羅建華, 馮志明
(1.中南林業(yè)科技大學(xué)理學(xué)院,長(zhǎng)沙 410004; 2.樂(lè)山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,樂(lè)山 614000)
與過(guò)程相聯(lián)系的σ-代數(shù)流
羅建華1, 馮志明2
(1.中南林業(yè)科技大學(xué)理學(xué)院,長(zhǎng)沙 410004; 2.樂(lè)山師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,樂(lè)山 614000)
討化了σ-代數(shù)流的結(jié)構(gòu),并給出其一般性的結(jié)果;歸納出各σ-代數(shù)流的相互關(guān)系;最后介紹其兩個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用.
π系;σ-代數(shù)流;停時(shí);兩參數(shù)隨機(jī)過(guò)程;鞅
σ-代數(shù)流的概念散見(jiàn)于各概率論、隨機(jī)過(guò)程的專(zhuān)著及論文中,但由于一般將其作為常識(shí)性知識(shí),對(duì)其結(jié)構(gòu)關(guān)系未充分重視.受無(wú)窮乘積可測(cè)空間構(gòu)造的啟發(fā),本文對(duì)σ-代數(shù)流的結(jié)構(gòu)作了探討,并給出了一般性結(jié)果,藉此全面準(zhǔn)確理解各σ-代數(shù)流的關(guān)系.
設(shè)(Ω,F(xiàn),P)是完備的概率空間,X={Xt,t∈T}是其上的實(shí)值隨機(jī)過(guò)程(T=[0,∞)),可測(cè)空間(E,ε)=(R1,B1)為其狀態(tài)空間(相空間).
引理1 設(shè)f:(Ω,F(xiàn))→(E,E)為可測(cè)映射,f-1(E)是Ω中的σ-代數(shù)(稱(chēng)之為由f導(dǎo)出的σ-代數(shù)).由此,若記σ(f)=f-1(E),則σ(f)是σ-代數(shù),且σ(f)?F.
特別地,若X={Xt,t∈T}是隨機(jī)過(guò)程,則對(duì)?t∈T,由Xt產(chǎn)生的σ-代數(shù)記為σ(Xt),顯然σ(Xt)?F.
注 f-1(E)={f-1(B);B∈E}.
定義1 (i)稱(chēng)F的子σ-代數(shù)族{Ft,t≥0}為σ-代數(shù)流,如果Fs?Ft,0≤s≤t.特別稱(chēng)σ-代數(shù)流{Nt,t≥0}為隨機(jī)過(guò)程{Xt,t≥0}的自然σ-代數(shù)流(隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的σ-代數(shù)流),其中Nt=σ(Xs,s≤t).記N=σ(Xt,t≥0).
(ii)稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程{Xt,t≥0}關(guān)于σ-代數(shù)流{Ft,t≥0}為適應(yīng)的(簡(jiǎn)稱(chēng){Xt}為{Ft}適應(yīng)過(guò)程),如果對(duì)每一t≥0,Xt是Ft可測(cè)(記作Xt∈Ft).
注 若{Fα,α∈Γ}為F的一族子σ-代數(shù),則其交Fα仍為σ-代數(shù),但其并Fα一般不再是σ-代數(shù),我們以Fα表示由它所產(chǎn)生的σ-代數(shù)σ(Fα).
定義2 稱(chēng)定義在可測(cè)空間(Ω,F(xiàn))上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)τ(ω)(可?。逓橹担殛P(guān)于F的子σ-代數(shù)流{Ft,t≥0}的停時(shí)(可選時(shí)),如果對(duì)?t≥0,有
引理2 設(shè)τ為{Ft}停時(shí),令
則Fτ為σ-代數(shù)(稱(chēng)之為伴隨停時(shí)τ的σ-代數(shù),也稱(chēng)τ前σ-代數(shù)).
顯然有Fτ?F∞?F.Fτ可理解為過(guò)程到τ為止的全部信息.
為使討論引向深入,下面介紹兩參數(shù)隨機(jī)過(guò)程的有關(guān)記號(hào)、概念:
推論1 N=σ(Xt,t∈T)=σ(Π),其中Π={(Xti∈Γi,1≤i≤n);Γi∈ε,ti∈T,n≥1}.
證將定理1證明過(guò)程中的“s≤t,s∈T”改為“t∈T”便得證.
推論2 Nt=σ(Xs,s≥t)=σ(Π),其中Π={(Xti∈Γi,1≤i≤n);Γi∈ε,ti≥t,n≥1}.
證將定理1證明過(guò)程中的“s≤t,s∈T”改為“s≥t,s∈T”便得證.
推論3 N=σ(Xu,s≤u≤t)=σ(Π),其中Π={(Xti∈Γi,1≤i≤n);Γi∈ε,s≤ti≤t,n≥1}.
證將定理1證明過(guò)程中的“s≤t,s∈T”改為“s≤u≤t,u∈T”便得證.
定理2 (i)若{Xt}為{Ft}適應(yīng)過(guò)程,則Nt?Ft,N?Ft,0≤s≤t;
(ii)對(duì)?0≤s≤t,有Ns?Nt?N,Nt?Ns?N;
(iii)若ti≤t,i=1,2,…,n,則σ(Xt1,…,Xtn)?Nt=σ(Xs,s≤t);
(iv)若{Xt}為{Ft}適應(yīng)過(guò)程,則N=σ(Xt,t∈T)?F.
證(i)對(duì)任意0≤s≤t,有Xs∈Fs?Ft,所以Xs∈Ft,即σ(Xs)?Ft,又因?yàn)镹t=σ(Xs,s≤t),故Nt?Ft.類(lèi)似可得?Ft.
(ii)結(jié)論顯然成立.
定理3 (i)設(shè)τ∈T,則τ為Fτ可測(cè);
(ii)若τ1,τ2∈T,且τ1≤τ2,則Fτ1?Fτ2.
證(i)由引理2知Fτ為σ-代數(shù).對(duì)?s∈T,顯然(τ≤s)∈F∞,又(τ≤s)∩(τ≤t)=(τ≤s∧t)∈Fs∧t?Ft,t∈T,其中s∧t=min(s,t),故(τ≤s)∈Fτ,即τ關(guān)于Fτ可測(cè).
(ii)設(shè)A∈Fτ1,則A∈F∞,且A∩(τ1≤t)∈Ft,t∈T,從而A∩(τ2≤t)=A∩(τ2≤t)∩(τ1≤t)=[A∩(τ1≤t)]∩(τ2≤t)∈Ft,t∈T.故A∈Fτ2,因此Fτ1?Fτ2.
注 由引理2和定理3(ii)及定義1,{Fτ,τ∈T}顯然是σ-代數(shù)流.
定理4 設(shè)τ為{Nt}停時(shí),{Xt}為{Ft}適應(yīng)過(guò)程,則Nτ?Fτ.
證一方面(τ≤t)∈Nt?Ft,得τ為{Ft}停時(shí);另一方面,設(shè)A∈Nτ,則A∈F∞,A∩(τ≤t)∈Nt?Ft,?t≥0,即得A∈Fτ,故Nτ?Fτ.
下面是關(guān)于兩參數(shù)隨機(jī)過(guò)程的σ-代數(shù)流若干結(jié)果.
證類(lèi)似于定理1之證明.
定理6 若{X(z),z∈}關(guān)于σ-代數(shù)流{Fz,z∈T}為適應(yīng)過(guò)程,即X(z)∈Fz,則?Fz.
證因?yàn)棣遥╔(z))?σ(X(y),y≤z)=,所以X(z)∈,故?Fz.
類(lèi)似于定理2所列舉的關(guān)系,兩參數(shù)隨機(jī)過(guò)程也有相應(yīng)關(guān)系,此處不再詳述.
注 本文中未加說(shuō)明之處均為單參數(shù)隨機(jī)過(guò)程情形.
Ft(Fτ)—t(τ)前事件σ-代數(shù),表示到t(τ)為止的全部信息,也即[0,t]([0,τ])中的全部信息,那么{Ft,t∈T}({Fτ,τ∈T})σ-代數(shù)流也就成為信息流,凡涉及此類(lèi)現(xiàn)象的問(wèn)題,諸如Markov過(guò)程,Martingale過(guò)程等,均須運(yùn)用σ-代數(shù)流加以討論.
定義4 如果對(duì)于一切0≤s≤t及?!蔈,有
其中P(·|Xs)=P(·|σ(Xs)),就稱(chēng)關(guān)于σ-代數(shù)流{Ft,t≥0}適應(yīng)的過(guò)程{Xt,t≥0}為Markov過(guò)程.此時(shí)記{Xt,F(xiàn)t,t≥0}為Markov過(guò)程.
以此定義為基礎(chǔ),借助于σ-代數(shù)流的關(guān)系,我們很容易得出以下結(jié)論:
例1 若{Xt,F(xiàn)t,t≥0}是Markov過(guò)程,則{Xt,Nt,t≥0}也是Markov過(guò)程.
事實(shí)上,在(1)兩邊取關(guān)于Ns的條件期望,由Ns?Fs?F,σ(Xs)?Ns?F,并利用重條件期望公式,得
即{Xt,Nt,t≥0}是Markov過(guò)程.
對(duì)任意有限多個(gè)0≤t1<t2<…<tn及?!师牛顃=tn,s=tn-1,對(duì)(2)的兩邊取關(guān)于σ(Xt1,…,Xtn-1)的條件期望,由重條件期望公式得:{Xt,t≥0}是Markov過(guò)程的充分必要條件
證明見(jiàn)文獻(xiàn)[2].
定義5 適應(yīng)過(guò)程{Xt,F(xiàn)t,t∈T}稱(chēng)為鞅(Martingale),如果對(duì)?t∈T,E|Xt|<∞,且對(duì)T中任意s<t,有
如將上式“=”換成“≤”,“≥”,相應(yīng)得上(下)鞅.
以此定義為基礎(chǔ),借助于σ-代數(shù)流的關(guān)系,我們很容易得出以下結(jié)論:
例2 設(shè){Xt,t≥0}是Wiener過(guò)程且是標(biāo)準(zhǔn)馬氏過(guò)程,令Nt=σ(Xs,s≤t),則過(guò)程{-t,Nt,t≥0}關(guān)于概率測(cè)度Px,x∈R1是鞅.
因此得證{Yt,Nt,t≥0}關(guān)于Px是鞅.
可見(jiàn),σ-代數(shù)流的結(jié)構(gòu)關(guān)系在Markov過(guò)程,Martingale過(guò)程的研究中起著重要的作用.σ-代數(shù)流已成為現(xiàn)代概率論和隨機(jī)過(guò)程論中最基本的概念[9,10].
[1] 嚴(yán)士健,王雋驤,劉秀芳.概率論基礎(chǔ)[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2009.
[2] 李漳南,吳榮.隨機(jī)過(guò)程教程[M].北京:高等教育出版社,1987.
[3] 黃志遠(yuǎn).隨機(jī)分析學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,2001.
[4] 楊向群,李應(yīng)求.兩參數(shù)馬爾可夫過(guò)程論[M].長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社,1995.
[5] 王梓坤.隨機(jī)過(guò)程通論(上,下)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1996.
[6] 王壽仁.概率論基礎(chǔ)和隨機(jī)過(guò)程[M].北京:科學(xué)出版社,1986.
[7] 錢(qián)敏平,龔光魯.隨機(jī)過(guò)程論[M].北京:北京大學(xué)出版社,1997.
[8] 胡迪鶴.隨機(jī)過(guò)程基礎(chǔ)·理論·應(yīng)用[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2000.
[9] 汪嘉岡.現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1988.
[10] Olav Kallenberg.Foundations of Modern Probability[M].Springer-Verlag,2001.
[11] Chung Kailai.Lectures from Markov Processes to Brownian Motion[M].New York:Springer-Verlag,1982.
Filtrations Associated with Process
LUO Jian-hua1, FENG Zhi-ming2
(1.College of Sciences,Central South University of Forestry and Technology,Changsha 410004,China;2.Department of Mathematics,Leshan Teachers College,Leshan 614000,China)
The structures of filtrations are discussed,and the general results are given.The interrelationships of a few filtrations are generalized.Finally two brief applications of filtrations are introduced.
π-system;filtrations;stopping tiom;two-parameter stochastic process;Martingale
O211.62
A
1672-1454(2012)04-0050-04
2010-05-06;
2011-05-23