張 艷， 周圣武， 韓 苗， 索新麗

（中國礦業(yè)大學理學院，徐州 221116）

隨機利率Vasicek模型下的歐式缺口期權(quán)的定價研究

張 艷， 周圣武， 韓 苗， 索新麗

（中國礦業(yè)大學理學院，徐州 221116）

研究隨機利率Vasicek模型下歐式缺口期權(quán)的定價問題，利用偏微分方程方法給出了歐式缺口看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價公式，并且是Vasicek利率模型下標準歐式期權(quán)定價公式的一種推廣.

Vasicek利率模型；缺口期權(quán)；期權(quán)定價

1 引 言

對相機權(quán)益進行定價是金融數(shù)學領(lǐng)域內(nèi)的既有理論意義又有實用價值的重要問題之一.Black－Scholes模型［1］是期權(quán)定價理論最基本的數(shù)學模型，其定價方程的推導是建立在六條基本假設(shè)［2］基礎(chǔ)上的，其中關(guān)于利率是常數(shù)的假設(shè)與現(xiàn)實實際相差甚遠.利率是影響金融市場變化最基本的因子，利率風險來源于利率的隨機波動性.使用市場利率模型更加符合實際，可以減少因為利率變動對期權(quán)價值估計的偏差，更好地反映出期權(quán)的價值.目前已有 一些金融專家和學者研究了利率為隨機變量時，期權(quán)的定價問題.比如在姜禮尚［4］的一書中已經(jīng)給出了隨機利率Vasicek模型下的標準歐式期權(quán)的定價公式，姚落根等在文獻［5］中給出了隨機利率模型下歐式極值期權(quán)的顯示表達式，徐根新在文獻［6］中給出了Vasicek利率模型下歐式看漲外匯期權(quán)的定價公式，王亞偉在文獻［7］研究了函數(shù)型利率模型下歐式買權(quán)的定價問題.當利率為隨機變量時，目前雖然已有了一些結(jié)果，但有些衍生產(chǎn)品的定價問題還沒有解決，本文作者在文獻［8］中解決了市場滿足六條基本假設(shè)下的歐式缺口期權(quán)的定價問題，本文將在隨機利率vasicek模型下繼續(xù)研究歐式缺口期權(quán)的定價問題.

文中假定借貸利率是隨機的，且滿足Vasicek利率模型［2，3］，考慮影響利率的隨機因素與影響股票價格的隨機因素具有相關(guān)性的條件下，利用偏微分方程方法推導出了歐式缺口期權(quán)的定價公式，并且是Vasicek利率模型下標準歐式期權(quán)定價公式的一種推廣.

2 預備知識

缺口期權(quán)（Gap Option）與標準期權(quán)的區(qū)別在于，在到期日計算期權(quán)價值時，缺口期權(quán)不是用標的資產(chǎn)價格ST與執(zhí)行價格K進行比較，而是與另一個常數(shù)G（以下稱G為缺口）作比較，以看漲期權(quán)為例，對于標準歐式期權(quán)，其到期日的價值為cT＝max（ST－K，0），對于歐式缺口看漲期權(quán)，它在到期日的價值為

其中G為缺口參數(shù)，IA為示性函數(shù).文獻［8］已給出了Black－Scholes模型假設(shè)下的歐式缺口期權(quán)的定價公式，本文考慮隨機利率下的歐式缺口期權(quán)的定價問題.

現(xiàn)在考慮一個可連續(xù)交易的風險資產(chǎn)（通常為股票）的價格St的行為模式.在風險中性概率測度Q下，其價格滿足隨機微分方程

其中無風險利率r（t）由Vasicek模型給出，σ1為股票價格的波動率，W1t為標準Brown運動.在風險中性假設(shè)下，利率r（t）滿足Vasicek模型［2，3］

作為利率載體的零息票，是一張在到期日T時刻換取1元現(xiàn)金的債券，零息票債券的價格過程Pt＝P（rt，t，T）滿足

若無風險利率r（t）由Vasicek利率模型（3）確定，利用風險中性估值原理，零息票的價值Pt＝P（rt，t，T）［2］為

引理1［4］若隨機利率r（t）由Vasicek模型（3）確定，則零息票債券價格P（rt，t，T）適合以下偏微分方程Cauchy問題

3 歐式缺口期權(quán)的定價公式

設(shè)股票的價格過程St由（2）給出，隨機利率r（t）由Vasicek模型（3）確定，零息票債券價格Pt由（4）式給出，姜禮尚已在文獻［4］中給出了隨機利率Vasicek模型下的期權(quán)價值所滿足的偏微分方程.此處設(shè)cG＝cG（St，rt，t）是歐式缺口看漲期權(quán)在t時刻的價格，其到期日的支付函數(shù)由（1）確定，于是可以得到隨機利率Vasicek模型下的歐式看漲缺口期權(quán)價格適合如下定解問題

在利用偏微分方程方法給出問題（6）的解析解之前，我們需要先解決無風險利率r為常數(shù)時的歐式缺口期權(quán)的定價問題.在文獻［8］中我們已經(jīng)利用風險中性概率的方法得到了歐式缺口期權(quán)的定價公式，于是我們易得下面兩個定理.

定理1當無風險利率r為常數(shù)時，基于標的價格過程（2）的歐式缺口看漲期權(quán)的價格V（t，St）所適合的定解問題

定理2當無風險利率r為常數(shù)時，基于標的價格過程（2）的歐式缺口看跌期權(quán)的價格所適合的定解問題

其中di，d′i與定理2中同.

有了上述結(jié)果，我們便可以給出隨機利率Vasicek模型下的歐式缺口看漲和看跌期權(quán)的定價公式.

定理3隨機利率Vasicek模型下的歐式缺口股票看漲期權(quán)在t時刻的價值為

返回到初始變量，便可得到該期權(quán)在t時刻的價值為

仿照定理3的推導，可得下面的定理4.

定理4隨機利率Vasicek模型下的歐式缺口股票看跌期權(quán)在t時刻的價值為

特別地，當G＝K時，＾di＝＾d′i.于是可以得到下面的結(jié)論.

定理5當G＝K時，歐式缺口看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價公式便退化為

注 （i）公式（17）和（18）恰恰是隨機利率Vasicek模型下標準歐式看漲和看跌期權(quán)的定價公式，可見定理3和4的結(jié)論是Vasicek模型下標準歐式期權(quán)定價公式的一個擴展.

（ii）在Vasicek模型中，當a＝0，σ2＝0時，隨機利率模型便退化為常利率，此時定理3和4的結(jié)論便可以退化為文獻［8］中的結(jié)論.

［1］Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of political Economy，1973，81（3）：637－659.

［2］Hull J C.Options，F(xiàn)utures，and Other Derivatives（第5版）［M］.北京：清華大學出版社，2006：539－541.

［3］Vasicek Oldrich，An equilibrium characterization of the term structure［J］.Journal of financial economics，1977（5）：177－188.

［4］姜禮尚等著.金融衍生產(chǎn)品定價的數(shù)學模型與案例分析［M］.北京：高等教育出版，2007：42－54.

［5］姚落根，胡桔州，劉平兵.隨機利率模型下歐式極值期權(quán)的定價［J］.湖南文理學院學報（自然科學版），2005，17（4）：6－8，11.

［6］徐根新.Vasicek利率模型下歐式看漲外匯期權(quán)定價分析［J］.同濟大學學報（自然科學版），2006，34（4）：552－556.

［7］王亞偉，黎鎖平，江洪.函數(shù)Vasicek利率模型下歐式買權(quán)定價的研究［J］.甘肅科學學報，2008，20（1）：28－31.

［8］張艷，孫彤.關(guān)于歐式缺口期權(quán)定價模型的研究［J］.徐州師范大學學報（自然科學版），2006，24（4）：44－47.

Study on European Gap Option Pricing under Vasicek Interest Rate Model

ZhangYan，ZhouSheng－wu，HanMiao，SuoXin－li
（College of Science，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221116，China）

The European gap option pricing problem under Vasicek interest rate model was studied.By use of the PDE method，the pricing formulas of European gap call option and European gap put option were obtained respectively.What’s more，these pricing formulas are generalization of European standard option pricing formulas.

Vasicek interest rate model；gap option；option pricing

F830.9

A

1672－1454（2012）04－0098－04

2009－10－19；［修改日期］2010－04－16