孫大為，劉佳瑞

(河南工業(yè)大學(xué)，河南 鄭州 450001)

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中思考與創(chuàng)新能力培養(yǎng)探討*

孫大為，劉佳瑞

(河南工業(yè)大學(xué)，河南 鄭州 450001)

大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中蘊含了豐富的內(nèi)容，是人類長期以來對自然界的觀察與思考后總結(jié)提煉出的升華，本文探討了把這些內(nèi)容貫穿在本科生教學(xué)中，對學(xué)生思考與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)做了有益的嘗試.

大學(xué)數(shù)學(xué);創(chuàng)新能力;探討

大學(xué)數(shù)學(xué)包含了微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)學(xué)物理方程、復(fù)變函數(shù)等，課程較多，內(nèi)容豐富，是各專業(yè)的最重要基礎(chǔ)課之一，是學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課的重要工具，大學(xué)生應(yīng)該高度重視并認(rèn)真努力學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué).但是很多學(xué)生反映大學(xué)數(shù)學(xué)很抽象，學(xué)起來比較吃力，往往通過死記硬背，暫時記住一些定理與例題，并沒有理解其思想與精髓，考試后全忘記得一干二凈，這與我們學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的目的相悖，希望通過大學(xué)數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生獨立思考與創(chuàng)新能力更是無從談起.這就需要我們仔細(xì)分析大學(xué)數(shù)學(xué)的特點，利用數(shù)學(xué)的這種嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性、前瞻性來引導(dǎo)學(xué)生們獨立思考，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新能力，逐步具有提出問題、分析問題、解決問題的能力.

1 加強(qiáng)數(shù)學(xué)史教育，激發(fā)學(xué)生興趣

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生來源于人類長期的生活實踐，其發(fā)展就是人類認(rèn)識世界改造世界的歷史.我國數(shù)學(xué)歷史源遠(yuǎn)流長，早在漢代就有《算數(shù)書》、《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》等數(shù)學(xué)著作，宋元時期達(dá)到了一個高潮出現(xiàn)了《數(shù)書九章》、《楊輝算法》等，涌現(xiàn)了劉徽、祖沖之、楊輝等一批著名的數(shù)學(xué)家，較早的提出了勾股定理、圓周率的計算、線性方程組的解法等一大批數(shù)學(xué)成果，清朝更是涌現(xiàn)了與英國牛頓、日本關(guān)孝和齊名的大數(shù)學(xué)家梅文鼎，為近代科學(xué)在中國的傳播和發(fā)展作出了開創(chuàng)性貢的獻(xiàn)李善蘭、華蘅芳等一批承前啟后、橫貫中西的數(shù)學(xué)家，他們的著作《平三角舉要》、《弧三角舉要》、《幾何補(bǔ)編》、《幾何通解》《數(shù)理精蘊》等揭示了我國也會運用自己獨特的數(shù)學(xué)思想創(chuàng)立中國式的“微積分”.近代我國又有在解析數(shù)論、典型群、自守函數(shù)論、多復(fù)變函數(shù)論等廣泛數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的都作出卓越貢獻(xiàn)的華羅庚、在整體微分幾何上的卓越貢獻(xiàn)，影響了整個數(shù)學(xué)的發(fā)展，被楊振寧譽(yù)為繼歐幾里德、高斯、黎曼、嘉當(dāng)之后又一里程碑式的人物陳省身、在哥德巴赫猜想方面取得迄今為止世界上最好結(jié)果的陳景潤、中國現(xiàn)代計算數(shù)學(xué)研究的開拓者馮康等等，說明我國數(shù)學(xué)從古代到現(xiàn)代都取得了令人矚目的偉大成就，極大的增強(qiáng)了學(xué)生的自豪感.

在學(xué)習(xí)極限內(nèi)容時，高中已經(jīng)學(xué)過部分?jǐn)?shù)列求極限的方法，但對于“ε－δ”語言，仍相當(dāng)吃力，從歷史上《莊子·天下篇》中記載的:“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”、劉徽的割圓術(shù)、無理數(shù)的引入、以及芝諾的飛矢不動悖論引發(fā)數(shù)學(xué)危機(jī)以及數(shù)學(xué)家柯西、魏爾斯特拉斯、波爾查諾、戴德金等如何做出種種努力來克服這次危機(jī)的介紹，展示了人們對于極限概念的認(rèn)識經(jīng)歷了一段漫長的過程，從最初時期樸素、直觀的極限觀演變成為近代嚴(yán)格的極限理論，為正確理解微積分打下了嚴(yán)格的基礎(chǔ).

2 深刻理解數(shù)學(xué)概念與內(nèi)涵，打好堅實基礎(chǔ)

我們在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分的時候，比如我們學(xué)習(xí)積分理論時，就要思考積分是怎么來的，為什么要去學(xué)習(xí)積分.我們可以從測量的角度來理解，比如我們要計算一塊土地的面積，如果是正方形、長方形我們很容易計算，梯形的我們也能計算，但是稍微復(fù)雜一些的怎么辦呢?比如我們國家的面積是960萬平方公里，這個數(shù)字是如何測出來的?現(xiàn)在的房屋面積，如果陽臺是不規(guī)則的，怎么樣計算陽臺面積?要計算一個邊界不規(guī)則的多邊形的面積，我們的先輩最初就是把他們分成最簡單的能計算的小塊再求和來計算其面積，這樣算出來面積“差不多”是不規(guī)則多變形的面積，所以我們有了先分割再求和的這種自然而然的想法，那么我們順利成章的引入了積分的定義.但是，是不是每個圖形(曲線)都能這樣分割再求和而得到一個具體數(shù)呢，稍微思考一下覺得應(yīng)該不是怎樣的，比如我們計算海岸線的長度，如果那么分割越細(xì)，此和將趨向于無窮，發(fā)生這種有悖于常識的情況是因為我們海岸線一般來說是處處不可導(dǎo)的，所以我們一般考慮光滑的函數(shù)在有界區(qū)域上的積分，理解了這些基本概念與想法，在學(xué)習(xí)積分定義時就會比較輕松.

3 通過問題啟發(fā)獨立思考能力

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過:“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.好的數(shù)學(xué)問題對數(shù)學(xué)的發(fā)展有著巨大的推動作用，一個很有意義的問題的解決，在其中投入的巨大努力，以及從中獲得的真知灼見，可能打開一扇新學(xué)科的大門，甚至開辟科學(xué)的新紀(jì)元.

從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史來看，也恰恰印證了這一點.20世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特在1900年的國際數(shù)學(xué)家大會上作了一次著名演講，還提出了涉及數(shù)理邏輯、幾何、數(shù)論、代數(shù)、拓?fù)渲?3個數(shù)學(xué)問題，這些問題都是當(dāng)時各個分支懸而未決的數(shù)學(xué)難題，20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展相當(dāng)一部分就是在不斷的為解決這些難題而不斷探索，對其他學(xué)科領(lǐng)域的發(fā)展也起到了極大的推動作用.由17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出“費馬定理”:“將一個立方數(shù)分成兩個立方數(shù)之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的.”但經(jīng)過三百多年的努力，這個數(shù)論難題才由狄利克雷和勒讓德、聯(lián)邦德國數(shù)學(xué)家伐爾廷斯和普林斯頓大學(xué)英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯最終證明.證明利用了包括橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數(shù)等種種高深數(shù)學(xué)理論，費馬問題的解決也極大地促進(jìn)了橢圓曲線以及現(xiàn)代密碼理論的發(fā)展.1904年法國數(shù)學(xué)家龐加萊提出了如下一個被后人稱為’龐加萊猜想”的世紀(jì)難題“任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚.”這本是一個拓?fù)鋯栴}，美國數(shù)學(xué)家史提芬·斯梅爾證明了五維以上的龐加萊猜想，但對于低維的卻遲遲未能解決，但最終的解決卻由俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼運用了理查德·漢密爾頓引入的“RICI流”這一幾何分析方法，這一方面促進(jìn)了幾何分析學(xué)發(fā)展，另一方面對低維拓?fù)涞陌l(fā)展也起到了革命性的作用.

問題意識是思維的動力，恰當(dāng)?shù)靥岢鰡栴}，能引導(dǎo)學(xué)生不斷思考，不斷探索.在學(xué)完導(dǎo)數(shù)內(nèi)容時，作者提出了如下問題問為什么學(xué)了高階導(dǎo)數(shù)而沒有講高階微分?學(xué)習(xí)了求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)，為什么沒有一點五階導(dǎo)數(shù)，可以自然地引起同學(xué)們的思考，可以思考微分與導(dǎo)數(shù)的定義與差別，為以后學(xué)習(xí)微分形式、分析幾何奠定了基礎(chǔ).利用數(shù)學(xué)歸納法求解部分行列式或者進(jìn)行不等式的證明時，可以引入如下問題:上述傳統(tǒng)的歸納法都是針對離散對象的，對連續(xù)情形有沒有類似的歸納法?通過這些問題的設(shè)置，激發(fā)起學(xué)生的求知欲望和好奇，逐步養(yǎng)成獨立思考不斷發(fā)現(xiàn)不斷探索的能力.

4 加強(qiáng)動手能力

數(shù)學(xué)本身是一門邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性都很強(qiáng)的科學(xué)，它要求我們每一步都必須嚴(yán)格而準(zhǔn)確，有了興趣和愿意思考是學(xué)好數(shù)學(xué)的第一步，我們?nèi)孕枘_踏實地踏踏實實的推理和演算，逐步培養(yǎng)我們邏輯思維能力.我們從斜率與速度了解了導(dǎo)數(shù)、從線性方程組了解到行列式及矩陣運算以后，只記住一些性質(zhì)定理是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，要想熟練掌握相關(guān)內(nèi)容就需要在下面認(rèn)真仔細(xì)地練習(xí)，避免眼高手低.特別是多元函數(shù)求偏導(dǎo)很容易忽略某些項而導(dǎo)致最終計算結(jié)果錯誤，行列式的計算以及求逆矩陣等內(nèi)容更是在計算中一不小心就會出現(xiàn)錯誤，這就要求我們既要會算，更要認(rèn)認(rèn)真真仔仔細(xì)細(xì)地計算.偉大的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)給出如下公式:假如每點，每一方向上曲率都等于α，那么這個常曲率流形的線元可表示為:

這就是黎曼在就職演說中的唯一公式，發(fā)展了高斯的內(nèi)蘊幾何學(xué)思想，在幾何學(xué)歷史上有具有重大的意義.但是其構(gòu)造確實需要大量的耐心細(xì)致地演算.

5 正確運用數(shù)學(xué)思想學(xué)會分析問題解決實際問題能力

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課大多是偏重理論講授，幾乎以定義、定理、證明、例題來行文，我們不但要學(xué)會數(shù)學(xué)知識，更要會靈活運用數(shù)學(xué)思想來解決我們碰到的實際問題.數(shù)學(xué)最核心的思想就是從紛繁復(fù)雜的世界中提煉出最有用的信息，把復(fù)雜的問題簡單化，把沒有出現(xiàn)過的化成曾經(jīng)解決過，從而達(dá)到解決問題的目的.比如我們學(xué)習(xí)高階微分方程時，通常是降階，把它化成低階的能計算的類型來處理，計算行列式的時候，如果完全按照定義，那么對稍微高階(比如20階)的行列式計算都不太現(xiàn)實，我們都是通過行變換或者列變換把它化成低階行列式進(jìn)行計算.

宏觀的天體運行、火箭發(fā)射以及微觀的分子間運動、與我們實際生活聯(lián)系緊密的道路交通優(yōu)化問題、證券投資收益問題、人口演化、企業(yè)管理問題等問題都有數(shù)學(xué)相應(yīng)的理論作為支撐.自諾貝爾設(shè)立經(jīng)濟(jì)學(xué)獎以來，越來越多的經(jīng)濟(jì)學(xué)家以數(shù)學(xué)作為主要的工具，并且涌現(xiàn)了納什一批數(shù)學(xué)家為代表的諾貝爾獎獲得者，這恰恰說明我們?nèi)绻芮‘?dāng)?shù)卣_地運用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，將極大的提高解決實際問題能力.

6 措施

(1)加強(qiáng)師資隊伍建設(shè).注重提高數(shù)學(xué)教師群體科研水平，通過科研水平來提高教師自身的素質(zhì).著名科學(xué)家、教育家錢偉長曾指出“教師進(jìn)行教學(xué)工作是天職，但做好教學(xué)工作，必須進(jìn)行科研.因為科學(xué)進(jìn)步很快，只有進(jìn)行科學(xué)研究的人，參加科學(xué)創(chuàng)新的人，才有條件理解創(chuàng)新精神，從而在教學(xué)工作中培養(yǎng)出有創(chuàng)新精神的人.”鼓勵學(xué)術(shù)交流，經(jīng)常性的參加名師精品課程培訓(xùn)，相互討論，交流心得，不斷吸取先進(jìn)的教學(xué)科研方法，從而帶動整體水平的提升.

(2)加強(qiáng)優(yōu)質(zhì)教材的建設(shè).結(jié)合不同層次學(xué)校的實際需要，編著或者選用那些契合度高，難度適宜，學(xué)生理解更容易，應(yīng)用性更強(qiáng)的教材，來引導(dǎo)學(xué)生接受數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué).

(3)加強(qiáng)考核方式建設(shè).針對不同類型、不同專業(yè)的學(xué)生，采取靈活的考核方式.改變定義、定理、習(xí)題這種傳統(tǒng)的枯燥的教學(xué)考核模式，采取分層教學(xué)、單獨考核、學(xué)生講課、學(xué)生出題等方式，解決學(xué)生接受能力差，考核太單一的弊病.

［1］馮振舉.數(shù)學(xué)史在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中的作用［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報，2007，8(6).

［2］徐永春，趙喜清，韓振芳.大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)實驗的探索與實踐［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報，2010，26(3).

［3］王有文，李瑞軍.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法作用的強(qiáng)化［J］.天水師范學(xué)院學(xué)報，2010，30(2).

［4］邱學(xué)紹.微積分及其應(yīng)用［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2008.

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