艾玉波

(連云港師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系,中國 連云港 222006)

孤立子理論是應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理的一個重要組成部分，近幾十年受到國際數(shù)學(xué)界和物理界的普遍重視．孤立子往往也稱為孤立波[1]，它是指一大類非線性偏微分方程的具有特殊性質(zhì)的解，及與之相應(yīng)的物理現(xiàn)象．隨著研究的深入，大批具有孤立子解的非線性波動方程在各個領(lǐng)域不斷被揭示，尋求孤子方程的精確解以及討論解的性質(zhì)成為孤立子方程研究中的重大課題．

1 修正KdV方程Hirota形式的n孤子解

于是雙孤子解為

再根據(jù)截斷式的求解方法，令：

修正KdV方程的n孤子解為

2 修正KdV方程雙Wronskian形式的有理解

為了能夠求解KdV方程的雙Wronskian解，首先要計算等譜AKNS方程族中的三階AKNS方程[5-7]．

根據(jù)等譜AKNS方程組

將推算因子L代入方程組得

對方程組進行等譜變換為

gtf-gft+gxxxf-3gxxfx+3gxfxx-gfxxx=0.

利用多項式解對導(dǎo)數(shù)方程進行分解得到

因此原雙Wronskian行列式的有理解為

3 修正KdV方程的雙Wronskian解[8-11]

利用線性導(dǎo)數(shù)方程求上述導(dǎo)數(shù)方程得有理解，本文不再贅述，由于借助系數(shù)矩陣的正定表達式化簡了修正KdV方程組的一階常微分方程，因此對于改進的KdV方程的雙Wronskian解可以不考慮復(fù)特征根的情況，從而只計算其有理解．

當(dāng)N=0時，對于實根導(dǎo)數(shù)方程可以得到

則g與f的商為修正KdV方程的單孤子解．

當(dāng)N=1時，實根導(dǎo)數(shù)方程有：

φ1=c0e4λ3t-λx,φ2=c0(-x+12λ2t+1)e4λ3t-λx,

φ1=d0e-4λ3t+λx,φ2=d0(x-12λ2t+1)e-4λ3t+λx,

g= 8c0d03(-24λ4t+ 2λ2x-λ)e-8λ3t + 2λx+ 8c03d0(-24λ4t+λ2x+λ)e8λ3t-2λx.

則g與f的商為修正KdV方程的雙孤子解．

4 KdV-mKdV混合方程的雙線性形式及其孤子解

命ut+6uux+6u2ux+uxxx=0為KdV-mKdV混合方程[12]．

函數(shù)f(t,x)與g(t,x)的雙線性導(dǎo)數(shù)定義為

對上述作變換

其中ω*是復(fù)函數(shù)ω的共扼函數(shù);α取任意常數(shù)．

將變換代入ut+6uux+6u2ux+uxxx=0，則KdV-mKdV混合方程變?yōu)?/p>

故方程的雙線性導(dǎo)數(shù)方程為

5 結(jié)論

本文研究了修正KdV方程Hirota形式的n孤子解，給出了修正KdV方程雙Wronskian形式的有理解及修正KdV方程的Wronskian解.利用雙線性導(dǎo)數(shù)法所給出的修正KdV方程的n孤子解是一個復(fù)雜的和式，將它代入方程驗證，利用線性導(dǎo)數(shù)方程的列向量計算了修正KdV方程的雙Wronskian解．

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