)對疲勞強(qiáng)度的敏感程度。本文在變量輸入時(shí)采用Latin超立方采樣，與傳統(tǒng)的隨機(jī)采樣相比在結(jié)果精確度相同的情況下具有小的多的樣本空間，提高了計(jì)算速度。在計(jì)算各輸入點(diǎn)的靈敏度值時(shí)采用五點(diǎn)插值數(shù)值微分法，該方法比兩點(diǎn)、三點(diǎn)插值數(shù)值微分法具有更高的精度。本文最后運(yùn)用實(shí)例分析得出齒輪各結(jié)構(gòu)參數(shù)對疲勞強(qiáng)度的影響規(guī)律，通過對靈敏度值的比較得出模數(shù)對疲勞強(qiáng)度的敏感程度最高，其次是齒數(shù)，敏感程度最低的是齒寬。該研究成果對齒輪結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要指導(dǎo)意義。

［1］袁文武，蔡慧林，任剛.基于UG和ADAMS的齒輪嚙合動力學(xué)仿真［J］. 煤礦機(jī)械，2010，31(2）:40-43.

［2］謝江，婁晨輝，李蘭.機(jī)械設(shè)計(jì)［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2009.

［3］毛為民，朱石堅(jiān).隔振系統(tǒng)的靈敏度分析［J］.海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，19(2）:68-71.

［4］竹振旭，董海軍.基于靈敏度分析方法的擺線針輪系統(tǒng)傳動精度研究［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2008，27(5）:644-648.

［5］韓林山，武蘭英，沈允文.2K_V型減速機(jī)傳動精度的靈敏度分析［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2010，29(10）:1366-1369.

［6］張令心，江近仁.Latin超立方采樣技術(shù)及其在結(jié)構(gòu)可靠性分析中的應(yīng)用［J］.世界地震工程，1997，13(4）:1-6.

［7］萬越，呂震宙.基于Latin方抽樣和修正的Latin方抽樣的可靠性靈敏度估計(jì)及其方差分析［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2008，30(6）:927-934.

［8］Huntington D E，Lyrintzis C S，Improvements to and limitations of Latin Hypercube sampling［J］.Prob.Engng.Mech，1998，13(4）:245-253.